Posobie_Obschaya_topologia

◄ Пусть	Z = X ×Y , где X , Y – связные пространства, а z1 = (x1, y1 ) и
z2 = (x2 , y2 )	– произвольная пара точек пространства Z . Рассмотрим

множества A = X ×{y1} и B ={x2 }×Y , очевидно, обладающие общей точкой (x2 , y1 ) и связные в Z , поскольку они гомеоморфны пространствам X и Y со-

ответственно. Тогда, согласно предложению 3.5, объединение A B будет связным подмножеством в Z , содержащим точки z1 и z2 . Итак, произвольная

пара точек z1 , z2 из Z содержится в связном множестве и, стало быть, в силу

предложения 3.3 Z связно.

Из доказанного непосредственно следует, что прямое произведение конечного числа связных пространств связно.

Что же касается второй части утверждения, то оно непосредственно следует из предложения 3.10, поскольку каждый сомножитель является образом связного пространства X при отображении проектирования pi : X → X i .►

СЛЕДСТВИЕ 3.7. Компонента связности точки прямого произведения является прямым произведением компонент связности координат точки.

◄ Пусть x = (xi )– произвольная точка из прямого произведения X = ∏X i , K x – компонента связности точки x , а K xi – компонента связности

точки xi в i -сомножителе			X i . В силу предыдущего предложения множество
∏K xi	связно	вX , и поскольку оно,		очевидно, содержит	точку	x ,	то
∏K xi	K x .				pi (K x )
Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим образ							при
отображении проектирования pi : X → X i				и заметим, что он, будучи связным в
X i множеством,		содержащим точку xi ,		должен содержаться в	K xi ,	откуда
следует, что ∏(		pi (K x )) ∏K xi .
С	другой	стороны,	очевидно, K x ∏(pi (K x )) и,		стало	быть,

K x ∏K xi . Итак, K x = ∏K xi .►

61

Приложение А

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ5

А.1 Множества и простейшие операции над множествами

Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве всех точек данной линии, множестве натуральных чисел и т.д. Грани многогранника, точки данной линии, натуральные числа являются элементами соответствующих множеств. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они.

Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение теории множеств, введем лишь основные обозначения и приведем первоначальные

теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем.
Утверждение,	что	множество		А состоит	из различных элементов
a1, a2 , ..., an (и	только	из	этих	элементов)	условно	записывается
A ={a1, a2 , ..., an}.	Принадлежность			элемента	множеству	(отношение
принадлежности) обозначается			символом , т.е.		a1 A, a2 A, ..., an A.

Если элемент a1 не принадлежит множеству А, то в этом случае пишут a1 A.

Множество может содержать любое число элементов – конечное или бесконечное. Множество, содержащее один элемент, называется

одноэлементным.

Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел.

Назовем счетным множество, элементы которого можно биективно сопоставить со всеми натуральными числами.

Примеры. Множество всех целых чисел, множество всех четных положительных чисел, множество всех рациональных чисел.

Определение. Два множества M и N называются эквивалентными ( M N ), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных между собой множеств.

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с числом элементов множества. Мощность множества натуральных чисел (т.е. любого

5 Основатель теории множеств – немецкий математик Георг Кантор, 1845 -1918 гг.

62

счетного множества) обозначается символом 0 (читается: “алеф нуль”).

Утверждение. Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Про множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел отрезка [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума (обозначается

символом ).

Зафиксируем совокупность допустимых объектов и будем считать, что рассматриваемые множества являются подмножествами этой совокупности. Такую совокупность называют основным множеством или универсумом и обычно обозначают через U.

Универсум – множество абстрактно возможных объектов; множество, содержащее в себе все элементы с определенными свойствами; общее для всех множеств данной природы надмножество.

В качестве универсума можно рассматривать множество всех цифр,

множество точек пространства R n и т.д.

Множество, которое не содержит никаких элементов, называется пустым множеством и обозначается символом . Это понятие можно использовать для определения заведомо несуществующей совокупности элементов. Например,

множество действительных корней уравнения x2 +1 = 0 является пустым множеством.

Мощность пустого множества равна нулю.

Два множества А и В равны (тождественны) тогда и только тогда, когда каждый элемент А является элементом В и наоборот, т.е. А=В.

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то в этом случае множество A называется подмножеством B, а B – надмножеством A. Это отношение между множествами называют включением и обозначают символом , т.е. А В (А включено в В) или B A (В включает А). Например, множество положительных чисел – это подмножество множества действительных чисел. Полагают также, что подмножеством любого множества является пустое множество , т.е. А.

Одновременное выполнение соотношений А В и В А возможно только при A = B . И обратно A = B , если А В и В А. Это может служить определением равенства двух множеств через отношение включения.

Наряду с A B , в литературе можно встретить и другое обозначение A B . При этом под A B понимают такое отношение включения, которое не допускает равенства А и В (строгое включение). Если равенство A = B

допускается, то пишут А В (нестрогое включение).

Множество подмножеств

Любое непустое множество А имеет, по крайней мере, два различных подмножества: само А и пустое множество . Эти подмножества называются

63

несобственными. Подмножества некоторого множества А, отличные от него самого и от , называют собственными. Конечные собственные подмножества образуются всевозможными сочетаниями по одному, два, три и т. д. элементов данного множества.

Элементы множества сами могут являться некоторыми множествами. Множество, элементами которого являются все подмножества множества

А, называют множеством подмножеств А и обозначают через P( A) . Так, для

A ={a, b, c} имеем P( A) ={ ,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}} .

Мощность множества P( A) обозначают символом 2m , где m – мощность множества А.

Задание множеств

Множество A ={a1, a2 , ..., an} можно задать простым перечислением его

элементов. Но этот способ не пригоден для задания бесконечных множеств и даже в случае конечных множеств часто практически нереализуем.

Другой способ задания множества состоит в описании элементов определяющим свойством P (x ), общим для всех элементов. Обычно P (x )–

это высказывание, в котором что-то утверждается об х, или некоторая функция переменной х. Множество, заданное с помощью P (x ), обозначается как

X ={x | P(x)}.

Основные операции над множествами

Объединение (сумма) А В множеств А и В есть множество всех элементов, принадлежащих А или В.

Аналогично определяется объединение любого числа множеств: если Aα

– произвольные множества, то их объединение Aα – есть совокупность

α

элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств Aα .

Пересечение А∩В множеств А и В есть множество всех элементов, принадлежащих одновременно как А, так и В.

Пересечением любого числа множеств Aα называется совокупность

∩Aα элементов, принадлежащих каждому из множеств Aα .

α

Разность A \ B есть множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В. По аналогии разность B \ A есть множество, состоящее из всех элементов В, не входящих в А. Разность между множеством В и его частью А называется дополнением множества А в множестве В.

Разность U \ A называется дополнением множества A и обозначается

64

через CA .

Симметрическая разность А ∆ В есть множество всех элементов, принадлежащих или А, или В (но не обоим вместе):

A ∆ B = (A \ B ) (B \ A) или A ∆ B = (A B )\ (B ∩ A).

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Множество натуральных чисел обозначают буквой N, целых чисел – Z; рациональных чисел – Q. Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел R . Между множествами N, Z, Q и R существует соотношение N Z Q R.

Свойства операций над множествами

Свойства операций над множествами. Операции над множествами, как и операции над числами, обладают некоторыми свойствами (табл. А.1). Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.

Таблица А.1 Основные свойства операций над множествами

1а				A B = B A	1b	A ∩ B = B ∩ A
2а			A (B D ) = (A B ) D		2b	A ∩(B ∩ D ) = (A ∩ B )∩ D
3а		A (B ∩ D ) = (A B )∩(A D )			3b	A ∩(B D ) = (A ∩ B ) (A ∩ D )
4а				A = A	4b	A ∩U = A
5а				A CA =U	5b	A ∩CA =
6а				A U =U	6b	A ∩ =
7а				C =U	7b	CU =
8а				A A = A	8b	A ∩ A = A
9а				A (A ∩ B ) = A	9b	A ∩(A B ) = A
10а				C (A B ) = CA ∩CB	10b	C (A ∩ B ) = CA CB
	11			если A B =U и A ∩ B = , то B = CA
	12			CA =U \ A
	13			C (CA) = A
	14			A \ B = A ∩CB
	15			A B , если и только если A ∩ B = A или A B = B , или
				A ∩CB =
	16			A = B , если и только если (A ∩CB ) (CA ∩ B ) =

Тождества (1а)-(3а) выражают соответственно коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения, а тождества (1b)-

65

(3b) – те же законы для пересечения. Соотношения (4а)-(7а) определяют свойства пустого множества и универсума U относительно объединения, а соотношения (4b)- (7b) – относительно пересечения.

Выражения (8а) и (8b), называемые законами идемпотентности.

Зависимости (9а) и (9b) представляют законы поглощения, а (10а) и (10b) –

теоремы де Моргана.

Принцип двойственности

В теории множеств и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который основан на следующих соотношениях:

1. Дополнение объединения равно пересечению дополнений

U\ Aα =∩(U \ Aα ).

αα

2.Дополнение пересечения равно объединению дополнений

U\ ∩Aα = (U \ Aα ).

αα

Свойства операций (табл. А.1) представлены парами двойственных соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: на ∩

и∩ на , а также на U и U на . Соответствующие пары символов , ∩ и

, U называются двойственными символами.

Принцип двойственности состоит в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества U, автоматически может быть получено другое – двойственное – равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, объединений множеств – пересечениями, а пересечений – объединениями.

Теория точечных множеств, т.е. теория множеств, элементами которых являются действительные числа, а также точки двух-, трех- и вообще n -мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим понятие предельной точки множества и примыкающее к нему понятие замкнутого множества и др.

А.2 Отображение множеств

Наряду с понятием множества основополагающим для всей математики понятием является понятие отображения, которое хотя тоже интуитивно ясно и должно быть хорошо знакомо, тем не менее представляется уместным дать не опирающееся на интуицию определение этого фундаментального понятия, основанное лишь на понятии множества.

66

Функциональные отношения; отображение множеств

Пусть X, Y – произвольные, не обязательно различные множества и пусть Г – некоторое отношение между элементами этих множеств, т. е. некоторое подмножество декартового произведения X ×Y .

Определение. Отношение Γ X ×Y называется функциональным отношением или отображением множества X в множество Y, если для каждого х Х существует, и притом единственный, элемент y Y такой, что пара

(x, y) Г.

Другими словами, отношение Г является отображением X в Y , если D(Г)=X и из (x, y1) Г и (x, y2 ) Г следует, что y1 = y2 . Таким образом, каждое функциональное отношение Γ X ×Y порождает соответствие f = fΓ ,

сопоставляющее каждому х Х определенный (единственный) элемент y Y, а именно тот, при котором пара (x, y) Г.

Обычно	оказывается	значительно		удобнее	отождествлять
функциональное	отношение	Γ X ×Y с	порождаемым им		соответствием
f = fΓ и называть отображением X в Y			(или функцией на X со значениями

в Y) само это соответствие f; при этом Г принято называть графиком отображения f.

Запись	f
	f: X → Y или X →Y означает, что f – некоторое отображение
множества X	в множество Y; при этом, разумеется, два отображения
f1, f2 : X →Y	считаются равными в том и только в том случае, если совпадают

их графики, т. е. если для каждого х Х выполняется равенство f1(x) = f 2 (x) .

Рассмотрим произвольное отображение f: X → Y. Пусть x0 X , а

y0 –

тот единственный элемент из Y, при котором

(x0 , y0 ) Γ f ,

тогда

y0

обозначается через

f (x0 )

и называется образом x0 при отображении f: или f-

образом элемента

x0 (или значением функции f

в

x0 ). Пусть теперь

A –

некоторое

подмножество

из X, тогда множество

f ( A) ={f (x) Y; x A}

называется образом множества A при отображении f или, короче,

f-образом

А. Далее,

если

В

–

некоторое подмножество из Y, то множество

f −1(B) ={x X ;

f (x) B}

называется прообразом В при отображении

f

или

f-прообразом В;

в

частности, если В =

{y0 }

одноэлементно,

то

вместо

f −1 ({y0 }) пишут f −1 (y0 )

и называют f-прообразом элемента y0 .

Ясно, что f

( ) = ,

f −1 ( ) = . Легко проверить, кроме того, что для

любых A X и B Y

выполняются следующие соотношения:

f (f −1 (B )) B ,

A f −1 ( f (A)),

X \ f −1 (B ) = f −1 (Y \ B ),

т.е.

Cf −1 (B ) = f −1 (CB ).

Тривиальным примером отображения f: X → Y служит так называемое

67

постоянное отображение, при котором все элементы х Х имеют один и тот же образ y0 Y. Другим тривиальным примером служит отображение f : X → X ,

при котором образом любого элемента х Х служит этот же элемент; такое ото-

бражение принято называть тождественным или единичным отображением и

обозначать I X . Ясно также, что любая однозначная вещественная функция одной или нескольких переменных представляет собой пример отображения

области определения этих функций в R1.

Отображение i называется отображением вложения подмножества A X в множество X, при котором образом любого элемента х из A служит тот же самый х, однако рассматриваемый уже как элемент множества X. Для такого отображения принята особая запись – i : A X .

Инъективные, надъективные и биективные отображения

Во многих вопросах оказывается целесообразным особо выделять

нижеследующие три типа отображений.
Определение. Отображение			f : X →Y называется надъективным или
сюръективным отображением, если			f -образом X служат все Y, или, что то же
самое, если f -прообраз каждого элемента y Y не пуст; отображение				f : X →Y
называется инъективным,		если f -образы различных элементов различны,			или,
что то же самое,	если f	-прообраз каждого элемента y Y либо пуст,			либо
состоит лишь из	одного	элемента. Наконец, если отображение		f : X →Y

является как инъективным, так и надъективным, то оно называется

биективным.

Примеры.	Пусть	X =[−π / 2, π ], Y = R1 , тогда	отображение
sin :[−π / 2, π / 2	]→ R1,	задаваемое элементарной функцией	синус, будет

инъективным, но не надъективным. Если же рассматривать sin как отображение sin :[−π / 2, π / 2]→[−1,1], то оно будет и инъективным и надъективным, т. е.

биективным (взаимно-однозначным отображением). Если же рассматривать sin как отображение X → R1 , когда X =[0, π ] или X = R1, то эти отображения,

очевидно, будут не инъективными, ибо две (а во втором случае даже бесконечное число) различные точки будут иметь один и тот же образ.

Рассмотрим понятие композиции двух отображений. Пусть f –

отображение множества X в множество Y, a g – отображение Y в множество Z. Легко видеть, что эти два отображения естественным образом порождают отображение h множества X в Z, определенное по формуле h(x) = g [ f (x)]. При

этом отображение h, представляющее собой результат последовательного применения данных отображений, называется композицией или суперпозицией

68

отображений f и пишется h = g f . Аналогичным образом определяется композиция нескольких отображений как результат их последовательного

применения. Легко усмотреть, что при отображении h					для любых A X	и
C Z будем иметь			и h−1 (C )= f −1 g −1 (C ) .
	h (A) = g f (A)
Пусть	f – некоторое отображение			X в Y, для	которого существует
отображение	g : Y → X такое, что		g f	= I X . Тогда	легко видеть, что	f

должно быть инъективным, а отображение g – надъективным. Если теперь f – некоторое отображение X в Y, для которого существует отображение h :Y → X

такое, что f h = IY , тогда отображение	f	будет надъективным,		a	h –
инъективным. Если же для отображения		f : X →Y	существуют		как
отображение g, так и отображение h :Y → X	такие, что f		h = IY и g	f	= I X ,

то отображение f будет биективным. Кроме того, легко убедиться, что эти

отображения g и h (если они существуют) совпадают. Таким образом, при сделанных выше предположениях существует единственное отображение

f −1 = g = h , называемое обратным отображением по отношению к f ,

которое обладает свойствами f −1 f = I X , f f −1 = IY .

Укажем теперь некоторые легко проверяемые свойства, относящиеся к образам и прообразам подмножеств, имеющие место при произвольных отображениях:

1)f ( Ai )= f (Ai ),

2)f (∩Ai ) ∩ f (Ai ),

3)f −1 ( Ai )= f −1 (Ai ),

4)f −1 (∩Ai )= ∩ f −1 (Ai ),

5)f (A1 )\ f (A2 ) f (A1 \ A2 ),

6). f −1 (B1 \ B2 ) = f −1 (B1 )\ f −1 (B2 ).

Определим еще одно часто используемое понятие. Пусть f – некоторое

отображение множества X в множество из X. Ограничением отображения

Y , а A – произвольное подмножество f на подмножество A называется

отображение g множества A в Y, которое задается формулой g(x) = f (x) для всех х А. Эту часть g отображения f обозначают символом f A . При этом исходное отображение f принято называть распространением или про-

должением отображения g = f A на множество X.

69

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Александрян Р. А. Минрзаханян Э.А. Общая топология. – М.: Высш.

школа, 1979. – 336 с.

2.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1981. – 544 с.

3.Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.–

М.: Наука, 1977. – 368 с.

4.Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. – М.: Наука, 1968.

–272 с.

5.Келли Дж. Общая топология. – М.: Наука, 1981. – 432 с.

6.Куратовский. Топология: В 2-х т. Т.1. – M.: Мир, 1966. – 594 с.

7.Куратовский. Топология, В 2-х т. Т.2. – M.: Мир, 1969. – 624 с.

70