Курс лекций по высшей математике. 2 часть

py qy

N

k1 ,k2

y C1 y1

C2 y2

1

k1

k2

R

С ek1x

C

ek

2 x

1

2

2

k

k

2

k

ekx C1

xC2

3

1

k

i

e x C cos

x

C

sin

x

2

1,2

1

4

k1,2

βi

C1 cos

x

C2 sin

x

5.Линейные неоднородные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

y f x (18)

где p и q–постоянные числа, а f x –заданная функция. Имеет место

теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (18) равно сумме какого–нибудь частного решения этого уравнения y* и

общего	решения y соответствующего однородного					уравнения
y py	qy 0 .
Доказательство. Нужно доказать, что сумма y				y	y*	есть общее

решение уравнения (18). Подставим эту функцию в уравнение. Имеем

y*

y*

y*

y

p y

q y

f x

или,

учитывая,

что производная

суммы равна сумме производных, получим

y*

py*

qy*

y

p y q y

0 f x

f x .

Получили тождество, так как выражение, стоящее в первых скоб-

ках тождественно равно нулю в силу того, что y –решение однородного

уравнения, а выражение во вторых скобках равно f x , так как y* является решением неоднородного уравнения. Следовательно,

y y*

y

(19)

является решением линейного неоднородного уравнения. И при этом

оно			будет общим решением, так как в его состав в силу того, что
	y		C1 y1 C2 y2 , входят две произвольные постоянные.
			Таким	образом, если известно общее решение	y однородного
уравнения,				то основная задача при интегрировании	неоднородного
				73

уравнения (18) сводится к нахождению какого–либо его частного решения y*

Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов, с помощью которого в некоторых случаях можно определить решение y* неодно-

родного уравнения.

Случай I. Правая часть уравнения (18) есть показательная функция

f

x aemx a

0 .

Ищем частное решение уравнения также в форме показательной

функции

y*

Ae mx ,

(20)

где

A–неопределенный

коэффициент.

Отсюда

y* Amemx ,

y*

Am2emx . Подставим в уравнение

y

py

qy

aemx

(21)

выражения

для

y*

и

его

производных,

получим:

Am 2emx

pAmemx

qAemx aemx .

Сократив обе части уравнения на

emx

0 , получим A m2 pm

q

a .

Здесь возможны два случая:

1)m не является корнем характеристического уравнения, то есть

m2

pm

q

0 . Тогда можно найти неизвестный коэффициент A. По-

лучим A

a

. И тогда y*

a

emx .

m2

m2

pm

q

pm

q

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть m2 pm q 0 . Тогда A найти нельзя и частное решение уравнения

(21)нельзя представить в виде Aemx .

Вэтом случае а) если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение уравнения (21) сле-

дует искать в виде y*					Axe mx и б) если оба корня характеристического
уравнения равны m, то частное решение ищут в виде y* Ax 2emx .
	Проверим,			например, что y* Axe mx		в	том случае, если m –
однократный				корень	характеристического		уравнения, то есть
k	m, k	2	m . Подставим в уравнение (21)			y*	и его первую и вторую
1

74

производные. Если

y*

Axe mx , то y*

Aemx

Amxemx

Aemx 1 mx ,

y*

Aemx m 1

mx

Ae mx m

Ae mx m2 x

2m

и тогда имеем

Ae mx m2 x 2m

pAe mx 1

mx

qAxe m

aemx , A m2 x

2m

pA 1 mx

qAx

a, A m2

pm

q x

A 2m

p

a.

Так как k

m,k

2

m , то m2

pm

q

0 , а 2m

p 0 (см. форму-

1

лу 14). Значит, неизвестный коэффициент

A

a

и y*

Axe mx , где

2m p

A уже известно. Но если оба корня характеристического корня равны m,

то есть

k

p

m , что и означает, что 2m

p 0

,

то y*

невозмож-

1,2

2

но найти в виде

y* Axe mx , а, как было сказано выше, его ищут в виде

y*

Ax 2emx .

Пример 13. Решить уравнение y

7 y 6 y

2e

x .

Решение. Найдем общее решение однородного линейного уравне-

ния

y

7 y

6y

0 . Для этого составим характеристическое уравнение

k 2

7k

6

0 . Его корни k

6,k

2

1 .

1

Тогда общее решение однородного уравнения

y

C e

6 x C

2

e x .

1

Ищем теперь частное решение неоднородного уравнения. Так как один корень характеристического уравнения совпадает с числом m=–1, то

y*

Axe x . Найдем

y*

и

y*

и подставим в данное уравнение

y* , y*

и y*

. Имеем

y*

Ae

x

Axe

x

1

Ae

x 1

x ; y*

Ae x 1

x

Ae x 1

Ae

x

2

x .

Тогда

Ae

x x

2

7 Ae x 1

x

6 Axe x

2e x ,

A x 2 7A 1 x 6Ax 2, Ax 2A 7A 7Ax 6Ax 2, 5A 2 .

Отсюда A

2 / 5 и y*

2 / 5xe

x .

Общее решение неоднородного уравнения составим по формуле

y* . Имеем y

C1e 6 x

x

2 / 5xe x .

y

y

C2e

Случай II. Пусть правая часть уравнения (18) представляет собой

произведение показательной функции на многочлен, то есть имеет вид

f

x

P

x emx ,

где

P

x –многочлен n–й степени, то есть

n

n

P

x

a

0

xn a xn

1

... a

n

1

x

a

n

.

n

1

75

Тогда возможны следующие частные случаи.

1)Число m не является корнем характеристического уравнения

k 2 pk

q 0 . В этом случае частное решение нужно искать в виде

y*

Q

x emx

A xn

A xn 1

... A

emx .

n

0

1

n

Действительно, найдем y*

и y* .

y*

Q x emx

Q x emx m

emx Q x mQ x ,

n

n

n

n

y*

emx m Q

x

mQ

x

emx

Q

x

mQ

x .

Подставим

n

n

n

n

y* , y* и

y* в уравнение с правой частью Pn

x emx . Тогда имеем после

сокращения на emx :

Q

x

2mQ

x

m2Q

x

pQ

x

pmQ x

qQ x

P x ,

n

n

n

n

n

n

n

Qn

x

2m p Qn

x

m2

pm

q Qn x

Pn

x .

(22)

Здесь

Qn x –многочлен n–й степени,

Qn x –многочлен степени

n–1, Qn x –многочлен степени n–2. Таким образом, слева и справа от

знака равенства стоят многочлены n–й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему для определения коэффициентов A0 , A1 ,..., An .

2)Число m является корнем характеристического уравнения, то есть m2 pm q 0 . Тогда в уравнении (22) справа стоит многочлен степе-

ни n, а слева коэффициент	m2 pm q при Q x равен нулю, что оз-
	n

начает, что в этой части уравнения стоит многочлен степени ниже, чем n. Тогда уравнение (22) ни при каких значениях A0 , A1 ,..., An не может

быть тождеством. Таким образом частное решение y* не может быть

найдено в виде Qn x emx .

В этом случае а)если один корень характеристического уравнения равен m, а другой отличен от m, то частное решение ищут в виде

y* xQ	n	x emx	и б)если оба корня k	k	2	m , то частное решение
			1
ищут в виде y*			x2Q x emx .
			n

Действительно, если решение ищут в виде y* xQn x emx , то мы

имеем здесь многочлен степени n 1 . Тогда в уравнении (22) в левой части стоит многочлен степени n, так как 2m p 0 , а производная

76

многочлена степени n 1 будет многочленом степени n.										Аналогично
рассуждаем и в том случае, когда k1						k2	m .
		Пример 14. Решить уравнение y				y	xe x .
		Решение. Находим общее решение уравнения						y y		0 .	Корни
характеристического уравнения k 2						k 0	равны k	0,k	2	1 .	Тогда
							1
					e x .
	y C		C	2
1

Число m 1 и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения

ищем в виде y* Ax B ex , где Ax B –многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами. Найдем первую и вторую произ-

водные

от

y* : y*

Aex

Ax

B ex ex Ax

A B ,

y*

e x Ax A B Ae x

e x Ax 2 A B .

Подставим

y* , y*

и

y*

в исходное уравнение,

сократим его на

ex

0 и получим уравнение Ax

2 A

B

Ax

A

B

x .

Отсюда 2 Ax 3A 2B

x . Приравниваем коэффициенты при оди-

наковых степенях x в левой и правой частях последнего уравнения:

x

2A=1

A 1 / 2

A 1/ 2

x0

3A+2B=0

3 / 2 2B 0

B 3 / 4

Таким образом,

y*

1

x

3

e x ,

а

общее

решение исходного

2

4

уравнения имеет вид:

y

C

C

e x

1

x

3

e x .

2

1

2

4

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения

имеет

вид

f x

Pn

x ,

то

это

является

частным

случаем

f

x

P x emx

при m

0

. Тогда все рассмотренное для случая II оста-

n

ется справедливым и при

m 0 . Так, если 1) среди корней характери-

стического уравнения нет равных 0, то частное решение ищут в виде

y*

Q

n

x ; 2) если

k

m,k

2

m , то

y* xQ

n

x

; 3) если

k

k

2

m ,

1

1

то

y*

x 2Qn x .

Случай III. Пусть правая часть неоднородного уравнения (18) пред-

ставлена в виде тригонометрического полинома

f

x

M cos x

N sin

x .

77

Ищем частное решение уравнения также в форме тригонометрического полинома

y*

Acos

x

B sin

x

(23)

где A и B–неопределенные коэффициенты. Найдем y*

и y*

:

y*

A

sin

x

B

cos

x,

y*

A 2 cos

x

B

2 sin

x.

Подставим y* , y*

и y*

в уравнение

y

py

qy

M cos

x

N sin

x .

Имеем

A

2 cos

x

B

2 sin x

p

A

sin

x

B

cos

x

q Acos x

B sin x

M cos

x

N sin

x,

A

2

pB

Aq cos

x

B

2

pAβ

Bq sin βx

M cos βx

N sin βx.

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то ко-

эффициенты при cos

x

и sin

x в левой и правой его частях должны

быть равны друг другу:

cos

x

A

2

Bp

Aq

M

sin

x

B

2

Ap

Bq

N .

Мы получили систему для определения коэффициентов A и B:

A q

2

Bp

M ,

Ap

B q

2

N

(24)

Эта система совместна, если ее определитель

q

2

p

∆=

0

p

q

2

Но так как

q

2 2

p2

2 , то очевидно,

что

0

лишь при

q

2 , p

0 . А это соответствует тому, что характеристическое урав-

нение k

2

pk

q

0 ,

k

p

p2

корни которого равны

q , в

1,2

2

4

2

2

этом случае имеет корни k1,2

0

0

1

i.

Таким образом

1)если k1,2

i , то

y*

Acos

x

B sin

x ;

78

2)если k1,2 i , то система (24) несовместна и тогда коэффици-

енты A и B из нее найти нельзя, значит, решение y* придется искать не

в виде (23), а иначе: y*

x Acos x

B sin

x .

Пример 15. Решить уравнение y

100 y

cos x .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего одно-

родного уравнения k 2

100

0 имеет корни k

100 ,

k

10i .

1,2

1,2

Тогда

общее

решение

однородного

уравнения

имеет

вид:

C2 sin10x .

y

C1 cos10x

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. По ви-

ду правой части уравнения определяем число

. Оно здесь равно 1, а

так как

k1,2

10i ,

то

k1,2

i и, следовательно,

частное решение

уравнения с правой частью cosx будет иметь вид y*

Acos x

B sin x,

y*

A sin x

B cos x,

y*

Acos x B sin x. Подставляя в уравнение

y* , y* и y* , получим:

Acos x

B sin x

100 Acos x

B sin x

cos x, 99 Acos x

99B sin x

cos x.

Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой час-

тях последнего соотношения, получаем 99 A

1 и 99B

0 , откуда име-

ем A

1

, B

0 и y*

1

cos x .

99

99

Тогда y

C cos10x

C

sin10x

1

cos x.

1

2

99

Замечание. Если правая часть линейного неоднородного уравнения

(18)

имеет вид

f x

P x e x cos

x

Q x e x sin x , где

P x

и

Q x –

многочлены от x, то форма частного решения определяется так:

а)если число

i

не является корнем характеристического урав-

нения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде y* U x e x cos x V x e x sin x , где U x и V x –многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов P x и Q x ;

б)если число	i	является корнем характеристического уравне-
ния, то y* x U x e x cos		x V x e x sin x . При этом надо отметить, что

указанные формы частных решений сохраняются и в том случае если в правой части уравнения отсутствует одно из слагаемых P x e x cos x

79

или

Q x e x sin

x , то есть если один из многочленов

P x

или

Q x

тождественно равен нулю.

Подытожим все вышесказанное о виде частного решения уравне-

ния

y py

qy

f

x , составив в заключение таблицу.

№

f

x

№

k ,k

2

y*

Примечание

1

1

k1

,k2

m

Ae

mx

A–

неопределен-

I

aemx

2

k1

m,k2

m

xAe mx

ный коэффи-

3

k1

k2

m

x2 Aemx

циент

Q

x

A xn

P

x emx

, где

Q

x emx

n

0

A1xn 1

n

1

k

m,k

2

m

n

... An ,

P

x

a

xn

1

xQ

x emx

II

k

m,k

m

где

A , A ,...,A –

n

0

2

2

n

a1xn 1

...

1

x2Q2

x emx

0

1

n

3

k1

k2

m

неопределен-

...

an .

ные коэффици-

енты

Частные слу-

k

0,k

0

Qn x

чаи:

1

1

2

Q0 x

A

III

P

x

2

k

0,k

0

xQn

x

n

1

2

Q1

x

Ax

B

3

k1

k2

0

x

2

Qn

x

2

Q2 x

Ax

Bx

C

							k1,2	βi	Acos	x
		M cos x				1			B sin	x
	IV
		N sin			x	2			x(Acos βx
							k1,2	βi
									Bsin βx)
		P x e	x	cos	x				U x e x
		Q x e x sin x							cos x		Степень мно-
		где степени							V x e x
											гочленов U x
		многочленов
											и V x равна
		P x		и Q x		1	k1,2	i	sin	x
	V										максимальной
		могут быть раз-				2	k1,2	i	x(U x e x
											из степеней
		ными, и один из							cos x
											многочленов
		многочленов
									V x e x		P x и Q x .
		может быть
		тождественно
		равен нулю.							sin βx)

80

81

	Принцип			наложения решений.	Решение	y*	уравнения
y	py	qy	f1	x f2 x , где правая часть есть сумма функций f1				x
и	f2 x	, можно представить в виде суммы			y* y1*	y2* , где y1* и y2*
являются соответственно решениями уравнений y						py	qy f1 x	и
y	py	qy	f2	x .

ГЛАВА 6

РЯДЫ

§1.Числовые ряды

1. Основные понятия

Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность

U1,U2,U3, ..., Un,...

Числовым рядом называется бесконечная сумма

U1 U2 U3 ...	Un, ...	Un
		n 1
Числа U1,U2,U3, ..., Un,... называются, соответственно, первым,
вторым, n–м … членами ряда. U n	называется также общим членом ря-

да. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда U n как

функция его номера n: Un	f n .
Определение: Сумма n первых членов ряда называется n–й частич-
ной суммой ряда: Sn U1	U2 .... Un .

Определение: Если существует конечный предел S lim Sn , то его

n

называют суммой ряда, а ряд при этом называется сходящимся. Если

lim Sn не существует или равен бесконечности, то ряд называется рас-

n

ходящимся.

В школьном курсе математики рассматриваются такие ряды, как натуральный ряд чисел и бесконечная геометрическая прогрессия:

a aq aq2 ... aqn 1 ... . Известно, что при		q		1 сумма бесконечно
убывающей геометрической прогрессии равна	S			a	, то есть беско-
			1 q

нечно убывающая геометрическая прогрессия является сходящимся числовым рядом.

2. Простейшие свойства числовых рядов

Теорема 1: Если ряд

U1 U2

U3 ... Un ...

(1)

сходится и имеет сумму S, то ряд

U1

U2

U3

...

Un ...

(2)

где λ–произвольное число, также сходится и имеет сумму λ·S

Доказательство: Пусть Sn

и

n –n–е частичные суммы рядов (1) и

(2) соответственно.

Тогда

n

λU1

λU 2

λU3

...

λU n

λ

U1

U2

U3 ... Un

λ Sn

и lim

n

lim

Sn

lim Sn

S , следовательно, ряд (2) сходится

n

n

n

и имеет сумму

S

Теорема 2: Если ряды

U1

U2

U3

...

Un ...

(1)

V1

V2

V3

...

Vn ...

(3)

сходятся и имеют суммы S и S

соответственно, то ряды

U1

V1

U2

V2

...

Un

Vn

...,

(4)

называемые суммой и разностью соответственно рядов (1) и (3), также

сходятся и имеют суммы S

S

соответственно.

Доказательство: Пусть

Sn ,

и

n – n–е частичные суммы рядов

S n

(1), (3) и (4) соответственно. Тогда

n

U1

V1

U 2

V2

...

U n

Vn

Sn

Sn ,

lim

n

lim

Sn

Sn

lim Sn

lim Sn

S

S ,

n

n

n

n

что доказывает теорему.

82