- •Предел функции в точке.
- •Геометрический смысл.
- •Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
- •Свойства пределов функции в точке.
- •Предел функции и арифметические операции.
- •Предел функции и неравенства.
- •Односторонние пределы.
- •Свойства пределов.
- •Предел композиции функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Делим полученное неравенство на r2, получаем:
- •Второй замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.
- •Свойства бесконечно малых величин:
- •Бесконечно большие функции (величины).
- •Свойства б/б величин.
- •Связь между б/б и б/м функциями.
- •Сравнение бесконечно малых величин.
- •Раскрытие неопределенностей.
- •Способы устранения неопределенностей.
- •Сравнение бесконечно больших величин.
- •Пределы монотонных функций.
- •Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)
Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.
Определение. Функция α(х) называется бесконечно малой (б/м) функцией при х→х0, или при х → ∞, если:α(х)=0. х0 может быть как число, так и -,+,.
Т.е. ε > 0δ=δ(ε)> 0х: 0<|х–х0|<δ |α(х)|<ε
Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой при х → ∞
ε>0 S=S(ε)>0 х : |х| > S |α(x)|<ε
Например, y=cos x - б/м при х→П/2, у=б/м при х→∞.
Связь бесконечно малых величин с пределами функций.
Теорема. Функция f(x) имеет при х→х0 (х → ∞) предел, равный А, тогда и только тогда, когда ее можно представить как сумму числа A и бесконечно малой функции α(х) при х → х0 (х → ∞).
=А f(x)-A=α(x)
Доказательство. Необходимость. Докажем теорему для любого случая х→х0. По условию f(x) = A. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое число δ>0, что для всех х≠х0 и удовлетворяющих условию |х–х0|<δ будет верно неравенство |f(x)–A|<ε, или, обозначив α(х)=f(x)–A, справедливо неравенство |α(х)|<ε. Это и означает, что α(х) есть бесконечно малая при х→ х0. ■
Достаточность. □ По условию α(х)=f(x)–A есть бесконечно малая при х→х0, то для любого числа ε>0 существует такое число δ>0, что при всех х≠х0 и удовлетворяющих условию |х–х0|<δ верно неравенство |α(х)|=|f(x)–A|<ε.
Это и означает, что f(x)=A. ■
Доказательство через последовательности. Необходимость. Возьмем последовательность х1,x2,…,xn,… значений х любую, но такую, что xn и xnx0 при n.
По условию =А. Тогда f(xn)A при (f(xn)-A)=α(хn)0 при n.
Т.к. последовательность х1,x2,…,xn,…-любая, сходящаяся к х0, то =0
=0. А последнее и означает, что разность f(x)–A – б.м. при хх0.
Достаточность. Возьмем последовательность х1,x2,…,xn,… значений х любую, но такую, что xn и xnx0 при n.
По условию (х)=f(x)–A – б.м. при хх0, т.е. ==0. Но тогда
α(хn)0 при n(f(xn)-A)0 при n.
Т.к. последовательность х1,x2,…,xn,…-любая, сходящаяся к х0, то f(x)=A.
Свойства бесконечно малых величин:
Если одна из трех функций f(x), -f(x), f(x) является б.м. при х→х0, то и две другие функции также являются б.м. при х→х0.
Алгебраическая сумма конечного числа б/м величин есть величина б/м.
Произведение б/м величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую б/м) есть величина б/м.
Частное от деления б/м величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина б/м.
Доказательство через последовательности или через определение предела функции при А=0.
Пример. Доказать, что функция f(x)=(х-1)sinявляется бесконечно малой при х→1.
Т.к. =0, т.е. (х-1) – б.м. при х→1, а функция sinограничена (т.к.), то функция f(x) является произведением б.м. функции на ограниченную. Следовательно, функция f(x)=(х-1)sinявляется бесконечно малой при х→1.
Бесконечно большие функции (величины).
Определение. Функция β(х) называется бесконечно большой величиной (б/б) при х→х0, если либо =∞, либо=+∞, либо=-∞.
При этом в случае, когда =+∞, говорят, что β(х) – положительная бесконечно большая, а в случае, когда=-∞, говорят, что β(х) – отрицательная бесконечно большая функция при х→х0.
Например, функция у=tg x при х→П/2 – б/б;
Функция у=х2+5 при х→∞ - б/б; у=при х→0 – б/б. (На графике показать определение)
Замечание. х0 может означать и конечное число, и один из символов , +, -.
Любая б/б функция является неограниченной. Обратное неверно. Так, например, функция у=хcos х – неограниченная функция, но б/б не является, т.к. при х→∞ функция колеблется, переходя от отрицательных значений к положительным и наоборот, принимая значения 0.