Курс лекций по высшей математике. 2 часть

Теорема 3: Ряды сходятся или сходятся одновременно
U1	U2	... Uk	1 Uk	Uk	1	...	Un ...	(1)
				Uk	1	...	Un ...	(5)
Доказательство:
Пусть
Sn U1 U2 .... Un , Sk		U1	U2 ....	Uk ,		n k	Uk 1 Uk	2 ... Un .
Очевидно Sn	Sk	n k , где k–некоторое число, не зависящее от
n. Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, то есть lim Sn								S . Тогда
							n

lim

n

k

lim Sn

Sk

lim Sn

lim Sk

S

Sk ,

n

n

n

n

это означает, что ряд (5) сходится,

так как

n

k –

n

k –я частичная

сумма ряда (5).

Пусть

теперь

ряд (5)

сходится и

имеет

сумму

,

то

есть

lim

n k

. Тогда

lim Sn

lim Sk

n

k

lim Sk

lim n

k

Sk

,

n

n

n

n

n

что означает сходимость ряда (1). Аналогично доказываются случаи рассходимости. Предоставляем сделать это самостоятельно.

Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд

			U1	U2	U3	...	Un ...
сходится, то		lim Un	0 .
	n
Доказательство: Пусть данный ряд имеет сумму S.
			Sn	U1	U2	U3	... Un ,
			Sn 1	U1	U2	U3	... Un 1
Так	как	ряд	сходится,		то	lim Sn		S и lim Sn 1 S , тогда
						n		n
lim Un	lim	Sn Sn 1 S		S	0 , что и требовалось доказать.
n	n

Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.)

Если у числового ряда	lim Un		0 , то ряд расходится.
	n
Действительно, если	бы	ряд	сходился, то по теореме (4)
lim Un 0 .
n
Замечание: Условие lim Un		0 является необходимым, но не дос-
n

таточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходя-

щиеся ряды, у которых lim Un 0 . В качестве примера рассмотрим ряд
																n
1				1			1					...	1			... .
1				2			3							n

83

	Очевидно												lim U n				lim				1					0 .						Рассмотрим															Sn					1							1							1
												n					n						n																													1							2							3
...	1							.	Так				как			1						1			,	1								1					,	1							1			,...,		1								1				,					то
					n											1							n			2											n			3								n						n							n
	1								1					1																		1
Sn							+					+…+					или Sn										n									=					n .
															n
				n						n																							n
																																то nесть lim Sn
	Следовательно lim Sn																					lim					n ,																									, что означает
														n								n																					n

расходимость рассматриваемого ряда.

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Нахождение суммы ряда S lim Sn часто связано с большими тех-

n

ническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: S Sn . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии,

что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов.

Будем сначала рассматривать числовые ряды с положительными

членами:	Un	0 ,	n=1,2,3,	…. Для		таких рядов частичные		суммы
S1 U1 ,	S2	U1	U2 , …, Sn		U1	U2	... Un , … образуют	возрас-
тающую числовую последовательность
			S1	S2	S3 ...		Sn ....
Возможны два случая:
последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае
lim Sn	и ряд расходится;
n
последовательность частичных сумм ограничена, то есть существу-
ет такое число C			0 , что Sn		C при n		1,2,3,... .В этом случае сущест-

вует конечный lim Sn , следовательно, ряд сходится. Таким образом для

n

доказательства того, что знакоположительный числовой ряд сходится, достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.

Теорема: (признак сравнения)

Даны два знакоположительных числовых ряда

U1	U2	U3	...	Un ...	(1)
V1	V2	V3	...	Vn ...	(2)

84

причем Un			Vn при всех n		1,2,3,... .
	Тогда:
	1)если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1);
	2)если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
	Доказательство: Обозначим n–е частичные суммы рядов (1) и (2):
Sn	U1	U2	U3 ... Un ,		n V1 V2 V3	...	Vn . . Пусть ряд (2) схо-
дится. Это означает, что существует конечный							lim	n	. По условию
							n
0	Un	Vn , поэтому Sn		n	при всех n	1,2,..., то есть последова-

тельность { Sn } ограничена, следовательно, ряд (1) сходится. Пусть те-

перь	ряд (1) расходится,		то	есть lim Sn	. Тогда из	неравенства
				n
Sn	n	следует, что lim	n	, следовательно, ряд (2) расходится.
		n
	Замечания:
	В силу теоремы 3 признак сравнения справедлив и в случае, ес-
ли	Un	Vn начиная с некоторого номера k, то есть при n				k .

Чтобы пользоваться признаком сравнения, нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщенные гармо-

нические ряды

1

, где k–действительное число. Несколько позже

k

n 1

n

мы докажем, что при k

1 такие ряды расходятся, а при k

1 – сходят-

ся. При k

1 получаем расходящийся ряд

1

, который называется

n 1

n

гармоническим рядом.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

1

...

1

1

...

ln 2

ln 3

ln n

1

Рассмотрим расходящийся ряд

1

1

...

1

... Он получен из

2

3

n

1

гармонического ряда отбрасыванием U1

1. Так как ln n 1

n 1 при

любом n

1,2,..., то

1

1

, поэтому данный ряд расходится по

ln n

1

n 1

признаку сравнения.

Теорема: (предельный признак сравнения) Даны два знакоположительных числовых ряда

85

U1

U2

U3 ...

Un ...

(1)

V1

V2

V3 ...

Vn ...

(2)

Если существует конечный предел

lim

Un

A

0 , то ряды (1) и

Vn

n

(2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: По условию теоремы существует

lim

Un

A . Это

Vn

n

означает,

что для любого положительного числа

существует такой

номер N, что для всех номеров n

N выполняется условие

Un

A

.

Vn

Последнее неравенство равносильно двойному неравенству

U n

A

или A

U n

A

или

Vn

Vn

A

Vn

Un

A

Vn

(3)

Пусть

A (ведь неравенство (3) верно при любом

0 и любом

n 1,2,...). Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд

A

Vn по

n 1

теореме 1. Учитывая (3), по признаку сравнения сходится ряд (1).Если по условию ряд (1) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (3),

сходится ряд A Vn , тогда по теореме 1 сходится ряд (2).

n 1

Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Рекомендуем эту часть доказать самостоятельно.

Замечание: Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщенный гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

	n2	2	.
n 1	n3	n 1

86

Возьмем для сравнения ряд с общим членом	V	n2	1		то есть
	n	n3		n

	расходящийся гармонический ряд		1	.	U n	n2	2		, применим
		n 1	n			n3	n 1

предельный признак сравнения.

1

2

n2

n3

lim

U n

lim

2 n

lim

2n

lim

n2

1 0 , следо-

n

Vn

n n3

n 1

n n3

n 1 n

1

1

1

n2

n3

вательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Теорема: (признак Даламбера)
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
U1 U2 U3 ... Un ...	(1)

и пусть существует

lim

Un

1

. При <1 ряд сходится, при >1

Un

n

ряд расходится.

Доказательство: По условию существует

lim

Un

1

. Это озна-

Un

n

чает, что для любого положительного числа

существует такой номер

N, что для всех номеров n

N выполняется условие

Un 1

или

Un

U n

1

(2)

U n

Пусть сначала

1.

Выберем

так, что

q

1. Для всех

n N имеем:

U N 1

q ,

U N 2

q ,

U N

3

q , …

или

U N

U N 1

U N

2

UN 1

UN

q , U N 2

U N 1 q ,

U N 3

UN

2 q ,…

или

UN 1

UN q , U N

2

U N

q2 , U N 3

U N q3

(3)

Рассмотрим ряды:

UN 1

UN 2

U N

3 ...

(4)

U N

q

U N

q2

U N q3 ...

(5)

Ряд (5) сходится, так это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда ряд (4) сходится по признаку сравнения (следует из

87

(3)). Ряд (1) сходится по теореме 3. Пусть теперь >1. Выберем так,

что ρ ε			1. Тогда из левой часть неравенства (2) следует, что при
n N	U n	1	1 или Un 1	Un , то есть члены ряда возрастают с возрас-
	U n
танием номера n. Поэтому				lim U n 0 , следовательно, ряд расходится
				n

по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана. Замечания.

Если расходимость ряда установлена с помощью признака Далам-

бера, то lim U n 0

n

При =1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. В таких случаях нужно применять другие признаки сходимости.

Признак Даламбера рекомендуем применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Пример: Исследовать на сходимость ряд

2n 1

n 1

3n

Применим признак Даламбера

Un

2n 1

, Un 1

2 n 1 1

2n 1

.

3n

3n 1

3n 1

2

1

U n 1

2n 1 3n

1

2n 1 1

1

lim

lim

lim

lim

n

1,

n

U n

n 3n 1 2n 1

3 n

2n 1 3 n

2

1

3

n

следовательно, ряд сходится.

Теорема: (признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

U1

U2

...

Un ...

(1)

и пусть существует

lim n U

n

.

n

При

<1 ряд сходится, при

>1 ряд расходится.

Доказательство: По условию существует

lim n U

n

. Это означа-

n

ет, что для любого положительного числа существует такой номер N,

что для всех n N выполняется условие:

n U

n

или

(2)

n

U

n

Пусть <1. Выберем

таким, чтобы выполнялось

+ =q<1.

qn

Тогда из (2) получаем

n U

n

q

или U

n

для всех n N.

88

Рассмотрим ряды:
		U N	U N 1 ...	(3)
		q N	q N 1 ...	(4)
Ряд (4) сходится, так как это бесконечно убывающая геометриче-
ская прогрессия;	ряд (3) сходится по признаку сравнения U n			q n ,
следовательно, по теореме (3) сходится ряд (1).
Пусть теперь	>1. Выберем		так, чтобы выполнялось условие:
1.Тогда из (2) получаем n U n			1 или Un>1, значит lim Un	0 и
			n

ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Теорема: (интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда

U1	U2	... Un ...			(1)
не возрастают: U1 U2 … Un … и пусть			f x	такая положительная,
непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;				) функция, что
f 1 U1 , f 2 U2 ,..., f n	Un ,... Тогда ряд (1) сходится или рас-
ходится одновременно с несобственным интегралом					х dx .
					1
Доказательство:
Построим график функции	y	f x	на отрезке 1,n и построим
прямоугольники с основаниями	1,2 , 2,3 ,..., n 1;n				и высотами U1, U2,

… Un–1, а также с высотами U2, U3, … Un.

Sn=U1+U2+…+Un–1+Un, Sвпис=U2·1+U3·1+…+Un·1=U2+U3+…+Un=Sn–

U1, Sопис=U1+U2+…+Un–1=Sn–Un

89

						n
Площадь криволинейной трапеции S						x dx Получаем
						1
			n
			Sn U1	x dx Sn		Un .
			1
Отсюда
				n
			Sn	U1		x dx	(2)
				1
				n
			Sn	Un	f	x dx	(3)
				1
Пусть	f	x dx	сходится. Это означает, что существует конечный
1
n
предел lim	f	x dx	Y . Соотношение (2)		принимает вид: Sn		U1 Y
n
1

при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм Sn ряда (1) ограничена, следовательно, ряд (1) сходится.

n

Пусть

f

x dx

расходится. Это означает,

что

lim

f ( x )dx

и

n

1

1

тогда из (3) следует, что последовательность частичных сумм

Sn

ряда

(1) неограничена, следовательно, ряд (1) расходится.

Пример. Исследуем с помощью интегрального признака обобщен-

ный гармонический ряд

1

.

nk

n

1

f x

1

. При k

1имеем

xk

dx

x

k dx

x

k 1

1

lim

1

1

1

,k

1 .

k 1

k 1

k

1 k

k 1

1 x

1

x

x

,k

1

1

dx

При k=1 имеем

ln x

1 lim ln x

ln1

1

x

x

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k 1.

90

4. Знакопеременные ряды

Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов

на (–1).

Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая–

знакочередующихся рядов.

Определение:

Числовой

ряд

вида

U

U

2

U

U

4

...

1 n 1

U

n

... , где U

n

–

модуль члена ряда, на-

1

3

зывается знакочередующимся числовым рядом.

Теорема: (признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

U

U

2

U

U

4

...

1 n 1

U

n

...

(1)

1

3

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю U1

U2

U3 …> Un

…

lim Un

0 , то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и

n

не превосходит первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

S2n U1 U2 U3 U4 U2n 1 U2n .

По условию U1>U2>…>U2n–1>U2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n > 0 при любом n.

С другой стороны

S2n=U1–[(U2–U3)+(U4–U5)+…+(U2n–2–U2n–1)+U2n]

Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому, S2n<U1 для любого n. Таким образом, последовательность частич-

ных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует ко-

нечный lim S2n S	. При этом 0<S U1, так как S2n<U1.
n
Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда
		S2n+1=S2n+U2n+1.
Перейдѐм в последнем равенстве к пределу при n				:
lim S2n 1		lim S2n	lim U2n 1 S 0	S
n		n	n
Таким образом,	частичные суммы как четного,			так и нечетного

числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому lim Sn S , то

n

есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

91

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

				1 n 1		1
		n	1		n n	1 2
	Un	1		Un 1		1
		n n	1 2			n 1 n 2 2

lim Un

lim

1

0

n

n n n 1 2

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд

сходится.

Замечания.

Теорема Лейбница справедлива и если условие Un>Un+1 выполняет-

ся, начиная с некоторого номера N.

Вообще, условие Un>Un+1 не является необходимым. Ряд может

сходиться,

если

оно

не

выполняется.

Например,

ряд

1

1

1

1

...

1

1

... сходится, как разность двух схо-

22

33

42

2n 1 3

2n 2

дящихся рядов

1

1

, хотя условие

n 1

2n 1 3

n 1

2n 2

Un>Un+1 не выполняется.

Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ря-

да)

Пусть

U1

U 2

...

U n

...

U n

(2)

n 1

знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсо-

лютных величин его членов

U1

U2

...

Un

...

Un

(3)

n

1

Тогда ряд (2) тоже сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

U1

U1

U2

U2

...

Un

Un

...

Un

Un

(4)

n

1

Очевидно 0 Un+|Un|

2|Un| при всех n=1,2,3…. Ряд (3) сходится по

условию, поэтому сходится ряд

и по признаку сравнения схо-

2

U n

n 1

дится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

92