Posobie_Obschaya_topologia

построить в каждом положении вращающегося диска D с удаленным центром.

Пример	2.23.	Пусть	X = B 2 × I	–	цилиндр	над кругом		B 2 ,	а
Y = B 2 ×{0} S1 × I		– объединение его			нижнего	основания	и	боковой
поверхности. Тогда центральное проектирование из точки							M (0, 0, 2 )
пространства X на Y будет ретракцией.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.15. Ретракт ретракта есть ретракт.
◄ Пусть	A B – подпространства из				X и пусть r1 : B → A – ретракция
B на A , а r2 : X B – ретракция X				на	B . Тогда легко проверить, что
композиция r = r1 r2 : X → A будет ретракцией X на A.►
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Подпространство A пространства X							называется
окрестностным ретрактом для X , если оно служит ретрактом некоторой своей
(открытой в X ) окрестности,			т. е. если существует открытое в X				множество
U A, для которого A служит ретрактом.						X является
Очевидно, что		каждый	ретракт	пространства				также	и

окрестностным ретрактом, тогда как окрестностный ретракт может и не быть ретрактом.

Пример 2.24. Сфера	S n−1	является окрестностным ретрактом как для
R n , так и для B n , хотя,	как	отмечалось выше, она не является для них

ретрактом. В качестве содержащего S n−1 открытого множества U можно взять R n \ {0}, соответственно B n \ {0}, причем в обоих случаях ретракцией может

служить отображение x → xx .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.16. Для того чтобы подпространство A пространства X было ретрактом для X , необходимо и достаточно, чтобы каждое непрерывное отображение g : A →Y в произвольное пространство Y

было непрерывно продолжимо на всеX .

◄ Необходимость. ПустьA – ретракт для X , r : X A – некоторая ретракция; пусть, далее, g : A →Y – произвольное непрерывное отображение.

Тогда f = g r : X →Y , очевидно, будет искомым продолжением.

Достаточность. Пусть подпространство					A таково, что для каждого
непрерывного	отображения		g : A →Y существует			его	непрерывное
продолжение	f : X →Y .	В	частности,	для	тождественного		отображения
g = I A : A → A	найдется	непрерывное		отображение		f : X → A	такое, что

f | A = I A , которое и будет искомой ретракцией. ►

51

3 СВЯЗНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗНОСТЬ

Обстоятельное изложение теории связности, представляющей собой довольно обширный раздел топологии, выходит за рамки данного издания, поэтому в этом разделе приводятся лишь некоторые важные и наиболее часто встречающиеся факты, связанные с понятием связности и локальной связности.

3.1 Связность

Здесь доказываются некоторые простейшие свойства связных пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Топологическое пространство X называется связным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух своих непустых открытых подмножеств без общих точек.

Условимся разбиение пространства X называть открытым (соответственно замкнутым), если все элементы разбиения открыты (соответственно замкнуты), тогда приведенное определение, очевидно, равносильно следующему: пространство X связно, если оно не допускает открытого неодноэлементного разбиения.

Из определения непосредственно следует также, что для связности X необходимо и достаточно, чтобы X не допускало замкнутого разбиения. Ясно далее, что пространство X связно тогда и только тогда, когда в нем, кроме всего X и пустого множества, не существует подмножеств, одновременно открытых и замкнутых в X .

Тривиальным примером несвязного пространства служит всякое дискретное пространство, состоящее из более чем одной точки.

Напомним, что подмножества A и B из пространства X называются отделенными в X , если множества clA ∩ B и A ∩clB пусты.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. ПространствоX связно в том и только в том случае, когда его нельзя представить как объединение двух непустых

отделенных множеств.		ПустьX связно и
◄ Необходимость.				пусть	вопреки утверждению
X = A B , где	A , B –непустые отделенные множества,					тогда, с одной
стороны, ясно, что CB CB = A , а с другой – что из					A ∩clB = , очевидно,
следует A CclB , поэтому A = CclB .			Совершенно так же убеждаемся, что
B = CclA . Таким	образом,	как A , так	иB	открыты	в X	как дополнения
замкнутых множеств, а это очевидным образом противоречит связностиX .

Достаточность. Предположив, чтоX не связно,	будем иметь X = F1 F2 ,
где F1, F2 – непустые замкнутые в X подмножества без общих точек и, стало
быть, F1, F2 – отделенные множества, поскольку	F1 ∩clF2 = F1 ∩ F2 = и
clF1 ∩ F2 = F1 ∩ F2 = .►
52

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Подмножество A пространства X называется связным, если оно, рассматриваемое как подпространство, является связным пространством.

В любом пространстве X тривиальным примером связного подмножества служит пустое или одноточечное подмножество.

Пример 3.1. Одним из наиболее важных свойств отрезка [a, b] является

то, что он – связное подмножество числовой прямой. Докажем это; предположим противное, и пусть [0,1]= A B , где A , B – непустые

дизъюнктные открыто-замкнутые подмножества в [0, 1], причем точка 0 A. Назовем точку x отмеченной, если [0, x ) A, тогда в силу открытости A

множество M всех отмеченных точек не пусто. Положим c = sup M , тогда c M . В самом деле, для каждого x′ [0, c ), по определению точной верхней границы в M , найдется точка x′′ (x′, c ), поэтому [0, x′′] A , следовательно, x′ A . Итак, [0, c ) A , т. е. c M . Далее, в силу замкнутости A весь отрезок [0, c] A . Теперь уже ясно, что c =1, ибо в противном случае из открытости A нашлось бы ε > 0 такое, что (c −ε, c +ε ) A, поэтому (c +ε ) была бы тоже отмеченной, а это нелепо, ибо c = sup M .

Замечание 3.1. В силу свойства транзитивности индуцирования

топологий непосредственно следует, что	если	A – связное подмножество
пространства X , а X – подпространство в	Y , то A связно и в Y .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Связное и открытое подмножество пространства
X называется областью в X .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Множество A из X связно в том и только в том
случае, когда для любой пары открытых (соответственно замкнутых) в X
подмножеств U , V таких, что A U V ,	из A ∩U ≠ и A ∩V ≠ следует,
что A ∩U ∩V ≠ .		A ∩U ∩V = , и пользуясь
◄ Необходимость. Предположив,	что

определением индуцированной топологии, легко приходим к противоречию со

связностью подпространства				A.					A
Достаточность.			Предположив, что подпространство							не связно,
заключаем, что существует пара открытых в										′	′
						A непустых подмножеств U ,V
таких, что	A =U ′ V ′, а			U ′∩V ′ = ,		откуда,		опять	по	определению
индуцированной топологии, приходим к паре U , V , для которой условие
нашего предложения нарушается. ►
СЛЕДСТВИЕ			3.1.	Если	связное		подмножество			пространства
X содержится в объединении двух непустых открытых (соответственно
замкнутых)	в	X непересекающихся множеств,					то оно целиком содержится в
одном из них.
◄ Пусть связное подмножество A содержится в объединении открытых
(соответственно замкнутых) подмножеств U , V , тогда предположив вопреки
утверждению,		что	A ∩U ≠ и		A ∩V ≠ ,		на	основании		предыдущего

53

предложения приходим к противоречию с U ∩V = .►

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Пространство X связно тогда и только тогда, когда любая пара его точек содержится в некотором связном в X множестве.

◄ Необходимость очевидна, поскольку таким связным множеством

может служить само	X . Переходя к доказательству достаточности,
предполагаем, что условие выполнено и тем не менее X не связно, тогда
X =U V , где U , V	– непустые открытые в X подмножества без общих

точек. Пусть x1, x2 – пара точек, первая из которых принадлежит U , вторая –

V , а A – содержащее эту пару связное подмножество. Согласно следствию предложения 3.2, подмножество A должно целиком содержаться либо в U , либо в V , а это очевидным образом противоречит тому, что как U ∩ A, так и V ∩ A не пусты. ►

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Если в пространствеX существует всюду плотное связное подмножество A , то пространствоX само связно.

◄ Предположим противное и пусть X = F1 F2 , где F1, F2 – непустые

замкнутые вX множества без общих точек. Тогда, по предыдущему следствию, подмножество A, будучи связным, должно целиком содержаться в одном из них, скажем в F1, и, стало быть, clA clF1 = F1 , откуда немедленно заключаем,

что X F1, а это противоречит предположению F2 ≠ .►
СЛЕДСТВИЕ 3.2. Если A – связное подмножество в X и A M clA,
то множество M тоже связно, в частности clA тоже связно.
◄ Достаточно заметить, что A всюду плотно в M в индуцированной
топологии и является связным подмножеством в подпространстве M , а затем
применить предыдущее предложение к подпространствуM .►
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Если два связных в X множества A и B имеют
общую точку, то их объединение C = A B тоже связно.
◄ Пусть x0 (A ∩ B )	. Допустим, вопреки утверждению, что C не связно
и пусть C =U V , где U ,	V – непустые, открытые в C подмножества без
общих точек. Тогда, в силу связности множеств A , B и следствия предложения
3.2, каждое из них, а стало быть, и их объединение C целиком содержатся либо

в U , либо в V , а именно там, где содержится их общая точка x0 , что, очевидно,

противоречит тому, что множества U и V непусты.►

Замечание 3.2. Рассуждая так же, как и при доказательстве предыдущего предложения, нетрудно установить, что оно допускает обобщение на случай любого семейства связных подмножеств, обладающих общей точкой, а именно:

если A = A , где каждое из		A – связное в X подмножество, а ∩ A ≠ , то
i I	i	i			i I	i
A тоже связно в X .			система подмножеств A1, A2 , ..., An
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4.		Конечная
пространства X называется цепью (соединяющей A1 с An ), если Ai						∩ Ai+1 ≠
при i =1, 2, ..., n −1. Произвольное же			семейство		подмножеств		из
X называется	сцепленным семейством,		если любые	два	множества из

54

соединимы цепью, состоящей из множеств (звеньев), принадлежащих . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. Если A1, A2 , ..., An – некоторая цепь связных

вX подмножеств, то объединение A = Ai тоже связно вX .

i=1

◄ Достаточно применить индукцию по n и воспользоваться предыдущим предложением.►

Полезно иметь в виду, что имеет место более общее утверждение. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.7. Объединение сцепленного семейства связных в

X подмножеств связно вX .

◄ Пусть

={Ai , i I}

– сцепленное семейство связных в

X

подмножеств

A , а A = A . Пусть, далее,

x , x

2

–

произвольная пара точек

i

i I

i

а x2 Ai

1

множества A, причем x1 Ai ,

2

. Тогда

в силу сцепленности

1

Ai

существует

цепь

связных

подмножеств,

соединяющая

множество

с

множеством Ai2 ,

1

и, стало быть,

в силу предыдущего предложения

x1,

x2

принадлежат некоторому связному в A подмножеству.

A

Теперь

уже,

воспользовавшись предложением

3.3,

заключаем,

что

связно вX .►

Тривиальные примеры показывают, что это предложение необратимо, т. е. объединение семейства связанных множеств может быть связным, но не сцепленным. В связи с этим полезно иметь в виду, что справедливо следующее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Любое открытое покрытие связного пространства

является сцепленным семейством.

◄ Пусть S ={U i ; i I}

– открытое покрытие связного пространства X .

Предположим

вопреки утверждению, что пара U i ,

U i

2

не

может быть

1

соединена цепью, образованной элементами покрытия S . Обозначим через W1

объединение всех элементов покрытия S , соединенных с U i

подобной цепью,

W2 –

1

а через

объединение всех остальных элементов покрытия S . Ясно, что

как W1,

так и W2 открыты (как объединения открытых множеств), не пусты и

W1 W2 = X .

W1 ∩W2 = . В

Остается

заметить, что

самом

деле, допустим, что

некоторая точка x0 W1 ∩W2 , тогда,

очевидно,

x0 U j

∩U j

2

,

где U j W1 ,

U j

W2 , т. е. U j

соединимо с U j

1

1

2

2

, а стало быть, и с U i

некоторой цепью,

1

1

звенья которой являются элементами покрытия S , что, очевидно, невозможно. Таким образом, сделанное в начале допущение привело нас к противоречию со связностью X .►

СЛЕДСТВИЕ	3.3. Если	S ={U i , i I}	– произвольное	открытое
покрытие связного	пространства	X , то для всякой пары точек		x1, x2 из
X существует цепь,	образованная	элементами	этого покрытия,	такая, что

55

x1принадлежит первому звену, а x2 – последнему звену этой цепи.

◄ Для доказательства достаточно перейти от пары точек x1, x2 к содержащим их элементам U i1 , U i2 и применить предыдущее предложение. ►

3.2 Компоненты связности пространства

Здесь мы ознакомимся с еще одним важным и часто встречающимся понятием, а именно с понятием связной компоненты точки и компоненты связности пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5. Связной компонентой точки x0 пространства X

называется наибольшее связное в X подмножество, содержащее эту точку. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.9. Связная компонента точки является замкнутым

подмножеством; связные компоненты двух точек или совпадают, или не пересекаются.

◄ Пусть

K x0 –

компонента

связности точки x0 X ,

тогда

в силу

следствия

3.2

из предложения

3.4

clK x0 тоже

связно,

поэтому

должно

содержаться в K x0

и, стало быть, совпадает с K x0 .

x1, x2

Пусть теперь

K x

, K x

2

–

компоненты связности точек

и пусть

x0 K x ∩ K x

1

A = K x K x

2

,

тогда в силу

предложения 3.5 объединение

2

1

1

тоже связно и поэтому

A K x j (i =1, 2 ), откуда непосредственно заключаем,

что K x = K x

2

= A .►

1

Замечание 3.3. Из доказанного предложения следует, что связная

компонента K x0

является также связной компонентой любой точки x K x0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.6. Непустое подмножество K

пространства

X

называется

компонентой связности

пространства

X , если

оно

является

максимальным связным подмножеством, т. е. оно связно и не содержится в отличном от себя связном множестве из пространства X .

Ясно, что всякая связная компонента K пространства X одновременно является связной компонентой в X каждой своей точки. Таким образом, любое пространство X представимо в виде объединения попарно непересекающихся связных компонент. Ясно, что пространство связно в том и только в том случае, когда оно состоит из одной компоненты связности.

Отметим также, что в силу следствия из предложения 3.2 легко заключить, что всякое открыто-замкнутое множество содержит компоненту связности любой своей точки.

Квазикомпонентой точки x0 называется пересечение всех открыто-

замкнутых множеств, содержащих эту точку.

Оказывается, что утверждения предложения 3.9 справедливы и в случае квазикомпонент, поэтому можно говорить о квазикомпонентах пространства

56

X , а само X представляет собой объединение попарно непересекающихся квазикомпонент. Из сказанного выше ясно, что компонента связности любой точки содержится в квазикомпоненте этой точки, но не обязательно совпадает с ней. Кроме того, ясно, что всякая квазикомпонента является объединением компонент связности своих точек.

Для иллюстрации понятий компоненты и квазикомпоненты рассмотрим следующий интересный пример.

Пример 3.2. Пусть Λ – подпространство в R 2 , состоящее из объединения счетного числа множеств M n = I ×{1n} при n =1, 2, 3... и двух точек

A = (0, 0 ), B = (1, 0 ).

Найдем все связные компоненты и квазикомпоненты пространства Λ. Прежде всего, легко понять, что каждое из множеств M n является открыто-

замкнутым связным подмножеством пространства Λ, поэтому квазикомпонента каждой точки, принадлежащей M n , совпадает с ее

компонентой связности и представляет собой все M n .

Что же касается компоненты связности K A точки A , то оказывается, что

она состоит лишь из самой точки A. В самом деле, если допустить противное, то K A , очевидно, должно было содержать отличную от A и B точку x0 ,

принадлежащую	M n0	при	некотором n0 . Тогда,	рассмотрев множество
n0		являющееся открыто-замкнутым подмножеством в Λ, и
U = M n , очевидно,
n=1
положив V = CU , имели бы Λ =U V , откуда в				силу следствия 3.1.	к
предложению 3.2	множество		K A должно было целиком содержаться в V		и,

стало быть, не могло содержать точку x0 . Совершенно так же убеждаемся, что связная компонента K B точки B состоит лишь из самой этой точки.

Квазикомпоненты точек A и B , как будет показано ниже, совпадают и представляют собой двухточечное множество, состоящее из точек A и B . Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что всякое открыто-замкнутое множество из Λ, содержащее точку x0 M n0 , непременно содержит весь

отрезок M n0 . Кроме того, ясно, что точки A и B – неизолированные точки в

Λ, т. е. они не являются открытыми в Λ одноточечными подмножествами. Докажем теперь, что если открыто-замкнутое множество U содержит

одну из точек A или B , то оно непременно содержит и другую. В самом деле, пусть A U и пусть Wε – открытая в Λ окрестность точки B , представляющая

собой пересечение Λс открытым в R 2 кругом с центром в B и радиусом ε > 0 , а clWε – открытая в Λ окрестность точки A, представляющая собой

пересечение Λ с таким же кругом, но уже с центром в точкеA.

Ясно, что при любом ε > 0 clW ε содержит точку x0 из U , отличную от A и лежащую на некотором отрезке M n0 , который на основании сказанного

57

выше должен целиком принадлежать U , следовательно, часть этого отрезка содержится и в U ∩clWε . Таким образом, в силу произвольности ε заключаем,

что точка B является точкой прикосновения замкнутого множества U и, стало быть, B U .

Совершенно так же доказывается, что если B U , то и A U . Из доказанного непосредственно следует, что квазикомпонента точки A содержит точку B и обратно, поэтому квазикомпоненты этих точек совпадают. Остается доказать, что квазикомпонента K A точки A не может содержать точек,

отличных от B . Допустим противное, и пусть x0 K A ∩ M n0 при некотором n0 , тогда (как уже неоднократно отмечалось выше) отрезок M n0 , будучи тоже

квазикомпонентой точки x0 , должен совпадать	с K A что, очевидно,
невозможно, поскольку Acl M n0 . Таким образом,	квазикомпонента точки A

(соответственно точки B ) действительно является двухточечным множеством, состоящим из A и B .

Отметим еще, что в некоторых пространствах связная компонента каждой точки состоит лишь из самой этой точки; такие пространства принято называть вполне несвязными. Тривиальным примером вполне несвязного пространства служит любое дискретное пространство, состоящее из более чем одной точки. Другим примером вполне несвязного пространства является подпространство рациональных чисел на числовой прямой.

3.3 Образы связных множеств при непрерывных отображениях

Произведение связных пространств. В этом пункте центральными фактами являются, во-первых, то, что свойство связности множества сохраняется при произвольных непрерывных отображениях, и, во-вторых, то, что произведение любого семейства связных пространств связно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10.		Если		f : X →Y	непрерывно и			A	– связное
подмножество изX , то его образ			f (A)	связан в Y .
◄ Допустим противное,		и пусть		f (A) =U ′ V ′, где U ′,				V ′	– непустые
открытые в подпространстве		f (A) подмножества без общих точек, тогда из
непрерывности f заключаем,		что множества U = g −1 (U ′), V = g −1 (V ′), где
g = f | A – непустые открытые в			A под множества с пустым пересечением и
притом такие, что A =U V , а это противоречит условию связности A .►
Замечание 3.4. Из доказанного легко следует, что связность является
топологическим инвариантом.							X
СЛЕДСТВИЕ 3.4.	Для	несвязности пространства						необходимо		и
достаточно, чтобы существовало непрерывное надъективное отображение										f
пространства X на дискретное пространствоY с более чем одной точкой.
◄ Необходимость.	Пусть		X =U V ,		где	–	U ,	V	непустые

58

дизъюнктные	открытые	в X	множества,		а Y	– дискретное	пространство,
состоящее из двух точек:		y1 ,	y2 . Тогда отображение f : X →Y ,				задаваемое по
формуле			y ,		если x U ,
			f (x )= 1	,	если x V ,
			y2
будет, как легко проверить, искомым.
Достаточность. Пусть			f : X →Y	удовлетворяет нашим			условиям и
допустим вопреки утверждению, что X связно,						тогда, согласно предыдущему
предложению,	f (X ) =Y	должно было			бы быть связным тогда, как Y ,

очевидно, вполне не связно.► Одним из важнейших понятий алгебраической (особенно гомо-

топической) топологии является понятие пути.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.7. Путем в пространстве X называется всякое непрерывное отображение σ : I → X , где I =[0,1] R1; при этом точки σ (0 ) и σ (1) называются соответственно началом и концом этого пути; а σ -образ

отрезка иногда называют траекторией пути σ . Путь σ называется замкнутым путем или петлей в точке x0 , если σ (0 ) =σ (1) = x0 .

Говорят, что точки x1, x2 соединимы путем в X , если существует путь в

X с началом в x1 и концом в x2 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.8. Пространство X называется линейно связным, если любые его две точки соединимы путем в X .

Пусть x0 – некоторая точка из X ; множество Cx0 , состоящее из всех таких точек, которые соединимы с x0 путем в X , называется линейно связной компонентой точки x0 . Ясно, что Cx0 – максимальное линейно связное подпространство в X , содержащее x0 .

Легко проверить, что Cx1 и Cx2 либо дизъюнктны, либо совпадают.

Непустые максимальные линейно связные подмножества пространства X называются его компонентами линейной связности.

Замечание 3.5. Легко убедиться, что непрерывный образ линейно связного пространства линейно связан.

СЛЕДСТВИЕ 3.5. Всякое линейно связное		пространство связно.
◄ Пусть x0 , x1 – произвольная пара точек		из X , тогда в силу линейной
связности X существует путь	σ : I → X такой,	что σ (0 ) = x0 , σ (1) = x1 ,
поэтому траектория σ (I )	этого пути будет (согласно		предыдущему
предложению) связным в X подмножеством, содержащим x0			и x1, откуда в

силу предложения 3.3 непосредственно заключаем, что X связно.► СЛЕДСТВИЕ 3.6. В силу связности отрезка I =[0,1] предложения 3.3 и

только что доказанного предложения следует, что траектория любого пути

59

является связным множеством.

Пример 3.3. Евклидово пространство R n любой размерности является линейно связным, а потому и связным, ибо любые две его точки соединимы, например, прямолинейным отрезком.

Пример 3.4. Сфера, полусфера, тор, лист Мёбиуса, бутылка Клейна являются линейно связными и тем более связными пространствами, ибо любые две их точки соединимы дугой.

Пример 3.5. Вещественное (соответственно комплексное) проективное пространство RP n (CP n ) является линейно связным пространством как

непрерывный образ линейно связного пространства S n (соответственно S 2n+1 ). Предостережение 3.7. Следует иметь в виду, что связное пространство может не быть линейно связным, как это показывает нижеследующий пример.

Пример 3.6. Рассмотрим на плоскости R 2 подпространство M , получаемое присоединением к отрезку оси ординат, заключенному между

точками (0, −1) и (0, +1), графика Γ f	функции f (x )= sin	1	(0 < x ≤ 2 π )
(рис. 3.1).		x

Рисунок 3.1

Легко понять, что подпространство M не является линейно связным, ибо ни одна точка упомянутого отрезка не соединима путем в M с точками графика Γ f . Между тем нетрудно понять, что M связно, ибо связная компонента K x0

(будучи замкнутым множеством) содержит вместе с точкой x0 Γ f как весь график Γ f , так и все точки упомянутого отрезка, очевидно, являющиеся точ-

ками прикосновения для Γ f , следовательно, K x0	= M .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Прямое произведение X = ∏X i связных
пространств связно. Обратно: если произведение	X непустых пространств X i
связно, то каждое из сомножителей X i связно.

60