Posobie_Obschaya_topologia

множество X .

СВОЙСТВО 20. Для любых двух множеств U ,V из β и для каждой точки x U ∩V существует W из β такое, что x W U ∩V .

Таким образом, для того чтобы система β открытых подмножеств из X была базой в X , необходимо, чтобы система β обладала этими двумя свойствами.

Оказывается, что именно эти свойства полностью характеризуют базу любой топологии, а именно имеет место следующая важная теорема, к тому же указывающая еще один способ задания топологии.

ТЕОРЕМА 1.9 (О ЗАДАНИИ ТОПОЛОГИИ ПОСРЕДСТВОМ БАЗЫ). Пусть в произвольном множестве X задана некоторая система β подмножеств из X , обладающая вышеупомянутыми двумя свойствами. Тогда в множестве X существует единственная топология τ , одной из баз которой служит система β .

◄ В самом деле, пусть τ – семейство, состоящее из пустого множества и всех подмножеств множества X , каждое из которых есть объединение подмножеств из совокупности β . Тогда выполнение аксиом 0.1 и 0.2 очевидно. Проверим выполнимость аксиомы 0.3, которую, очевидно, достаточно проверить для случая пересечения только двух подмножеств. Пусть U ,U ′ –

произвольные	множества	из τ и	пусть U = Vi , U = V ′j , где				Vi ,V ′j
принадлежат β . Рассмотрим пересечение
	U ∩U ′ = ( Vi		)∩( V ′j )= (Vi ∩V ′j ),
				i, j
откуда видно, что нам достаточно убедиться в том, что каждое из
множеств вида Vi ∩V ′j принадлежит τ .				Пусть x Vi ∩V ′j , тогда, по свойству
20, существует Wx β		такое,	что	x Wx Vi ∩V ′j ,	поэтому		ввиду
произвольности	x Vi ∩V ′j	будем иметь Vi ∩V ′j = Wx , где			x	пробегает все
пересечение Vi	∩V ′j . Таким образом, построенное семейство τ					действительно

образует топологию на X , а система β , очевидно, служит для нее базой.

Что же касается единственности такой топологии, то она следует из того, что система, состоящая из всевозможных объединений множеств, входящих в фиксированную систему β , очевидно, определена однозначно, и поэтому, в частности, если две топологии имеют одну и ту же базу, то они совпадают. ►

Перейдем теперь к понятию так называемой предбазы топологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ	1.13. Система γ ={W }	открытых	подмножеств
пространства (X ,τ )	называется предбазой или	системой	образующих

топологии τ , если система β , состоящая из всевозможных конечных пересечений множеств из γ , образует базу топологии τ .

Ясно, что всякая база является предбазой, но не наоборот.

Выше мы видели, что не всякая система подмножеств может служить

21

базой некоторой топологии. Возникает вопрос: может ли произвольная система α подмножеств из X служить предбазой некоторой топологии в X . Другими словами, можно ли, отправляясь от произвольной совокупности α его подмножеств, построить топологию τ так, чтобы исходная система α служила для нее предбазой, т. е. задать топологию τ так, чтобы все подмножества из α были открытыми в этой топологии и, кроме того, любое множество, открытое в топологии τ , представляло собой объединение конечных пересечений подмножеств, входящих в совокупность α . Укажем конструкцию, которая покажет, что это всегда возможно. В самом деле, из аксиомы 0.3 заключаем, что совокупность α непременно должна быть дополнена до совокупности β путем присоединения к α всех подмножеств, представимых в виде пересечения конечного числа подмножеств из α , в том числе и X , рассматриваемое как пересесечение пустого множества подмножеств из α .

Наконец, в силу аксиомы 0.2 мы должны дополнить семейство β до семейства τ путем присоединения всех подмножеств множества X , представляющих собой объединение любого семейства подмножеств из β , в том числе пустое множество, рассматриваемое как объединение пустого множества подмножеств из β . Легко доказать, что возникающее таким образом семейство τ удовлетворяет уже всем аксиомам топологии и будет определять слабейшую из всех топологий, в которых все подмножества из α являются открытыми. Сконструированную таким образом топологию τ называют топологией, порожденной исходной совокупностью α , для которой сама совокупность α служит системой образующих или предбазой этой топологии, а система β в этой конструкции служит уже базой.

Таким образом, произвольная совокупность подмножеств из X может служить предбазой некоторой топологии, тогда как, для того чтобы служить базой некоторой топологии, как было указано выше, необходимо и достаточно, чтобы она обладала свойствами 10–20.

Замечание 1.6. Чаще оказывается удобным пользоваться следующим условием, которое является достаточным (вообще говоря, не необходимым) для того, чтобы исходная совокупность α служила базой некоторой топологии в X . Оказывается, что для этого достаточно, чтобы объединение всех множеств из α совпадало с X и совокупность α была замкнутой относительно всевозможных непустых конечных пересечений. Разумеется, это условие эквивалентно тому, чтобы непустое пересечение любых двух множеств из α принадлежало совокупности α .

Отметим, наконец, что некоторая совокупность подмножеств из X может служить предбазой или базой лишь для вполне определенной топологии, тогда как заданная топология может иметь различные предбазы и базы, причем предпочтение той или иной базе (соответственно предбазе) отдают в зависимости от характера рассматриваемого вопроса.

Пример 1.23. Топология на плоскости, порожденная всевозможными прямыми, очевидно, есть не что иное, как дискретная топология.

22

Пример 1.24. Семейство α , состоящее из всевозможных множеств вида

{(x, y ) R 2 ; a < x < b, y R1} и {(x, y ) R 2 ; x R1, c < y < d}, порождает на

плоскости ее обычную (евклидову) топологию.

Пример 1.25. Пусть X – множество всех точек некоторого замкнутого круга с центром в начале координат и пусть β – семейство подмножеств из X , состоящее из всех его диаметров и центра (рассматриваемого как одноточечное подмножество). Поскольку семейство β , очевидно, удовлетворяет обоим условиям предыдущей теоремы, то в множестве X существует вполне определенная топология, для которой семейство β служит базой. Ниже мы неоднократно вернемся к рассмотрению этой топологии, так как она обладает некоторыми замечательными свойствами.

Пример 1.26. Порядковая топология. Пусть (X , ≤) – произвольное линейно упорядоченное множество, β – система всех его открытых интервалов

вида (←, α )={x X ; x < a}, (a,→)={x X ; x > a}	и
(a, b )={x X ; a < x < b}, где a, b X . Легко проверить, что система	β

удовлетворяет условиям теоремы о задании топологии посредством базы, поэтому β служит базой топологии в X , называемой порядковой топологией. Ясно, что одной из предбаз порядковой топологии служит система α , состоящая из множеств вида {x X ; x < x0 } и {x X ; x > x0 }, где x0 пробегает

все X . Ясно также, что топология на числовой прямой R1 есть не что иное, как порядковая топология, порожденная естественным порядком в множестве вещественных чисел.

Пример 1.27. Рациональная прямая. Множество Q рациональных

чисел, наделенное порядковой топологией, порожденной естественным порядком на нем, называется рациональной прямой.

Пример 1.28. Топология полуоткрытых интервалов. Пусть (X , ≤) –

произвольное линейно упорядоченное множество, а β (−)– система всех его полуоткрытых слева интервалов, т. е. множеств вида (a, b]={x X ; a < x ≤ b} и

(←, a]={x X ; x ≤ a}. Нетрудно проверить, что система β (−) служит базой некоторой топологии, называемой топологией полуоткрытых слева интервалов.

Аналогично система β (+)	всех полуоткрытых справа интервалов, т. е.
множеств вида a, b ) ={x X ; a ≤ x < b}		и a, →) ={x X ; x ≥ a}, служит

базой топологии, называемой топологией полуоткрытых справа интервалов. Оказывается, что описанные топологии обладают рядом интересных

«патологических» свойств, которые будут отмечены в дальнейшем. Дадим теперь определение базы и предбазы в точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Система βx0 открытых окрестностей точки x0

23

называется базой (локальной базой) в точке x0 , если каждая окрестность U точки x0 содержит некоторую ее окрестность V из системы βx0 ; система αx0 открытых окрестностей точки x0 называется предбазой в точке x0 , если система, состоящая из всевозможных конечных пересечений множеств из αx0 , образует базу в точке x0 .

Перейдем, наконец, к определению двух весьма важных классов топологических пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Топологическое пространство X называется удовлетворяющим второй аксиоме счетности или пространством со счетной базой, если оно обладает базой, состоящей из не более чем счетного числа открытых множеств; пространство X называется удовлетворяющим первой аксиоме счетности, если в каждой ее точке существует локальная база, состоящая из не более чем счетного числа окрестностей этой точки.

Замечание 1.7. Очевидно, что если пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно и подавно удовлетворяет первой аксиоме счетности. В самом деле, пусть U1,U 2 , ...,U n , ... – счетная база в X , тогда

семейство βx0 , состоящее из всех тех множеств этой базы, которые содержат точку x0 , очевидно, образует счетную базу в x0 .

Однако существуют пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, но не удовлетворяющие второй аксиоме счетности. Простейшим таким примером может служить произвольное несчетное множество X , наделенное дискретной топологией. В самом деле, удовлетворение первой аксиоме счетности очевидно, поскольку для каждого x0 из X одноточечное

подмножество {x0 }, будучи открытым, уже служит базой в этой точке. С

другой стороны, ясно, что в состав любой базы такого пространства, во всяком случае должно входить несчетное множество одноточечных подмножеств {x},

поскольку {x} служит открытой окрестностью точки x в дискретной

топологии.

Пример 1.29. Всякое метрическое пространство (X , ρ ) удовлетворяет первой аксиоме счетности, ибо для каждого x0 X открытые шары B (x0 ,1n ) с центром в x0 и радиусом 1n , очевидно, образуют счетную базу в точке x0 . Между тем если множество X несчетно, а метрика ρ дискретна, то пространство (X , ρ ) в соответствии со сказанным выше, конечно, не будет

обладать счетной базой.

Докажем одно замечательное свойство пространств со счетной базой, однако сначала дадим одно важное определение.

Система S ={Ai , i I} множеств		Ai X называется покрытием
пространства X , если объединение A всех A совпадает с X . Покрытие S
i I	i	i

называется открытым (соответственно замкнутым), если каждое из множеств

24

Ai открыто (соответственно замкнуто), в X .

Подсистема T покрытия S пространства X называется подпокрытием покрытия S , если сама система T образует покрытие X .

ТЕОРЕМА 1.10 (ЛИНДЕЛЁФ). Если пространство X обладает счетной

базой, то из любого его открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подпокрытие.

Пусть	β ={U n } – некоторая счетная база	пространства	X , а
S ={Gi ; i I}	– произвольное открытое покрытие X .	Для каждого	x X

обозначим через Gi(x ) один из элементов покрытия S , содержащих точку x , и пусть U n(x ) – один из элементов базы β , который служит окрестностью точки x и целиком содержится в открытом множестве Gi(x ) (x U n(x ) Gi(x ) ).

Ясно, что объединение отобранного счетного числа множеств U n(x ) из β

совпадает со всем X , U n(x ) = X . Выбрав для каждого U n(x ) одно из

x X

содержащих его множеств Gi(x ), мы получим не более чем счетную систему,

являющуюся подпокрытием покрытия S .

Замечание 1.8. В ряде случаев, когда та или иная теорема оказывается особенно важной и удачно сформулированной, она «удостаивается чести» превратиться в определение. Это относится и к доказанной теореме Линделёфа,

аименно: приняв ее утверждение за определение, в общей топологии выделен важный и интересный класс пространств, называемых линделёфовыми или финально компактными, т. е. таких, в которых из любого открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подпокрытие. Ясно, что этот класс шире, чем класс пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности.

Взаключение пункта введем еще один важный и интересный класс топологических пространств, определение которого основано на понятии базы,

аименно: топологическое пространство называется индуктивно нульмерным, если оно обладает базой, состоящей из одновременно открытых и замкнутых множеств.

1.7 Сходимость последовательности точек в топологическом пространстве

Как уже отмечалось выше (см. также теорему Куратовского), понятие точки прикосновения и основанное на нем понятие замыкания множества играют основополагающую роль в топологии, поскольку любая топологическая структура полностью описывается в этих терминах.

Вместе с тем понятие точки прикосновения в силу своей слишком большой общности существенно сложнее родственного с ним, но более привычного с точки зрения математического анализа понятия предела

25

последовательности точек. В этом пункте рассматривается существующая между этими понятиями связь.

Как	известно		[2],	последовательность		точек	(xn )	метрического
пространства		(X , ρ )	называется		сходящейся	к	точке	x0 X , если
lim ρ (xn , x0 ) = 0 , а это, очевидно, эквивалентно тому,							что любая окрестность
x→∞
U 0 точки	x0	содержит		все точки	этой последовательности, начиная с
некоторой,	т. е. существует натуральное n0 , зависящее от окрестности U 0 ,
такое, что	xn U 0 при всех n ≥ n0 .				Это определение позволяет обобщить

понятие сходимости на последовательности точек в произвольном топологическом пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Последовательность точек						(xn )	топологического
пространства	X	называется сходящейся		к точке		x0 X , если каждая
окрестность	U 0	точки x0 содержит все		точки	этой последовательности,
начиная с	некоторой; при этом точку			x0	называют		пределом	этой
последовательности и пишут			lim xn = x0 .
			x→∞
Тогда	как,	например,	в любом метрическом			пространстве		после-

довательность не может сходиться к двум различным точкам, в общих топологических пространствах одна и та же последовательность может иметь сколько угодно различных пределов.

Пример 1.30. В любом антидискретном пространстве каждая последовательность, очевидно, сходится к любой точке этого пространства.

Пример 1.31. Пусть бесконечное множество X снабжено топологией Зарисского. Тогда нетрудно проверить, что каждая последовательность, содержащая бесконечное число различных точек, сходится к любой точке пространства X .

Перейдем теперь к выяснению связи между понятиями точки прикосновения и предела последовательности точек. Прежде всего ясно, что

если последовательность точек	(xn ) из подмножества A произвольного
топологического пространства X	сходится к точке	x0 X , то эта точка x0
обязана быть точкой прикосновения множества A ,		т.е. xn A и lim xn = x0
		x→∞

влечет за собой x0 clA. Между тем оказывается, что в общих топологических пространствах не для всякой точки x0 clA найдется последовательность (xn )

из A такая, чтобы lim xn = x0 .

x→∞

Это обстоятельство наглядно иллюстрирует нижеследующий простой пример.

Пример 1.32. Пусть X – произвольное несчетное множество. Зададим в X топологию, объявив открытыми пустое множество и всякое подмножество, получаемое из X удалением не более чем счетного числа точек (рекомендуется

26

проверить выполнение аксиом топологии). Докажем, что в полученном таким образом пространстве X сходящимися последовательностями являются лишь стационарные, т. е. такие последовательности (xn ), члены которых начиная с

некоторого, совпадают. В самом деле, пусть вопреки утверждению нестационарная последовательность (xn ) сходится к некоторой точке x0 .

Тогда, взяв в качестве окрестности x0 множество U , получаемое из X удалением всех членов последовательности (xn ), кроме самой точки x0 (в случае, если x0 была членом этой последовательности), придем к явному противоречию с тем, что U должно было содержать все точки последовательности (xn ), начиная с некоторой.

Рассмотрим теперь подмножество A , получаемое из X удалением, например, одной точки x0 . Тогда x0 , очевидно, будет точкой прикосновения

множества A. В самом деле, если U – произвольная открытая окрестность точки x0 , то, по самому определению открытых в X множеств, дополнение

X \ U не более чем счетно и поэтому не может целиком содержать в себе несчетное множество A, откуда и заключаем, что A ∩U ≠ . С другой стороны, поскольку в X сходящимися являются только стационарные последовательности, то из x0 clA следует, что никакая последовательность точек из

A не может сходиться к точке прикосновения x0 clA.

Тем не менее оказывается, что в пространстве X , удовлетворяющем первой аксиоме счетности, в частности в произвольном метрическом пространстве, любая точка прикосновения подмножества A из X может быть получена как предел некоторой последовательности точек из A.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Если пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, то x0 clA тогда и только тогда, когда x0 является

пределом некоторой последовательности (xn ) точек из A .

◄ Достаточность. Непосредственно из соответствующих определений

следует, что xn A , lim xn = x0 , влечет за собой x0 clA, причем в

x→∞

произвольном топологическом пространстве.

Необходимость. Пусть теперь x0 clA. В случае, если x0 A, в качестве искомой последовательности xn , очевидно, достаточно взять стационарную

последовательность	xn = x0 . Пусть теперь	x0 clA \ A	и пусть
U1,U 2 , ...,U n , ... –	счетная база в точке x0 , причем, конечно, можно считать,

что U n+1 U n при всех n N , иначе мы рассмотрели бы другую базу {Vn },

n

где Vn = ∩ U k . Поскольку A ∩U n не пусто, то, взяв в качестве xn какую-либо

k=1

точку из A ∩U n , мы получим последовательность (xn ) из A , сходящуюся к точке x0 .

27

В самом деле, пусть			V	– произвольная окрестность точки x0 , тогда,
поскольку	(U n )	– база в	x0 ,	найдется такой элемент U n0		этой базы,	что
U n0 V .	С другой стороны, при всех n ≥ n0 , U n U n0 ,				поэтому при всех
таких n	будем	иметь	xn A ∩U n U n0 V , а это		и	означает,	что

lim xn = x0 .►

x→∞

1.8 Понятие о внутренности и границе множеств в топологических пространствах

Точка x0 топологического пространства X называется внутренней точкой подмножества M из X , если x0 обладает окрестностью U 0 , целиком

содержащейся в M . Совокупность всех внутренних точек множества M называется его внутренностью и обозначается через int M .

Легко проверить (см. предложение 1.2), что множество M открыто тогда и только тогда, когда int M . Очевидно также, что для любого множества M из

X множество int M	представляет	собой объединение всех	открытых
множеств, содержащихся в M , т.		е. наибольшее открытое	множество,
содержащееся в M .
Кроме того, ясно, что из M N следует int M int N , а также и то, что
int (int M ) int M , т.е. операция int		перехода к внутренности монотонна и
идемпотентна. Наконец, легко понять,		что для любых двух множеств M , N из
X int (M ∩ N ) = int M ∩int N .
Пример 1.33. В	топологии числовой прямой R1 множества int Q и
int (R1 \ Q ) пусты, где Q – множество рациональных чисел.
Пример 1.34. В	бесконечном множестве X , наделенном		топологией

Зарисского для любого бесконечного подмножества M , дополнение которого конечно, int M = M , тогда как для всякого конечного его подмножества M , справедливо int M = .

Отметим еще два соотношения, выражающих свойство двойственности операций перехода к замыканию и перехода к внутренности, а именно: для всякого подмножества M произвольного пространства X

X \ clM = int (X \ M ), X \ int M = cl (X \ M ).

Проверку этих соотношений двойственности мы предоставляем читателю.

Точкаx0 пространстваX называется граничной точкой подмножества

M X , если любая ее окрестность содержит точки как из M , так и из его дополнения CM . Другими словами, точка является граничной для M , если она служит точкой прикосновения как для M , так и для CM .

Совокупность всех граничных точек множества M образует его границу и

28

обозначается	через	frM . Таким образом, граница любого			множества M
представима	в виде		frM = clM ∩clCM	и, будучи пересечением двух
замкнутых множеств,			сама замкнута. Кроме того, ясно, что		frM = frCM .
Легко проверить,		что	для границы любого множества M		справедливы
представления
frM = clM \ IntM = (clM \ M ) (M \ int M ) = (clM \ M ) (M ∩clCM ),
из которых непосредственно выводится следующее простое утверждение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.12. Множество				M из X открыто тогда и только

тогда, когда оно не пересекается со своей границей frM , и замкнуто тогда и

только тогда, когда оно содержит в себе всю свою границу.

Предостережение 1.9. Как уже отмечалось выше, операция замыкания и операция int перехода к внутренности обладают свойствами монотонности и идемпотентности. Что же касается операции fr перехода к границе, то она

этими свойствами не обладает, т. е. из M N не всегда можно заключить, что frM frN и что, вообще говоря, fr ( frM ) ≠ frM . В этом убеждает ниже-

следующий простой пример.					прямой R1	frQ = R1 и
Пример	1.35.	В	топологии	числовой
fr (R1 \ Q )= R1, между тем frR1 = и поэтому хотя Q или R1 \ Q суть части
R1, однако ни	frQ	ни	fr (R1 \ Q ),	очевидно, не содержатся в		frR1 . Ясно
далее, что fr	( frQ ) = frR1 = ≠ frQ . Отметим,				наконец, что	множество

M ∩clCM , представляющее собой ту часть границы				frM , которая содержится
в M ,	называется	краем множества	M , и поскольку f (x0 ) f (clA)
f (clA)	clf ( A) = cl	{0} ={0}, то край	множества	M состоит из всех его

невнутренних точек.

1.9 Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой. Канторово совершенное множество

Поскольку задание топологии в некотором множестве X есть не что иное, как выделение системы его подмножеств, объявленных открытыми (удовлетворяющих трем аксиомам топологии), то структура открытого множества в сколько-нибудь общем топологическом пространстве, разумеется, может быть достаточно произвольной (предбазой топологии может служить любая система подмножеств). Более того, в метрическом пространстве или даже в евклидовом

пространстве R n при n ≥ 2 структура открытого множества может быть достаточно сложной, а задача ее полного (сколько-нибудь конструктивного) описания представляется как мало разумной, так и трудной.

Что же касается числовой прямой R1, то структура ее открытых и

29

замкнутых подмножеств вполне обозрима и исчерпывающим образом описывается нижеследующими двумя предложениями.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.13. Всякое открытое в R1 множество G является объединением не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов3.

Из этого предложения непосредственно следует справедливость нижеследующего предложения, полностью описывающего структуру произвольного замкнутого множества числовой прямой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.14. Всякое замкнутое в R1 множество F	может
быть получено из R1 удалением конечного или счетного числа попарно
непересекающихся интервалов.
◄ Пусть G = R1 \ F и пусть I x – максимальный интервал	из G ,

содержащий точку x G ; тогда в силу предыдущего предложения G = I x , т.

е. представимо в виде объединения не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов I x . Отсюда, переходя к дополнениям, получаем

F = R1 \ I x .►

Замечание 1.9. Упомянутые выше максимальные интервалы I x принято называть смежными интервалами замкнутого множества F , поэтому можно

сказать, что любое замкнутое в R1 множество F получается из R1 удалением всех его смежных интервалов.

Замечание 1.10. Доказанные предложения о структуре открытых и замкнутых множеств на числовой прямой во многих случаях позволяют вместо произвольных открытых множеств ограничиться рассмотрением отдельных интервалов, тем самым существенно облегчив исследование очень многих важных вопросов.

Напомним, что точка x0 подмножества A пространства X называется изолированной точкой A, если существует открытая в X окрестность U этой точки такая, что пересечение U ∩ A ={x0 }.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.15. Для того чтобы точка x0 замкнутого

подмножества	F числовой прямой	R1 была его изолированной точкой,
необходимо и	достаточно, чтобы x0	была общим концом двух смежных
интервалов множества F .
Пример	1.36. Простейшим	примером бесконечного замкнутого

множества на числовой прямой, состоящего исключительно из изолированных

точек,	может служить множество Z целых чисел,	ибо каждое n Z является
общим	концом смежных интервалов (n −1, n)	и (n, n +1) замкнутого

множества Z .

Может быть и совершенно противоположная ситуация (см. ниже), когда

3 Здесь к числу интервалов причисляются и интервалы вида(−∞, +∞), (−∞, a ), (b, +∞)

30