Курс лекций по высшей математике. 2 часть

ГЛАВА 4

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Функция двух переменных, ее область определения и график

Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел x,y , L–

некоторое множество действительных чисел.

Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел x,y M соответствует единственное число z L , при условии, что каждое число z L соответствует хотя бы одной паре

x,y M .

При этом x и y называют независимыми переменными, или аргументами, z–зависимой переменной, или функцией переменных х и у, множество М–областью определения функции, L–множеством значе-

ний, или областью изменения функции.

Обозначают:

z f

x, y , z

x, y , z

z x, y

Если паре

x0 , y0

M

соответствует

число

z0

L ,

то пишут

z0 f

x0 , y0 , или z0

z

x

x

. Число z0

называют при этом частным

0

y

y0

значением функции при x

x0 , y

y0 .

Так как каждой паре чисел

x,y

соответствует единственная точка

P x, y

плоскости Оху и обратно, каждой точке P x, y

соответствует

единственная пара чисел

x, y

,

то функцию двух переменных можно

рассматривать как функцию точки и писать f

P вместо

f x, y .

В этом случае областью опреде-

z

ления

функции

является

некоторое

множество точек плоскости Оху.

Если значение z P

принять за

аппликату

соответствующей точки

x,y,z

пространства,

то

множество

таких точек образуют, вообще гово-

ря, некоторую поверхность, которую

называют

графиком

функции

P

z

f x, y

(рис.15).

x

Если функция задана с помо-

Рис. 15

щью аналитического выражения, то

43

областью ее определения считают множество всех таких точек плоскости Oxy, для которых это выражение имеет смысл и дает действительные значения функции.

Например, функция z=2x+3y–1 определена на всей плоскости Oxy,

графиком ее является плоскость;	функция z	1 x2 y 2 определена
при 1 x2 y 2 0 , то есть x 2 y 2	1 –внутри круга радиуса r=1 с цен-

тром в начале координат, график этой функции–полусфера радиуса

R=1.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай большего числа переменных. Так, функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке действительных чисел

x, y,z M соответствует		единственное	действительное число
u L , при условии,	что каждое число u L		соответствует хотя бы
одной тройке x, y,z	M .
Обозначают: u	f x, y, z ,	u u x, y,z .

Областью определения функции трех переменных является некоторое множество точек в пространстве. Саму функцию трех переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно.

§2. Предел функции двух переменных. Непрерывность

δ–окрестностью точки P0

x0 ,y0

на-

y

зывается внутренность круга радиуса δ с

.

δ

центром в этой точке.

Иначе говоря, это множество всех то-

P

чек Ρ x,y , для которых выполняется нера-

P0

2

y0

2

δ ,

венство

x-x0

y

то

есть

0

x

расстояние

ρ

ΡΡ0

δ . (рис.16).

Пусть функция z=f(x,y) определена в

Рис. 16

некоторой области G плоскости Oxy и точ-

ка P0 x0 , y0

G .

Число A называется пределом функции

z

f

x,y

при стремлении

точки

Ρ x,y

к точке P0 x0,y0 , если для любого числа

0

найдется

такая

– окрестность точки Ρ0 , что для любой точки P из этой ок-

рестности, кроме, может быть, самой точки Ρ0 , имеет место нера-

венство

f P A

.

44

Обозначают: lim f P		A или lim f		x,y	A
P	P0	x	x0
		y	y0
Для функции	трех	переменных		–	окрестностью точки

Ρ0 x0 ,y0 ,z0 является множество всех внутренних точек шара радиуса с центром в точке Ρ0 , определение предела сохраняется.

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.

Функция z	f	P называется непрерывной в точке Ρ0 , если
1) функция	f	P определена как в самой точке Ρ0 , так и в некото-

рой ее окрестности;

2) существует предел lim f P ;

PP0

3)этот предел равен значению функции в предельной точке:

lim f P

f P0 .

P P0

Условия (2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бес-

конечно малому расстоянию

ρ

ΡΡ0

соответствует бесконечно малое

приращение функции

z

f

P

f P0 .

Справедлива теорема:

Если функции нескольких переменных

f1 P и f2 P

непрерывны в

точке Ρ0 ,

то в той же точке непрерывны и их сумма

f1 P

f2

P ,

разность

f1 P

f2 P

,

произведение

f1 P

f2 P

и частное

f1

P

f2

P

(последнее–если f2 P0

0 ).

Точка Ρ0

называется точкой разрыва функции

z

f P ,

если для

нее не выполняется хотя бы одно из трех условий в определении непрерывности.

Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно

(изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Например, функция	z			1			имеет единственную точку разры-
			x 2		y 2
ва O 0;0 , а функция z	1					–множество точек разрыва, то есть
		x y			1

линию разрыва x+y–1=0.

45

Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:

каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);

всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Точка Ρ0 называется граничной точкой области G, если любая ок-

рестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей. Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное

множество точек называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется

неограниченной.

Функция z f P называется непрерывной в области G, если она

непрерывна в каждой точке этой области. Имеет место теорема:

Если функция z f P непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области

ограничена: f P N ;

принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m

и M);

принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.

§3. Частные производные

Пусть

функция

z

f x,y определена

в

области

G

и

точка

Ρ0 x0,y0

G . Дадим абсциссе

x0 приращение

x , тогда функция z по-

лучит приращение

x z

f x0

x,y0

f

x0 ,y0

,

которое называется

частным приращением по x функции z

f

x,y

в точке P0

x0 ,y0 .

Частной производной по x функции

z

f

x,y

в точке

P0

x0 ,y0

называется предел отношения частного приращения по x функции в

точке Ρ0					к приращению x при стремлении x к нулю.
		Обозначают частную производную функции z по переменной x
f		x	,y		, z		P ,	z	.
	x			0		x
		0					0	x

46

Таким образом, f x x0 ,y0

lim

x z

x

x 0

Аналогично

определяются

частное приращение по

y функции

z f x,y

в точке

Ρ0 x0 ,y0 :

y z

f x0 ,y0

y

f x0 ,y0

и частная

производная по y функции z f

x,y

в точке Ρ0 :

f y

x0 ,y0

lim

y z

z

(обозначают также z y ,

).

y

0

y

y

Заметив, что

x z

вычисляется при неизменном y, а

y z – при не-

изменном x, можно сделать вывод: правила вычисления частных производных совпадают с правилами дифференцирования функций одной

переменной, но при вычислении zx							полагают	y const , а при вычисле-
нии z y полагают x				const .
Примеры:
1) z	x3 ln y sin 5x 2 cos y 1 ;
zx	y	const	3x2 ln y			5cos 5x ;
				x3
zy	x	const			2 sin y .
				y
2) z	x y ;	zx	y const			yx y	1 ; zy x	const xy ln x .

Для функции y f x одной переменной производная n–го поряд-

ка определялась следующим образом: y ny n 1 . Аналогично опре-

деляются и частные производные высших порядков.

Частной производной n–го порядка функции нескольких перемен-

ных называется частная производная первого порядка от частной производной (n–1)–го порядка той же функции.

При этом учитывается, что производные можно вычислять по раз-

личным переменным. Так, функция двух переменных			z f x,y имеет
две частных производных 1–го порядка: zx	и	z y , четыре частных про-
изводных 2–го порядка:
zxx zx x , zxy zx y , zyx zy x ,	zyy	zy y ,	восемь частных

производных 3–го порядка (от каждой из четырех производных 2–го порядка можно найти производную как по x, так и по y), например,

zxxy

zxx y , zyyy

zyy y .

47

Частные производные высших порядков обозначают также										2 z	,
										x2
2 z	,	2 z	,	2 z	,	3z	,	3 z	. Частная производная 2–го или более
x y		y x		y2		x2 y		y3

высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, назы-

вается смешенной частной производной.

Справедлива теорема:

Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Так,

2 z

2 z

,

3 z

3 z

3 z

.

x y

y x

x y

2

y2 x

y x y

Пример.

z

ln x 2

y3 . Показать, что z xy

z yx .

Решение.

zx

1

2x

2x

; z y

1

3y2

3y2

;

x2

y3

x2

y3

x2

y3

x2

y3

zxy

zx

2x

2x

3y2

6xy 2

;

y

x2

y3

y

2

3 2

2

3 2

x

y

x

y

z yx

z y

3y 2

3y

2

2x

6xy 2

zxy .

x

x

x2 y3

x

2

y

3 2

x

2

y

3 2

§4. Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z					f x, y . Предположим, что оба ее аргумен-
та x и y получают соответственно приращения						x и	y . Тогда функция
z f	x, y	также получает приращение, z				f x	x, y	y	f x, y	,
которое называется полным приращением функции.
Функция z			f	x, y называется дифференцируемой в точке Ρ x,y						,
если	ее	полное		приращение можно		представить		в	виде
z	A x	B y	0	, где	x, y –произвольные приращения аргумен-

тов x и y в некоторой окрестности точки Ρ x,y , A и B–постоянные (не

48

зависят от x, y ), 0–бесконечно малая более высокого порядка, чем

x2

y 2

– расстояние между точками Ρ x, y

и Ρ x

x,y

y .

1

Главная часть приращения функции z

f

x, y ,

линейная относи-

тельно

x

и

y , называется полным дифференциалом этой функции

(обозначается dz,

df

x,y

).

Таким образом,

dz

A

x

B

y .

Можно доказать, что если функция

дифференцируема в

точке

Ρ x,y

,

то она имеет в этой точке частные производные

f x

x,y и

f y

x,y

, причем f x x,y

A ,

f y

x,y

B .

Следовательно,

z

f x

x,y

x f y x,y y

0 ρ

(*)

dz

f x

x,y

x

f y

x,y

y

(**)

Под дифференциалами независимых переменных условимся пони-

мать

их

произвольные

приращения:

dx

x ,

dy

y .

Тогда

dz

f x

x,y dx

f y x,y dy .

Аналогично для функции трех переменных u

f

x,y,z

du

ux dx u y dy

uz dz .

Из формул (*) и (**) следует, что при малых

z

dz , то есть

f

x

x, y

y

f

x,y

f x

x,y

x

f y

x,y

y ,

или

f

x

x,y

y

f

x,y

f x

x,y

x

f y

x,y

y .

Пример.

Вычислить

приближенно ln 3 1,03

4 0,98

1 .

Решение.

ln x 13

y 14

z

ln 3 x

4 y

1 , или z

1 ;

x

x

1,03 ;

y

y

0,98 ;

x

1 ; y

1 ;

тогда

x

0,03 ;

y

0,02 .

f

x,y

f 1;1

ln 113

114

1

ln1

0 ;

f x

1

1

x

2 3

;

f x 1;1

1

;

x

1

3

y

1

4

1

3

3

1

1

3

1

f

y

y

4 ;

f

y

1;1

.

1

1

4

y

1

4

x

3

4

Тогда

1

1

ln 3 1,03 4 0,98

1

0

0,03

0,02

0,01

0,005 0,005 .

3

4

49

Дифференциалы высших порядков определяются так же, как и для

функции

одной

переменной:

d 2 z

d dz ,

d 3 z d d 2 z ,...,

d n z

d d n

1z .

Нетрудно показать, что если x, y –независимые переменные, то

d 2 z

zxxdx2

2zxydxdy

z yydy2 ;

d 3 z

z

x

3 dx3 3z

x

2

y

dx2dy 3z

xy

2 dxdy 2

z

y

3 dy3 .

§5. Экстремум функции двух переменных

Пусть функция			z	f x,y	определена в некоторой области G и
точка P0 x0 ,y0		G .
Функция z		f	x,y	z P имеет в точке Ρ0 x0 ,y0 максимум, если
существует такая окрестность этой точки,						что для всех точек P x,y
этой	окрестности,		отличных		от P0 ,	выполняется неравенство
f Ρ0	f Ρ .

Аналогично определяется минимум функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функ-

ции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если Ρ0 x0 ,y0 –точка экстремума функции z f x,y , то частные производные zx Ρ0 и z y Ρ0 в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, в которых частные производные zx и z y обращаются в

нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, исполь-

зуют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку Ρ0

x0 ,y0 , функ-

ция z

f

x,y

имеет непрерывные частные производные до 3–го по-

рядка

включительно

и

zx Ρ0 z y Ρ0 0 .

Обозначим:

P

z

xx

Ρ

z

yy

Ρ

z

xy

Ρ

2 . Тогда

0

0

0

0

1)если

Ρ0

0 , то функция имеет экстремум в точке

Ρ0 , при-

чем это максимум, если zxx

Ρ0

0 и минимум, если zxx Ρ0

0 ;

50

2)если	Ρ0	0 , то экстремума в точке Ρ0 нет;
3)если	Ρ0	0 , требуется дополнительное исследование
тремум в точке Ρ0		может быть или не быть).
Пример. Исследовать на экстремум функцию z			x3	xy 2	6xy
Решение. Найдем критические точки функции.			zx	3x2	y 2

(экс-

.

6 y ;

z y	2xy			6x . Решим систему																					3x2				y 2		6 y	0		. Из 2–го уравнения
																									2xy				6x		0
2x y	3			0			x						0 или								y 3 . Подставив эти значения в 1–ое урав-
нение, получим: при x																				0 y 2					6 y	0 ,				y y	6			0 ,	y		0 или		y			6 ;
					3x2																0 , 3x2								x2
при	y 3 ,											9		18												9 ,				3 , x					3 . Таким образом,
функция имеет четыре критических точки:																															O 0;0 ,				A 0;		6 ,					3 ,
																																						B	3;
C		3; 3 . Проверим, есть ли экстремум в этих точках.
	zxx			6x ; z yy										2x ; z xy										2 y 6 .
			6x 2x 2y 6 2																				12x2		2y 6 2 ;
			O	0	62									36						0 в точке O экстремума нет.
			A	0	12									6 2										36	0			в точке A экстремума нет.
				12						2										6 2
			B					3								6									36	0				в	точке B экстремум есть,
причем																								0 ,					значит,					это				минимум.
						zxx						B				6				3
						2										6 2
C	12				3									6										36	0				в точке C экстремум есть, при-
чем																				0 ,							значит,							это				максимум.
				zxx C										6		3
									3
zmin		z B					3							3 9											6	3			3		6	3 –минимум						функции,
													3
zmax			z C								3									3				9	6	3				3	6	3 –максимум функции.

§6. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Пусть функция z f x,y непрерывна в замкнутой ограниченной

области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно:

1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;

51

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z

x2

3y 2

x

y

в

треугольнике,

ограниченном

прямыми

x

1 ,

y

1,

x

y

1.

Решение.

1)найдем

критические

точки

функции.

zx

2x

1

x

1

2x

1

0

z y

6 y

1;

2 .

6 y

1

0

y

1

6

Найденная критическая точка

K -

1

;

1

2

6

1

не принадлежит области.

2)Исследуем границу области. На участке

•D

•E

AB: y=1,

x

0;1 .

Функция

имеет

вид

z

x2

3

x

1 то

есть

z

x2

x

2 ;

1

z

2x

1

0

при

всех

x

0;1

функция

монотонно возрастает на этом участке, поэто-

Рис. 17

му zнаим.

z A

2 ,

zнаиб.

z B

4 .

На

участке

BC:

x

1 ,

y

0;1 . Функция

имеет

вид

z

1

3y 2

1

y ,

то

есть

z

3y 2

y

2; z

6 y

1,

z

0

при

y

1

E 1;

1

–критическая

точка

на

участке

BC.

6

6

z E 3

1 2

1

2 1

11

;

z C 2 .

6

6

12

На участке AC: x+y=1, или

y

1-x,

x

0;1 . Функция имеет вид

z

x2

3 1

x 2

x

1

x , то есть

z

4x2

4x

2 ;

z

8x

4 ;

z

0

при

x

1

D

1

;

1

–критическая

точка

на

участке

AC.

2

2

2

z D

4

1

2

4

1

2

1 .

2

2

52