§ 9. Общая характеристика “Начал” Евклида

1.Сначала остановимся на исторической обстановке, в которой развивалась математическая наука в Греции с конца V в. до н.э..

В конце V в. до н. э. разразилась затяжная война между союзом греческих государств, возглавляемым Афинами, и союзом во главе со Спартой. Афины потерпели поражение, и это подорвало мощь Афин. лишив их ведущего положения среди греческих государств, Все же Афины большую часть IVв. до н. э. оставались научным и культурным центром Греции. Но во второй половине IV в. до н. э. Филипп Македонский завоевал всю Грецию, а затем его сын Александр Македонский покорил Персию, Египет, Вавилон, часть Средней Азии и Индии. После смерти Александра его империя распалась не несколько эллинистических монархий, в которых правили полководцы Александра. Самыми крупными и долговечными из этих государств были царства Птолемеев в Египте, Селевкидов в Азии и Македония. Государственным языком в эллинистических странах становится греческий.

Столица Птолемеев Александрия становится торговым, культурным и научным центром всего древнего мира. Птолемей I основал в Александрии Музей-дом Муз, куда были приглашены крупнейшие ученые мира. При музее имелись обсерватория и богатейшая библиотека, которая к I в. н. э. насчитывала более 700000 рукописей. Основой обучения впервые становится книга, хотя лекции в Александрии тоже читались. Но если раньше в Греции научные школы были независимы от государства, то в Александрии Музей находился на содержании государства, а ученые, работавшие там, получали жалованье. Фактически в Египте сложилась научная школа. которая просуществовала несколько веков, без общепризнанных руководителей. Крупнейшие ученые того времени или работали в Александрии, или были тесно с нею связаны. Наибольшие успехи в Александрии были достигнуты в астрономии, математике, географии и филологии.

2.В IV в. до н. э. весьма актуальной в греческой математике стала проблема систематизации теоретической математики того времени. Дело в том, что накопилось большое число теорем, причем с доказательствами, но общепринятой геометрии предпринимались и до Евклида: начиная с V в.до н. э. различными учеными были написаны сочинения, которые обычно назывались - “Начала”. Но все эти сочинения были скоро забыты после появления “Начал” Евклида.

Евклид (365- около 300 до н. э. ) жил и работал в Александрии. Здесь он, в частности, читал лекции по математике. Древние историки пишут, что он был очень доброжелателен ко всем, кто внес хоть какой-то вклад в математику, скромен, корректен, порядочен и принципиален. Рассказывают, что царь Египта Птолемей I спросил у него, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем его “Начала”. Евклид ответил, что в геометрии нет особой царской дороги. Он был при жизни весьма уважаемым. знаменитым человеком; современники часто называли его Геометром, и всем было понятно, о ком идет речь.

Кроме “Начал” Евклид написал следующие сочинения: “ Данные”, “ Ложные заключения”, ”О конических сочинениях”, “Оптика”, “Феномены” ( о сферической астрономии), “ Сочинение канона” ( математическая теория музыки) и др. Не все из них сохранились до наших дней. В трех последних сочинениях, посвященных не математике, а оптике, астрономии и теории музыки, основное содержание выводилось строго дедуктивно из физических гипотез и математических постулатов – стиль, соответствующий стилю самих “Начал”. Однако эти работы по объему, содержанию и значению несравнимы с “Началами”.

“Начала” Евклида – одно из самих выдающихся произведений мировой литературы, уступающее по известности разве что Библии. Это сочинение существует более двух тысячелетий, но до сих пор не утратило своего значения не только в истории науки, но и в самой математике. Его много раз переписывали, издавали, переводили на многие языки, сопровождая многочисленными комментариями. Созданная в нем система евклидовой геометрии до сих пор изучается во всех школах мира.

“Начала” не являются энциклопедией математики того давнего периода, например, в них не вошли конические сочинения. Но они не были и учебником для первоначального знакомства с математикой. В “Началах” излагаются основы математики того времени.

Евклид не был великим математиком, но он, безусловно, гений систематизации. У него были многочисленные предшественники, из которых он сумел выбрать наиболее важных. Значительная часть предложений “Начал” принадлежат самому Евклиду; они использовались им для построения системы геометрии и арифметики.

“Начала” Евклида состоят из 13 книг (глав). Из них планиметрии посвящены книги I-VI и X, стереометрии – книги XI – XIII, арифметике и теории чисел - остальные: VII- IX. Большинство книг начинаются с определений. В начале первой книги излагаются пять постулатов и пять аксиом. Затем в каждой книге следуют предложения; всего в “Началах” 470 предложений.

1. В начале первой книги приводится 23 определения. Первые 7 определений – это определения общих понятий: точки, линии, прямой и др.; остальные являются, в основном, определениями частных понятий: угла, прямого угла, круга, его центра, диаметра, треугольника и др. Рассмотрим несколько первых определений.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Концы же линии – точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же поверхности – линии.

7. Плоская поверхность (плоскость) есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

Определения частных понятий близки к современным. Вот последнее, 23-е определение: “Параллельные суть прямы, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются”. В сравнении с современным определением параллельных прямых здесь имеется лишнее условие – неограниченное продолжение прямой в обе стороны. Связано оно с тем, что Евклид рассматривал прямую как отрезок, который, однако, можно неограниченно продолжать.

Присмотримся к определениям общих понятий 1−7. Определения 3 и 6, по существу, определениями не являются. Определения прямой и плоскости (4 и 7) страдают неясностью: что в них имел в виду Евклид? Главное же – такие определения невозможно использовать при дальнейшем изложении материала; они служат, скорее, описаниями существующих понятий.

Современные требования к системе определений научной дисциплины таковы: все понятия данной дисциплины должны делится на основные (неопределяемые) и определяемые; определение должно выражать новое понятие через уже известные понятия; обычная форма определения – указание ближайшего рода и видового отличия понятия, и др. Эта форма определения введена Аристотелем (впрочем, сейчас употребляются и некоторые другие виды определений, но аристотелева форма применятся чаще всего). Например: ромбов называется параллелограмм (ближайший род к понятию ромба), у которого все6 стороны равны (видовое отличие).

Определения общих понятий этим требованиям не удовлетворяют. Что касается частных определений, то они не вызывают особых возражений в указанном выше смысле.

2. После определений в первой книге “Начал” излагаются постулаты и аксиомы. Евклид не указывает, в чем различие между этими понятиями, но из текста видно, что постулаты связаны с геометрическими построениями, а аксиомы являются, с современной точки зрения, аксиомами скалярных (положительных) величин. В “Началах” приводятся пять постулатов и пять аксиом. В других книгах ни постулатов, ни аксиом нет.

Постулаты “Начал” таковы.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

(Из дальнейшего изложения выясняется, что здесь Евклид имел в виду следующее: из данной точки на прямой можно восстановить к ней единственный перпендикуляр.)

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Постулаты 1 и 3 значительно позже получили название аксиом линейки и циркуля. Хотя сам Евклид нигде о линейке и циркуле не упоминает, но он принципиально рассматривает только такие геометрические построения, которые сводятся к проведению прямой через любые данные точки и описыванию окружности из любой точки любым данным радиусом.

Перейдем к аксиомам.

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. Если к равным прибавятся равные, то и целые будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. Совмещающиеся друг с другом равные между собой.

5. Целое больше части.

Выбор постулатов и аксиом очень удачен. Все они широко используются автором, почти все вошли в современные аксиоматики. Однако аксиоматика Евклида неполна. В ней нет, например, аксиом движения (или аксиом конгруэнтности), аксиом стереометрии, аксиомы непрерывности. Это приводит к тому, что автор при рассмотрении предложений неявно пользуется допущениями, которые у него отсутствуют. На Евклиде появляются “пятна”, как выражались многочисленные комментаторы “Начал”.

Особую роль в истории геометрии сыграл пятый постулат. Уже некоторым современникам Евклида казалось, что его можно доказать в качестве теоремы с помощью других постулатов и аксиом. Однако многократные попытки сделать это неизменно кончались неудачей. Лишь в XIX в. н. э. было установлено, что пятый постулат доказать нельзя. Попытки его доказать привели к тому, что был получен ряд предложений, эквивалентных пятому постулату, например:

а) через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной (школьная форма этого постулата – так называемая аксиома о параллельных);

б) если через точку на стороне острого угла восстановить перпендикуляр к этой стороне, то он пересечет другую сторону угла;

в) сумма углов треугольника равна двум прямым углам и др.

В XIX в. н.э. российский математик Н.И. Лобачевский заменил пятый постулат в форме а) его отрицание: через точку вне данной прямой можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную; другие постулаты и аксиомы Евклида он оставил без изменения. На этой основе Лобачевский построил неевклидову геометрию.