Раздел 1. Векторы на плоскости

1. Краткая теория

 Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарный любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. 

Векторы называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

 Суммой векторов является вектор - .

Произведение - , при этом  коллинеарный .

Вектор  со направлен с вектором ( ­­), если a > 0. Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Суммой двух векторов иявляется диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения(правило параллелограмма).

Свойства сложения.

1^о. +=+(переместительный закон).

2^о. + (+) = (+) += (+) +(сочетательный закон).

3^о.  + (–) +.

Под разностью векторов  и понимают вектор  =  –  такой, что  +  = .

Произведением вектора на скалярk называется вектор

 = k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора , еслиk > 0;

2.     противоположно направлению вектора , еслиk < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства скалярного произведения: 1)       × = ïï²;

2)       × = 0, если ^ или = 0 или  = 0. 3)       × = ×; 4)       ×(+) = ×+ ×; 5)       (m)× = ×(m) = m(×); m=const

2.1. Математический квест

Подготовка к мероприятию:

Выбрать составы команд, капитана, повторить тему «Векторы на плоскости».

Подготовить задания и организаторов для работы на станциях.

Определить кабинеты, место для вступительной части, призы.

Вступительная часть: Уважаемые участники! Сегодня Вы - группа туристов будете путешествовать по необычному городу, царицей которого является Математика. Проходя по различным объектам, Вы получите подсказки, куда двигаться дальше и заработаете призы своим умом, своей сплочённостью и умелыми руками. Для успешного продвижения по маршруту Вам понадобятся знания по теме «Векторы на плоскости». Помогать Вам будут независимые консультанты - «Полиция города». Капитанам команд получить конверты с заданиями.

1. станция задание на карточках:

№1. Любой вектор можно разложить…

A) По двум другим векторам; B) По двум другим неколлинеарным векторам; C) По двум другим коллинеарным векторам.

№2. Если два вектора коллинеарные, то их сумма…

A) Со направлена со слагаемыми; B) Противоположно направлена слагаемым; C) Коллинеарная слагаемым.

№3. Если векторы противоположно направленные, то длина вектора суммы равна

A) Сумме длин слагаемых; B) Модулю разности длин слагаемых; C) Модулю   суммы длин слагаемых.

№4. Если один вектор выражен через другой с положительным коэффициентом, то эти векторы …

A) Со направленные; B) Противоположно направленные ; C) Противоположные.

№5. Векторы, не лежащие на одной и не лежащие на параллельных прямых, -

A) Не со направленные; B) коллинеарные; C) Не коллинеарные.

№6. В треугольнике АВС векторы АВ и АС -

A) коллинеарные; B) Не коллинеарные ; C) со направленные.

№7. Найти координаты вектора с началом в точке А(-6; 4) и концом в точке В(2;19).

A) (-4; 15); B) (4; -15); C) (8; 15); D) (-4; 23); E) (8; -15).

№8. Найти длину векторов

№9. Найти значение m, при котором будут коллинеарные векторы

A) -20; B) 20; C) 16; D) 25; E) -25.

№10. Дано: M(11; -4) и N(13; -10). Разложить вектор

№11. Найти скалярное произведение векторов

A) 12; B) 11; C) 10; D) 9; E) 8.

№12. Известно, что M(2; -1), N(-3; -6), P(10; -9). Найти косинус угла между векторами

A) -1; B) -0,5; C) 0,5; D) 1; E) 0.