- •Предел функции в точке.
- •Геометрический смысл.
- •Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
- •Свойства пределов функции в точке.
- •Предел функции и арифметические операции.
- •Предел функции и неравенства.
- •Односторонние пределы.
- •Свойства пределов.
- •Предел композиции функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Делим полученное неравенство на r2, получаем:
- •Второй замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.
- •Свойства бесконечно малых величин:
- •Бесконечно большие функции (величины).
- •Свойства б/б величин.
- •Связь между б/б и б/м функциями.
- •Сравнение бесконечно малых величин.
- •Раскрытие неопределенностей.
- •Способы устранения неопределенностей.
- •Сравнение бесконечно больших величин.
- •Пределы монотонных функций.
- •Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)
Предел функции в точке.
Пусть дана функция f(х) с областью определения Х.
Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при х→х0, если для любого сколь угодно малого числа >0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от , δ=δ()), что для всех хХ таких, что 0<|x-x0|<δ выполняется неравенство |f(х)-A|<.
Т.е. >0 δ=δ(E)x: 0<|x-x0|<δ |f(х)-A|< (1)
, f(x)→A, x→x0
Замечание. 1) Неравенство (1) не поверяется при х=х0.
2) Принципиальны лишь малые и .
Пример. 1) f(x)=. Покажем, что
>0 δ=δ(E)x: 0<|x|<δ||<
||=|2х||2х|=2х< =, тогда
>0 δ=x: 0<|x|<δ||<2х<
Геометрический смысл.
Неравенство |x-x0|<δ равносильно неравенству х0-δ<x<x0+δ
Неравенство |f(х)-A|<E равносильно неравенству A-E<f(x)<A+E
Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
Получаем топологическое определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→х0, если для любого сколь угодно малого числа Е>0 найдется такое число δ>0 (зависящее от Е, δ=δ(Е)), что для всех х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.
W(A) V(x0): xV(x0)\{x0} f(х)W(A) (3)
Предела
функции в точке х0
не существует. Существуют односторонние
пределы.
Принципиальное значение имеют малые окрестности.
Определение 3. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при х→х0 (в точке х0), если для любой последовательности {xn}, сходящейся к х0 (xn≠x0 n), последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к А.
Теорема (определение по Гейне, в терминах последовательности). Определения 1 и 3 равносильны, т.е.
Для того, чтобы число А было пределом функции f при х→х0 необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn}, сходящейся к х0 (xn≠x0 n) приn→, последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к А.
Доказательство. Необходимость. Пусть .
Показать, что {xn}, сходящейся к х0, последовательность f(xn)→n, n→.
Т.к. , то >0 δ=δ(E) x: 0<|x-x0|<δ |f(х)-A|<
хn→x0, то для N:n>N|хn-x0|<, тогда |f(хn)-A|< n>N,т.е. f(xn)→А.
Достаточность. Дано {xn},xn→х0,f(xn)→n, n→. Показать, что .
Допустим противное, что число А не является пределом функции f(x) при х→х0.
Т.е.
Возьмем n=,тогда
Получим, , тоне стремиться к А приn→. Получили противоречие. Следовательно, ч.т.д.
Свойства пределов функции в точке.
Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел при х→х0 , то этот предел определяется единственным образом.
Доказательство. Допустим противное, f(x) имеет 2 предела А≠В при х→х0.
Выберем последовательность {xn}→х0 (xn≠x0 n), тогдаf(xn)→А и f(xn)→В, следовательно А=В (т.к. предел последовательности единственный). Ч.т.д.
Теорема 2. Если функция f(x) имеет предел при х→х0, то на некоторой окрестности V(x0) точки х0 функция f(x) ограничена, т.е. существует число
С>0:
Доказательство. Пусть , тогда существует такая окрестностьV(x0) точки х0 такой, что 1>f(x)-Af(x)-А, т.е. f(x)1+А.
Возьмем С=1+А. ч.т.д.