osnovnye_ponjatija_i_zakony

Электромагнитные явления	141
ния:
IR = U0 - q/C,	(5.91)
где q - заряд на обкладке конденсатора;

q/C - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Изменение тока в цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R и емкости C:

а) при включении источника с ЭДС E

	U	0				−	t
i(t) =					− e
				1			RC		;	(5.92)
	R

б) при выключении источника с ЭДС E

	i(t) =	U0	e−	t	.	(5.93)
				RC
		R

Уравнение для тока в цепи при наличии в ней источника с ЭДС E, сопротивления R, емкости C и индуктивности L, включенных последовательно:

	L	d2 I	+ R	dI	+	1	I =	dU	.	(5.94)
		dt 2		dt		C		dt

5.7. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля

	Энергия магнитного поля	LI	2
	W =			.	(5.95)
		2

Объемная плотность энергии магнитного поля - физическая величина, которая показывает, какой энергией обладает магнитное поле, занимающее единицу объема пространства:

		wo = W/V.					(5.96)
Энергия магнитного поля соленоида
W =	1	NBS	HI	=	1	HBV ,	(5.97)
	2		N
				2

где V = S·A - объем соленоида, заполненный однородным магнитным полем.

Объемная плотность магнитного поля длинного соленоида

142	Физика. Основные понятия и законы
	w0 =	1	BH =	1	μμ0 H2 =	B2	.	(5.98)
				2
	2					2μμ0
dV	Энергия dW неоднородного магнитного поля элемента объема
			dW = w0 dV .					(5.99)
	Энергия неоднородного магнитного поля, занимающего какой
- либо объем пространства:
			W = ∫w0dV .					(5.100)
					V

5.8. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

а) Движение заряженных частиц в электрическом поле со-

вершается под действием силы

	F = qE.				(5.101)
Уравнение движения частицы в электрическом поле:
G	G	dv		G	(5.102)
F = ma;m				+ qE = 0 .
		dt

Уравнения движения заряженной частицы в электрическом поле плоского конденсатора (в направлениях x и y):

	m	dv	x	= 0; m	dv y	= qEy	= qE.	(5.103)
		dt			dt

Уравнение траектории движения частицы в электрическом поле плоского конденсатора:

y =	q	Et2 =	qEx2	.	(5.104)
	2m
			2mv0

Угол отклонения частицы от первоначального направления при ее движении в электрическом поле плоского конденсатора

tgα =	qEx	.	(5.105)
	mv02

Скорость частицы в электрическом поле плоского конденсатора:

а) в направлении x

	dx	= v x = v0 ;	(5.106)
	dt

Электромагнитные явления						143
б) в направлении y
	dy	= v y	=	qEx	.	(5.107)
	dt
				mv0

б) движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

Сила, действующая на заряженную частицу со стороны маг-

нитного поля, пропорциональна величине заряда, скорости частицы индукции магнитного поля и синусу угла между направлениями векторов скорости v и индукции магнитного поля B (сила Лоренца):

Fл = q·v·B·sinα, Fл = q·[v×B].

(5.108)

Основные свойства силы Лоренца:

1)если скорость частицы v = 0, то Fл = 0; на покоящиеся заряды сила Лоренца не действует;

2)если частица движется вдоль силовой линии магнитного поля,

то Fл = 0, т.к. sinα = 0;

3)если движение частицы происходит перпендикулярно силовым линиям магнитного поля (π = π/2), то Fл = Fmax = q·v·B;

4)так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, следовательно, к любому участку траектории движения заряженной частицы (элементу перемещения), то она не совершает работу, не изменяет кинетическую энергию и скорость частицы;

5)в однородном магнитном поле величина силы Лоренца не изменяется.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, если скорость частицы перпендикулярна направлению магнит-

ного поля, происходит по окружности.

Радиус окружности, по которой движется заряженная частица в однородном магнитном поле:

r =	mv	=	v
				.	(5.109)
	qB		(q / m)B

Период обращения частицы при ее движении в однородном магнитном поле - время, за которое частица сделает один полный оборот:

T =	l	=	2πr	=	2πm	.	(5.110)
	v		v
					qB

Частота обращения частицы при ее движении в однородном

144 Физика. Основные понятия и законы

магнитном поле – число оборотов, совершаемых частицей, движущейся в однородном магнитном поле по окружности:

ν =	1	=	qB	.	(5.111)
	T
			2πm

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, если скорость частицы направлена под углом к магнитному по-

лю, происходит по винтовой линии (спирали).

Шаг винтовой линии (спирали) определяется соотношением

h = vτ T = vτ cosα T = 2πv0·cosα/[(q/m)B].	(5.112)
Сила, действующая на движущийся точечный заряд q в
электромагнитном поле (формула Лоренца):
Fл = Fe + Fm = q·(E + [v×B]),	5.114

где q - заряд частицы;

E - напряженность электрического поля; B - индукция магнитного поля;

v - скорость частицы относительно системы координат, в которой вычисляются величины F, E, B.

Скорость дрейфа частицы, если электрическое и магнитное поля взаимно-перпендикулярны:

u = E/H.

(5.115)

5.9. Гальваномагнитные явления

Гальваномагнитные явления - совокупность явлений, связанных с действием магнитного поля на электрические (гальванические) свойства твердых проводников, по которым течет ток.

Эффект Холла – возникновение в твердом проводнике с током плотностью j, помещенном в магнитном поле H, электрического поля в направлении, перпендикулярном H и j.

Напряженность электрического поля (поля Холла)

EH = R·H·j sinα,

(5.116)

где α - угол между векторами H и j (α < 1800);

R - постоянная Холла - основная количественная характеристика данного эффекта. Знак R положителен, если j, H и EH образуют правовинтовую систему координат.

Величина постоянной Холла:

Электромагнитные явления	145
1) для изотропных проводников, в частности для поликри-
сталлов
R = 1/ne = μ/σ,	(5.117)

где n – число носителей зарядов в единице объема; e – величина заряда;

μ = eτ/m* - подвижность носителей зарядов; σ - удельная электропроводность;

m* - эффективная масса;

τ- время между двумя последовательными соударениями с рассеивающими центрами;

2) для анизотропных веществ
R = r/en,	(5.118)

где r – величина, близкая к единице, зависящая от направления H относительно кристаллографических осей; 3) в полупроводниках - в электропроводности участвуют одно-

временно электроны проводимости и дырки, поэтому:

а) для слабых полей
R =	1 σ2э				/ n э − σ2д / n д			;	(5.119)
	e				(σэ + σд )2
б) для сильных полей				1		1
R =							,		(5.120)
						nэ − nд
				e

где σэ, σд - парциальные проводимости электронов и дырок; nэ, nд – концентрации электронов и дырок;

в) при nэ = nд - знак R соответствует знаку основных носителей и для всех значений H

σэ −σд
R = n e (σэ + σд ).	(5.121)

5.10. Электромагнитные колебания и волны

Собственные электромагнитные колебания происходят в ко-

лебательном контуре, в котором отсутствует активное сопротивление

R.

Уравнение собственных электромагнитных колебаний

146

Физика. Основные понятия и законы

L

di

+

q

=

0, L

d2 q

+

q

= 0 .

(5.122)

dt

C

dt

2

C

Решение уравнения собственных электромагнитных колеба-

ний:

q = q0 sin(ω0t + ϕ0).

(5.123)

Период и частота собственных электромагнитных колеба-

ний:

1

ω02

=

; ω0

=

1

; T = 2π LC .

(5.124)

LC

LC

Уравнения, согласно которым происходит изменение напряжения Uc и тока i в контуре с течением времени:

Uc = q/C = (q0/C) sin(ω0t + ϕ0) = U0 sin(ω0t + ϕ0);

i = dq/dt = (q0ω0) cos(ω0t + ϕ0) = i0 cos(ω0t + ϕ0). (5.125)

Затухающие электромагнитные колебания происходят в коле-

бательном контуре, в котором имеется активное сопротивление R. В этом случае энергия, потерянная в контуре (рассеянная на активном сопротивлении R), не восполняется извне.

Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний:

	L	d2 q		+ R	dq	+	q	= 0.	(5.126)
		dt	2		dt		C
	Решение уравнения затухающих электромагнитных колеба-
	ний:				cos(ωt + ϕ),
	q = q0e−δt								(5.127)

где q0e−δt - амплитуда колебаний в момент времени t;

δ - коэффициент затухания; знак "минус" означает, что с течением времени амплитуда коле-

баний уменьшается.

Условная циклическая частота и период затухающих электромагнитных колебаний:

	ω2	= ω02 − δ2	; T =	2π			.	(5.128)
				(ω02	− δ2 )

Характеристики затухающих электромагнитных колебаний:

а) декремент колебаний - отношение двух последовательных значений q, отличающихся по времени на период:

Электромагнитные явления

147

β =

q

t

=

q

0

e−δt

cos(ω

0

t + ϕ)

= eδT ;

(5.129)

q(t+T)

q0e−δ(t+T) cos(ω0 (t + T)

+ ϕ)

б) логарифмический декремент затухания

λ = lnβ = δT.

(5.130)

Условие возникновения апериодических колебаний:

R = 2(L/C)1/2.

(5.131)

Добротность колебательного контура

Q =

π

=

π

=

ω

.

(5.132)

λ

δT

2δ

Вынужденные электромагнитные колебания возникают в ко-

лебательном контуре, в котором действует ЭДС, изменяющаяся по какому-либо периодическому закону (например, по закону синуса или косинуса).

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

L

d2 q

+ R

dq

+

q

= U0 cos ωt ;

d2q

+

R dq

dt

2

dt

C

dt

2

L dt

d2 q

+ 2δ

dq

+ ω02 =

U

0

cos ωt .

dt2

dt

L

+ LCq = UL0 cos ωt ; (5.133)

Решение уравнения вынужденных электромагнитных колебаний:

q = q1 + q2,

(5.134)

где q1 = q01 cos(ωt -Ψ) - частное решение;

q2 = q02 exp(-δt) sin (ω0t + ϕ0) - общее решение однородного уравнения.

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания

можно описать уравнением вида:
	q = q01 cos(ωt - Ψ).									(5.135)
Амплитуда и фаза вынужденных электромагнитных колеба-
ний определяется по следующим формулам:
q01 =	(U0 / L)			=			(U0 / ω)		;	(5.136)
	(ω02 − ω2 )2 − 4δ2 ω2					R 2	+ (ωL −1/ ωC)2
	tgΨ =	2δω		=			R	.		(5.137)
		ω02 − ω2			1/ ωC − ωL

148	Физика. Основные понятия и законы

Резонанс - явление резкого возрастания амплитудных значений переменных величин при электромагнитных колебаниях (в колебательном контуре).

Резонансная частота - частота, при которой наблюдается резонанс (частота, соответствующая максимальному значению q01, а следовательно, тока и напряжения):

ω = ω02 − 2δ2 ,

(5.138)

где ω0 = 1/ LC , а δ = R/2L.

Амплитуды напряжения, тока и индуцируемой ЭДС в колебательном контуре определяются соотношениями

I0 =

E0

;

U0

=

q0

=

I0

=

E0 LC

;

R2 + (ωL −1/ ωC)2

ωC

R

C

Eинд

= LωI0

=

E0 LC

.

(5.139)

R

Разность фаз между током и внешней ЭДС:

tgϕ =	ωL −1/ ωC .	(5.140)
	R

Автоколебания - вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависят от характера внешнего воздействия, а определяются свойствами самой автоколебательной системы.

Электромагнитные волны – процесс распространения электромагнитных колебаний (переменного электромагнитного поля) в пространстве с конечной скоростью.

Источники электромагнитных волн – любой электрический колебательный контур; проводник, в котором существует переменный электрический ток.

Длина электромагнитной волны λ – расстояние между двумя точками, колебания в которых отличаются по фазе на 2π (например, между двумя максимумами), или расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода колебания T.

Деление электромагнитных волн производят по способам ге-

нерации, регистрации и их свойствам: радиоволны, световые волны, рентгеновское и γ-излучения.

Поперечность электромагнитных волн заключается в том, что

Электромагнитные явления

149

векторы напряженности электрического поля E и напряженности магнитного поля H взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v - скорости распространения волны.

Векторы напряженностей E и H переменного электромаг-

нитного поля удовлетворяют волновым уравнениям типа

G

1

∂2 E

G

1

∂2 H

E

=

; H =

,

(5.141)

v2

∂t2

v 2

∂t2

∂2

∂2

∂2

где =

+

+

- оператор Лапласа;

∂x2

∂y2

∂z2

v =

1

1

=

c

- фазовая скорость;

ε0μ0

εμ

εμ

ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и μ - соответственно электрическая и магнитная проницаемости

среды;

c – скорость распространения света в вакууме.

Мгновенные значения векторов E и H в электромагнитной волне связаны между собой соотношением

εε0 E = μμ0 H .

(5.142)

Дифференциальные уравнения плоской синусоидальной вол-

ны:

∂2 E

=

1

∂2 E

;

∂2 H

=

1

∂2 H

.

(5.143)

∂t2

εε0μμ0

∂r 2

∂t2

εε0μμ0

∂r 2

Решения дифференциальных уравнений плоской синусоидальной электромагнитной волны имеют вид

E(r,t) = Em sinω(t ± r/v); H(r,t) = Hm sinω(t ± r/v),

(5.144)

где E(r,t), H(r,t) - мгновенные значения векторов E и H в данной точке пространства с координатой r и в данный момент времени t;

Em, Hm - их максимальные значения;

ω = 2π/T = 2πν - круговая или циклическая частота; ν - частота колебаний;

v – скорость распространения волны.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны скла-

дывается из объемных плотностей wэл и wм электрического и магнитного полей:

150	Физика. Основные понятия и законы
	w = wэл + wь =	1	εε0E2	+	1	μμ0 H2	= 2wэл = εε0 E2	=
		2			2
								(5.145)

ε0μ0 εμ EH = ε0μ0 εμ S,

где S = w v = E H – модуль плотности потока энергии электромагнитной волны.

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны –

вектор Умова-Пойтинга:

П = [E×H].			(5.146)
Импульс электромагнитного поля
p =	W	,	(5.147)
	c

где W – энергия электромагнитного поля;

c – скорость распространения электромагнитного поля в вакууме (скорость распространения света в вакууме).

Соотношение между массой и энергией свободного электро-

магнитного поля – универсальный закон природы:
W = m c2.	(5.148)

5.11. Основные положения теории Максвелла. Уравнения Максвелла

Первое положение: переменные электрическое и магнитное поля не могут существовать отдельно, независимо друг от друга; одно поле порождает другое. Они существуют всегда вместе в виде единого электромагнитного поля, которое в каждой точке пространства характеризуется векторами E и H.

Второе положение: электромагнитное поле, возникнув в одном месте пространства, не остается локализованным в нем, а распространяется от этого места в виде электромагнитной волны. Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости v, с которой распространяется волна.

Вихревое электрическое поле возникает в проводниках; обу-

словлено явлением электромагнитной индукции. Для него справедливо соотношение

		G	G		dФ
	∫	EB dl		= −		,	(5.149)
					dt
	L