По закону сохранения энергии

W₁+W₂=W_p1+m₁gh+W_p2-m₂gh+m₁v²/2+m₂v²/2+mv²/4.

Так как грузы двигались равноускоренно, то v=(2ah)^1/2.

Подставив значение скорости, решая полученное уравнение

(m₂-m₁)g=(m₁+m₂+m/2)a,

будем иметь:

a=(m₂-m₁₎g/(m₁+m₂+m/2).

Отношение масс в правой части полученной формулы – величина безразмерная. Поэтому числовые значения масс m₁, m₂ и m можно взять в граммах, как они даны в условии задачи. Числовое значение ускорения g надо взять в единицах системы СИ. Размерность полученного результата очевидна. После подстановки получим

a=(200-100) 9,81/(200+100+40)=2,88 (м/с²).

Ответ: a =2,88 м/с².

5. Поле тяготения. Движение в поле центральных сил

Закон всемирного тяготения

,

где F – сила взаимного гравитационного притяжения двух материальных точек;

m₁, m₂ – их массы;

r – расстояние между точками;

–гравитационная постоянная.

В написанной формуле закон всемирного тяготения можно применять и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сферически-симметрично. В этом случае r есть расстояние между центрами масс шаров.

Напряженность гравитационного поля

g=F/m,

где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массы m, помещенную в некоторую точку поля.

Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически-симметрично

g=M/r,

где r – расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

g=g_o/(1+h/R)²,

где R – радиус Земли;

g_o – ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Если h<<R, то

g=(1-2h/R)g_o.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1и m2(шаров с массой, распределенной сферически-симметрично), находящихся на расстоянии r друг от друга

W_p=-m₁m₂/r,

где потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга материальных точек принята равной нулю.

Потенциал гравитационного поля

=W_p/m,

где W_p – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

Потенцил гравитационного поля, создаваемого планетой, массу M которой можно считать распределенной сферически-симметрично

=-M/r,

где r – расстояние от центра планеты до интересующей точки поля, находящейся вне планеты.

_Законы Кеплера 1. Планеты движутся по элипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывают одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит

T₁²/T₂²=a₁³/a₂³.

Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планеты.

1.5. Примеры решения задач

1.5.1.Определить вторую космическую скорость ракеты, запущенной с поверхности Земли.

Решение. Второй космической (или параболической) скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и предпологается, что на тело действует только поле тяготения Земли).

При удалении тела массой m в бесконечность его потенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энергии и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Согласно определению второй космической скорости, кинетическая энергия в бесконечности также равна нулю. Таким образом, в бесконечности W_pб=0 и W_kб=0. В соответствии с законом сохранения энергии в механике

W_k+W_p=W_kб+W_pб, или mv₂²/2-mM/R=0,

где М – масса Земли.

Находим

.

Преобразуем полученную формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R:

.

Так как

где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли, то

.

Подставив в эту формулу значения g и R и производя вычисления, получим

v₂=11,2 (км/c).

Ответ: v₂ =11,2 км/с.

2.5.2. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости, сообщенной ракете при запуске, он удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,3710⁶ м)? Силами, кроме гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение. Чтобы определить минимальную скорость v₁ ракеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию W_k. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы. Систему «ракета-Земля» можно считать замкнутой. Единственная сила, действующая на систему, сила гравитационного взаимодействия, является консервативной.

В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему отсчета, так как только в такой системе справедливы законы динамики и, в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной. В рассматриваемом случае центр масс системы «ракета-Земля» будет практически совпадать с центром Земли, так как масса Земли M много больше массы m ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно практически считать инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем

W_p1+W_k1=W_p2+W_k2,

где W_p1 и W_k1 – кинетическая и потенциальная энергии системы «ракета-Земля» в начальном состоянии (на поверхности Земли);

W_p2 и W_k2 – те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли).

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому W_k1 есть просто начальная кинетическая энергия ракеты

W_k1=mv²/2.

Потенциальная энергия системы в начальном состоянии (потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю)

W_p1=-mM/R.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли W_p будет возрастать, кинетическая – убывать. В конечном состоянии кинетическаая энергия W_k станет равной нулю, потенциальная энергия W_p достигнет значения

W_p2=-mM/r=-mM/2R,

так как r=2R.

Подставив значения W_k1, W_p1, W_k2, W_p2 в вышенаписанную формулу закон сохранения механической энергии, будем иметь

mv₁²/2-mM/R=-mM/2R,

откуда после сокращения на m найдем

v=(M/R)^1/2,

а так как M/R²=g, то

v=(gR)^1/2,

что совпадает с выражением для первой космической скорости. Подставив числовые значения величин, и произведя вычисления, получим

v=7,910³ (м/с).

Ответ: v=7,910³ (м/с).

2.5.3. Найти выражение для потенциальной энергии W_p гравитационного взаимодействия Земли и тела массой m, находящегося на расстоянии r от центра Земли за пределами ее поверхности.

Решение. Потенциальная энергия в поле консервативных сил (гравитационные силы консервативны) связан с силой, следующим соотношением:

,

где i, j, k – единичные векторы осей координат (орты);

–частные производные потенциальной энергии по соответствующим координатам.

В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией, это выражение упрощается. Если ось x совместить с радиус-вектором r, направленным по радиусу сферы, то

и

и тогда

.

Так как векторы r и i совпадают и W зависит только от r, то

.

Запишем в векторной форме закон всемирного тяготения:

,

где – гравитационная постоянная;

M – масса Земли.

Сравнивая вышеприведенные выражения, найдем

откуда

Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим

.

где C – постоянная интегрирования.

Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой произвольной постоянной.

1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друг тел равной нулю, то постоянная C обращается в нуль. В этом случае запишем

.

2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли, то

и тогда

Но так как r=R+h, где h – высота тел над поверхностью Земли, то

Если , то

или, так как

,

2.5.4. В гравитационном поле Земли тело массой m переместилось из точки 1 в точку 2. Определить скорость v тела в точке 2, если в точке 1 его скорость равна V=(gR)^1/2=7,9 км/с. Ускорение свободного падения g считать известным.

Решение. Система «тело-Земля» является замкнутой, в которой действует консервативная сила – сила гравитационного взаимодействия. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии (инерциальную систему свяжем с центром масс системы). Тогда можно записать

W_k1+W_p1=W_k2+W_p2,

где W_k1, W_p1 и W_k2, W_p2 – соответственно кинетические и потенциальные энергии в начальном и конечном состояниях. Заметим, что центр масс системы практически совпадает с центром масс Земли (m<M), и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конечном состояниях равна нулю. Тогда

W_k1=mv₁²/2; W_p1=-Mm/3R; W_k2=mv₂²/2; W_p2=-Mm/2R.

Подставив эти выражения в закон сохранения механической энергии, плучим

mv₁²/2-mM/3R=mV₂²/2-mM/2R.

Заменив M=gR² и произведя сокращения, найдем

v₂²=v₁²+gR/3,

откуда

.

Так как (по условию задачи), то

.

Произведя вычисления, получим

v=7,94/3=9,12 (км/с).

Ответ: v=9,12 км/с.

2.5.5. Вычислить работу А₁₂ сил гравитационного поля Земли при перемещении тел массой m=10 кг из точки 1 в точку 2. Радиус Земли и ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными.

Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой А и изменением W_p потенциальной энергии. Так как силы системы – гравитационные – относятся к силам консервативным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциальной энергии, т.е.

A₁₂=-W_p=W_p2-W_p1,

где W_P1 и W_P2 потенциальные энергии системы «тело-Земля» соответственно в начальном и конечном ее состояниях.

Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равно нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли,тогда на расстоянии r потенциальная энергия вырзится равенством

W_p=-mM/r,

где М – масса Земли.

Для расстояний r₁=3R и r₂=2R, заданных в условии задачи, получим два выражения потенциальной энергии

W_p1=-mM/3R; W_p2=-mM/2R. Подставив эти выражения в формулу А=-W, получим

А=-mM/3R-(=-mM/2R)=mM/6R.

Заметив, что M/R²=g, преобразуем последнее выражение к виду

А₁₂=mgR/6.

Подставив значения m, g, R в это выражение и произведя вычисления, найдем

А₁₂=109,816,3710⁶/6=1,0410⁶ (Дж).

Ответ: А₁₂=104 МДж.

2.5.6. С какой скоростью движется Земля вокруг солнца? Принять, что Земля движется по круговой орбите.

Решение. На тело, движущееся по круговой орбите, действует центростремительная сила, величина которой выражается формулой:

F=mv²/R,

где m – масса тела;

v – скорость движения тела по орбите;

R – радиус кривизны орбиты.

В рассматриваемом случае центростремительной силой является сила притяжения, которая выражается формулой:

F=mM/R²,

где М – масса Cолнца;

 – гравитационная постоянная;

R – расстояние центра Земли от центра Cолнца (равно радиусу кривизны орбиты).

Приравняв произведение массы на центростремительное ускорение к силе притяжения, получим уравнение:

mV²v/R=mM/R²,

откуда

v=(M/R)^1/2.

Подставив в это выражение числовые значения, входящих в него величин и производя вычисления, находим:

v=(6,6710^-111,9810³⁰/(1,4910¹¹))^1/2=2,9810⁴ (м/с).

Ответ: v=29,8 км/с.

2.5.7. С какой скоростью должна быть выброшена с поверхности Солнца частица, чтобы она могла удалиться в бесконечность?

Решение. Частица должна быть выброшена с такой скоростью v, чтобы соответствующая этой скорости кинетическая энергия была равна работе А, совершаемой против сил притяжения частицы к Солнцу при удалении ее в бесконечность, т.е., чтобы

А=W_k, или mv²/2=A,

откуда

v=.

Для вычисления работы, совершаемой против силы притяжения при удалении тела от Cолнца, используем правило нахождения работы переменной силы. Элементарная работа против силы притяжения F при удалении на dr опредеуяется соотношением:

dA=Fdr =mM/r² dr,

где m – масса тела;

M – масса Солнца;

r – расстояние тела от Солнца.

Работа, которую нужно совершить, чтобы удалить тело с поверхности Солнца в бесконечность, будет равна:

,

где R – радиус Солнца.

Подстaвив полученное вырaжение рaботы А в формулу для скорости, будем иметь:

v=(2M/R)^1/2.

После подстaновки в полученное выражение численных значений входящих в нее величин, находим численное значение скорости

v=26,6710^-111,9810³⁰/6,9510⁸=6,1510⁵ (м/с).

Ответ: v=615 км/с.