2.3. Анализ временных рядов

Цель анализа - выявить закономерности распределения данных, построение тренда и осуществление прогноза на его основе. Проводится в среде MS Excel с помощью инструментов «Скользящее среднее» и «Экспоненциальное сглаживание» Пакета анализа.

Среднее скользящее значение относится к категории аналитических инструментов, которые, как принято говорить, "следуют за тенденцией". Его назначение состоит в том, чтобы позволить определить время начала новой тенденции, а также предупредить о ее завершении или повороте. Методы скользящего среднего предназначены для отслеживания тенденций непосредственно в процессе их развития, их можно рассматривать как искривленные линии тренда.

Простая и логически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:

Y_t = b + ε_t

где b — константа, ε - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред- предпоследним, и т.д.

Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

S_t=αy_t + (1 -α)S_t-1

Когда эта формула применяется рекурсивно, каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра α. Если α равен 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если α равен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что простое экспоненциальное сглаживание весьма часто дает достаточно точный прогноз.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания временных рядов является расчет общей тенденции развития (тренда) как функции времени:

где - теоретические значения временного ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

С помощью Microsoft Excel строить трендовые модели достаточно просто. Сначала эмпирический временной ряд следует представить в виде диаграммы одного из следующих типов: гистограмма, линейчатая диаграмма, график, точечная диаграмма, диаграмма с областями, а затем щелкнуть на диаграмме правой кнопкой мыши на одном из маркеров данных. В результате на диаграмме будет выделен сам временной ряд, а на экране раскроется контекстное меню. В этом меню следует выбрать команду (Добавить линию тренда). На экран будет выведено диалоговое окно. На вкладке Туре (Тип) этого диалогового окна выбирается требуемый тип тренда:

1. линейный (Linear);

2. логарифмический (Logarithmic);

3. полиномиальный, от 2-й до 6-й степени включительно (Polinomial);

4. степенной (Power);

5. экспоненциальный (Exponential);

6. скользящее среднее, с указанием периода сглаживания от 2 до 15 (Moving Average).

Проведем данный анализ для наиболее значимого показателя каждой группы.

В группе «Экономика» таким показателем является показатель - валовой национальный продукт.

Годы	x1	Скользящее среднее	Экспоненциальное сглаживание
1991	125,2	-	-
1992	110,1	-	125,20
1993	87,3	107,53	114,63
1994	100,6	99,33	95,50
1995	130,7	106,20	99,07
1996	128,2	119,83	121,21
1997	122,9	127,27	126,10
1998	129,7	126,93	123,86
1999	130,2	127,60	127,95
2000	121,7	127,20	129,52
2001	124,6	125,50	124,05
2002	135,1	127,13	124,43
2003	164,1	141,27	131,90
2004	188,9	162,70	154,44
2005	195,6	182,87	178,56
2006	207,8	197,43	190,49
2007	246,1	216,50	202,61
2008	272	241,97	233,05
2009	240,7	252,93	260,32
2010	238,7	250,47	246,58

Рис. 1. График скользящего среднего для показателя валовой национальный продукт

Рис. 2. График экспоненциального сглаживания для показателя валовой национальный продукт

Для того, чтобы выявить наилучшее уравнение тренда для показателя - валовой внутренний продукт построим график фактических значений данного показателя и добавим на него линии линейного, степенного и экспоненциального трендов с указанием уравнения и величины достоверности аппроксимацииR².

Как видно, из рисунка 3, наиболее лучшей модель тренда является экспоненциальная модель с уравнением , так как имеет самую наибольшую величину достоверности аппроксимацииR²=0,83.

По полученному уравнению рассчитаем прогнозные значения валового внутреннего продукта для 2011 и 2012 годов, которым имеют значения t=21 и t=20 соответственно.

2011 г.: млрд. долл.

2012 г.: млрд. долл.

Рис. 3. Линии трендов для показателя валовой национальный продукт

В группе «Население» таким показателем является показатель - численность населения, тыс. чел.

Годы	x5	Скользящее среднее	Экспоненциальное сглаживание
1991	5009,16
1992	5034,766		5009,16
1993	5061,394	5035,11	5027,08
1994	5086,368	5060,84	5051,10
1995	5107,802	5085,19	5075,79
1996	5125,177	5106,45	5098,20
1997	5139,257	5124,08	5117,08
1998	5151,024	5138,49	5132,60
1999	5161,995	5150,76	5145,50
2000	5173,37	5162,13	5157,05
2001	5185,18	5173,52	5168,47
2002	5197,305	5185,29	5180,17
2003	5210,595	5197,69	5192,16
2004	5226,067	5211,32	5205,07
2005	5244,342	5227,00	5219,77
2006	5265,936	5245,45	5236,97
2007	5290,431	5266,90	5257,25
2008	5316,334	5290,90	5280,48
2009	5341,546	5316,10	5305,58
2010	5364,546	5340,81	5330,76

Рис. 4. График скользящего среднего для показателя численность населения

Рис. 5. График экспоненциального сглаживания для показателя численность населения

Для того, чтобы выявить наилучшее уравнение тренда для показателя - численность населения, построим график фактических значений данного показателя. Добавим на него линии линейного, степенного и экспоненциального трендов с указанием уравнения и величины достоверности аппроксимацииR².

Рис. 6. Линии трендов для показателя численность населения.

Как видно, из рисунка 6, наиболее лучшей моделью тренда является экспоненциальная модель с уравнением , так как имеет самую наибольшую величину достоверности аппроксимацииR²=0,9846.

По полученному уравнению рассчитаем прогнозные значения валового внутреннего продукта для 2011 и 2012 годов, которым имеют значения t=21 и t=22 соответственно.

2011 г.: тыс. чел.

2012 г.: тыс. чел.