4. Прямая на плоскости.

Теорема. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую 1-го порядка и любая алгебраическая кривая 1-го порядка на плоскости есть прямая.

Доказательство. Рассмотрим произвольную прямую L на плоскости. Пусть точка М₀(х₀;у₀) лежит на L, а ненулевой вектор n={А;В} перпендикулярен этой прямой. Пусть точка М(х,у) – произвольная точка. Точка М(х,у)Lкогда вектор =(х-х₀)i+(y-y₀)j вектору n=Ai+Bj

Т.е. n=0  (х-х₀)А+(y-y₀)В=0 или

Преобразуем уравнение (1): Ах+Ву-Ах₀-Ву₀=0

Обозначим -Ах₀-Ву₀=С. Получим следующее уравнение:

Ах+Ву+С=0 (1) – общее уравнение прямой. (т.к. n0, то либо А0, либо В0, т.е. А²+В²≠0). Т.о. первой утверждение доказано.

Для доказательства второго утверждения, рассмотрим произвольное уравнение 1-го порядка с двумя неизвестными Ах+Ву+С=0 (А²+В²≠0). Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если А0, то решением уравнения является х=-, у=0. Это означает, что существует хотя бы одна точка М₀(х₀;у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1), т.е. Ах₀+Ву₀+С=0 (2).

Вычитая из уравнения (1) равенство (2), получим А(х-х₀)+В(y-y₀)=0 (3).

Покажем, что уравнение (3), эквивалентное уравнению (1), определяет относительно системы Оху прямую L, проходящую через точку М₀(х₀;у₀) и перпендикулярную вектору n={А;В} (т.к. А²+В²≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у) лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В} и ={х-х₀;y-y₀} ортогональны и их скалярное произведение n=0  (х-х₀)А+(y-y₀)В=0.

Если же М(х,у) не лежит на прямой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В} и ={х-х₀;y-y₀} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х₀)А+(y-y₀)В не равно нулю. Ч.т.д.

Уравнение Ах+Ву+С=0 (1) – общее уравнение прямой

n={А;В} – нормальный вектор прямой L.

Замечание. Если два общих уравнения Ах+Ву+С=0 и А₁х+В₁у+С₁=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что A₁=At, B₁=Bt, C₁=Ct (4)

Действительно, т.к. прямые Ах+Ву+С=0 и А₁х+В₁у+С₁=0 совпадают, то векторы n={А;В} и n₁={А₁;В₁} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n₁=ntиз линейного свойства координат вектора следуют первые два равенства (4). Т.к. прямые совпадают, то они имеют общую точку М₀(х₀;у₀). Т.е. Ах₀+Ву₀+С=0 и А₁х₀+В₁у₀+С₁=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А₁)х₀+(Bt-В₁)у₀+(Ct-С₁)=0 Ct-С₁=0 Ct=С₁.

Т.о. общее уравнение прямой, как и нормальный вектор прямой, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.

Неполные уравнения прямой. (Частные случаи).

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты не равны 0. в противном случае уравнение называется неполным.

1) С=0 Ах+Ву=0 прямая, проходящая через начало координат.

2) А=0 Ву+С=0 или у= прямая, параллельная оси абсцисс Ох. (Нормальный вектор n={0;В} ортогонален оси Ох).

3) В=0 Ах+С=0 или х= прямая, параллельная оси ординат Оу. (Нормальный вектор n={А;0} ортогонален оси Оу).

4) В=С=0  уравнение Ах=0 определяет ось Оу (т.к. параллельна оси Оу и проходит через начало координат).

5) А=С=0  уравнение Ву=0 определяет ось Ох (т.к. параллельна оси Ох и проходит через начало координат).