563. В конечномерном пространстве Rⁿ все нормы вектора эквивалентны(существуют такие константы m и M для произведения нормы, справедливо:

564. m||x||_β||x||_αM||x||_β,

565. где m и M – константы, не зависящие от элемента x.)

566. Так, например, поскольку

567. max(x_i)²x²₁+x₂²+…+x_n²nmax(x_i)², (максимум по i) то справедливо ||x||_||x||₂||x||_ , т.е. здесь m=1, а M=.

571. 29. Нормы матриц. Согласованность и подчиненность норм.

572. Нормой матрицы назовем поставленное в соответствие этой матрице вещественное число ||A|| такое, что которое как вещественное число ставится в соответствие каждой матрице из n-мерного пространства и удовлетворяет 4 аксиомам:

1. ||A||0 и ||A||=0, только если A – нулевая матрица;

2. ||αA||=|α|·||A||, где R;

3. ||A+B||||A||+||B||;

4. ||A·B||||A||·||B||. (свойство мультипликативности)

574. Норма матриц может быть введена различными способами. Матрицу A можно рассматривать как n²-мерный вектор.

575. .

576. Эта норма называется евклидовой нормой матрицы.

577. Если для любой квадратной матрицы A и любого вектора x, размерность которого равна порядку матрицы, выполняется неравенство ||Ax||||A||·||x||,

578. то говорят, что норма матрицы A согласована с нормой вектора. Заметим, что слева в последнем условии стоит норма вектора (Ax – вектор).

579. С заданной векторной нормой согласованы различные матричные нормы. Выберем среди них наименьшую. Таковой будет

580. .

581. Эта матричная норма- подчиненная заданной векторной норме. Существование максимума в этом выражении следует из непрерывности нормы, ибо всегда существует вектор x -> ||x||=1 и ||Ax||=||A||.

582. Покажем, xто норма N(A) не подчинена ни одной векторной норме. Нормы матрицы, подчиненные ранее введенным векторным нормам, выражаются следующим образом:

1. ||A||_=|a_ij| (норма-максимум)

2. ||A||₁=|a_ij| (норма-сумма)

3. ||A||₂=, (спектральная норма)