- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание.
- •Методика изучения математики в высшем учебном заведении студентами заочниками
- •Чтение учебника
- •Решение задач
- •Самопроверка
- •Консультации
- •Контрольные работы
- •Лекции и практические занятия
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Программа по высшей математике. За первый курс.
- •I семестр.
- •I. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •II. Введение в математический анализ.
- •IV. Дифференциальное исчисление функции двух переменных.
- •V. Интегральное исчисление
- •Литература
- •Методические указания к выполнению контрольных работ
- •Контрольная работа №1
- •Задачи 1-10
- •Задачи 11-20
- •Задачи 21-30
- •4. Понятие бесконечно малой функции и ее свойства:
- •Задачи 31-40,41-50,51-60
- •Задачи 41 -50
- •Задачи 51-60
- •Задачи 61-70
- •Задачи 61 – 70
- •Тренировочные задания
- •Правило выбора варианта
- •Задачи для контрольных заданий
- •Контрольная работа № 1
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Задачи 1-10
- •Задачи 11-20
- •Введение в анализ и дифференциальное исчисление Задачи 21-30
- •Задачи 31-40
- •Задачи 41-50
- •Задачи 71-80.
Задачи 21-30
По теме «Введение в анализ» рассмотрите предварительно следующие вопросы о функциях и пределах:
1. Понятие функции, способы задания функции, область ее определения.
2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
3. Понятие предела функции в точке.
4. Понятие бесконечно малой функции и ее свойства:
5. Понятие бесконечно большой функции :
ее свойства и связь с бесконечно малой функцией.
6. Теоремы о пределах: предел суммы, разности, произведения, частного функций.
7.Первый замечательный предел:
или
8. Второй замечательный предел:
или в другой форме:
где e- иррациональное число: .
9. Эквивалентные бесконечно малые функции.
10. Виды неопределенностей и способы их раскрытия:
11. Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
12. Теоремы о непрерывных функциях.
Задача. Найти пределы функций:
1. 2.
При
3.
4.
Решение. Прежде всего заметим, что во всех примерах следует найти предел частного. Как известно, предел частного существует и равен частному пределов, если существуют пределы числителя и знаменателя и предел знаменателя не равен нулю.
1.а)
Предел числителя и предел знаменателя дроби найдем, подставив в них предельное значение аргумента:
Здесь теорема о пределе частного применима.
б)
При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида «ноль на ноль»
Такая неопределенность раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию , в данном случае на, которая обращает числитель и знаменатель в нуль. Для этого нужно сначаларазложить на множители числитель и знаменатель дроби.
Напомним формулу разложения квадратного трехчлена на множители:, гдеи-корниквадратного трех-
члена, которые находим из уравнения .
Разложим на множители числитель данной дроби:
;
Следовательно:
Разложим на множители знаменатель дроби:
;
Следовательно: 4х2+15х-4=4(х+4)(х-1 /4)=(х+4)(4х-1).
Тогда в)
При числитель и знаменатель дроби также стремятся к бесконечности. В этом случае теорема о пределе частного неприменима. Говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность»
Чтобы ее раскрыть, каждый член числителя и знаменателя дроби разделим на в наивысшей для данного примера степени (то есть на), от чего величина дроби не изменится. Тогда получим:
так как
Замечание. Полезно заметить и запомнить, что предел отношения многочленов при равен отношению их коэффициентов при старших степенях.
2.
При подстановке предельного значения в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их пределы равны нулю. Таким образом, перед нами вновь неопределенность вида
которая раскрывается сокращением дроби на бесконечно малую функцию . Для этого предварительно умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному выражению в знаменателе, то есть на:
При умножении сопряженных выражений в знаменателе было использовано тождество
З.Для решения примеров под номером 3 используется первый замечательный предел, с помощью которого раскрываются некоторые неопределенности вида
Примеры этого пункта можно решать также с помощью эквивалентных бесконечно малых функций. Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными в точке, если предел их отношения в этой точке равен 1:
значит ~при
Например, при :~; ~;
~; ~ .
При вычислении пределов бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им.
4.Для раскрытия неопределенностей вида () применяется второй замечательный предел:
где e - иррациональное число, то есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, ее приближенное значение: e ≈ 2,7
Найдем
Очевидно, что
Тогда