66. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть вектор-функция удовлетворяет на каждом компакте областиусловию Липшица

Тогда:

1) найдется такое , что прирешение задачи Коши (1) при условии (2) существует,

2)решение задачи Коши единственно

67. Теоремы о решениях линейных однородных уравнений высших порядков (с доказательством).

68. Определение линейной зависимости и линейной независимости функций. Определитель Вронского для установления лз или лн функций.

Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.  Опр. 14.5.3.1. Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для .  Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимойна интервале (a, b).  Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x),y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).  Примеры: 1. Функции 1, x, x², x³ линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b)больше трёх корней, поэтому равенство = 0 для возможно только при .  Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x², x³ , …, xⁿ. Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше n корней.  3. Функции линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке .  4. Система функций также линейно независима, если числа k_i (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.  Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.

69. Обыкновенные однородные дифференциальные линейные уравнения высших порядков с постоянны-ми коэффициентами. Метод Эйлера решения этих уравнений. Характеристическое уравнение. Фун-даментальная система решений (ФСР) в случае простых и в случае кратных корней. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

70. Неоднородное линейное уравнение. Теорема о структуре решения. Метод Лагранжа. Метод неопре-делённых коэффициентов (для уравнений со специальной правой частью).

 Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Структура общего решения

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.  Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).  Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.  Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1. 

2. где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.  В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.  В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.  Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.