- •Уравнение линии на плоскости.
- •Параметрическое уравнение линии.
- •2. Полярная система координат (пск).
- •Связь между декартовыми и полярными координатами точки.
- •Классификация плоских линий.
- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •4. Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой. (Частные случаи).
- •Каноническое уравнение прямой.
- •Параметрическое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •Нормированное (нормальное) уравнение прямой.
- •Уравнение пучка прямых.
- •Расстояние от точки до прямой. Кривые II –го порядка.
- •Аналитическая геометрия в пространстве (r3)
Уравнение пучка прямых.
Пусть прямая L проходит через точку М0(х0;у0) и образует с осью Ох угол α≠Π/2. Тогда координаты .той точки удовлетворяют уравнению (3), т.е.
у0=kx0+b
Вычитая это равенство из уравнения (3), получаем:
y-у0=k(x-х0) (4)
уравнение пучка прямых , проходящих через точку М0(х0;у0), кроме прямой, параллельной оси Оу, не имеющей углового коэффициента.
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) по углом 45˚ к оси Ох.
Угловой коэффициент k=tg45˚=1. Тогда, по формуле (4), получаем уравнение:
у-2=1(х-1) или у=х+1
Расстояние от точки до прямой. Кривые II –го порядка.
Кривыми 2-го порядка на плоскости называется множество точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1), где А2+В2+С2≠0
Уравнение (1) – общее уравнение кривых 2-го порядка.
Теорема. Для любой линии 2-го порядка существует прямоугольная система координат, в которой уравнение этой линии примет один из следующих видов:
- эллипс; 5.;
- мнимый эллипс
- пара мнимых пересекающихся прямых ()
- гипербола;
- пара пересекающихся прямых ()
у2=2рх - парабола;
у2-а2=0 пара параллельных прямых.
у2+а2=0 пара мнимых параллельных прямых.
у2=0 пара совпадающих прямых.
Последний случай является случаем вырождения уравнения (1) (точка).
х2-у2=0 (х-у)(х+у)=0
х=у х=-у
Определим, при каких условиях уравнение (1) является уравнением окружности. Для этого представим уравнение (х-х0)2 +(у-у0)2= R2 в виде:
х2+у2-2х0х-2у0у+х02+у02-R2=0 (1*)
Чтобы это уравнение описывало ту же линию, что и уравнение (1) должно быть В=0, а остальные коэффициенты пропорциональны, в частности , откуда А=С≠0 (т.к. А2+В2+С2≠0, а В=0). Получаем общее уравнение окружности: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Разделим обе части уравнения на А: х2+у2+х+у+=0.
Дополним члены, содержащие х и у, до полного квадрата, получаем
(х+)2+(у+)2=
Т.о. при А=С, В=0, D2+E2-4AF>0 уравнение (1*) является уравнением действительной окружности с центром в точке О(-;-) и радиусом R=
Обозначив х0=-, у0= -, δ=
Предположим для простоты исследования, что центр кривой находится в начале координат, т.е. х0=у0=0. Тогда уравнение кривой имеет вид:
Ах2+Ву2= δ
Можно показать, что с помощью поворота исходной системы координат ур-е (1) может всегда преобразовать к виду, в котором отсутствует член с множителем ух (В), поэтому будем проводить анализ линий, уравнения которых имеют вид:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (2)
АС>0 – эллипс (т.е. коэффициенты А и С – одного знака)
В этом случае уравнение (2) может быть преобразовано к виду:
(3) - каноническое уравнение эллипса, с центром в точке М0(х0;у0), оси симметрии которого параллельны осям координат.
a>b>0 a – большая полуось, b – малая полуось.
При а=b–частный случай–уравнение окружности.
Характеристическое свойством эллипса является то, что сумма расстояний от любой его точки до фокусов F1(-c;0) и F2(c;0) всегда постоянно. (Эллипс можно определить как множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов)постоянная величина)
Связь между параметрами эллипса а, b и c имеет вид:
(а-большая полуось эллипса, b – малая ось).
Покажем справедливость характеристического свойства для эллипса с центром в точке (0;0):
d=F2M+MF1=
F2M=Аналогично,MF1=а-Ех
Т.о. d=F2M+MF1=2а
Форма (кривизна) эллипса определяется его эксцентриситетом (“эпсилон”)
При =0 эллипс переходит в окружность.
При =1 эллипс вырождается в отрезок прямой.
2. АС<0 – гипербола.
В этом случае уравнение (2) может быть преобразовано к виду: (4) – каноническое уравнение гиперболы, центр которой в точке М0(х0;у0), оси симметрии которого параллельны осям координат
Фокусы гиперболы F1(-c;0) и F2(c;0). Связь между параметрами гиперболы а, b и c имеет вид:
Характеристическое свойство гиперболы (можно принимать за определение): для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2а: d=|F2M-MF1|=2a.
Кривизна гиперболы определяется её эксцентриситетом >1
Рассмотрим уравнение гиперболы с центром в точке (0;0):
Тогда у=. При достаточно больших х уравнение примет вид у≈, т.е. при х→∞ ветвигиперболы приближаются к прямым у=-асимптотам гиперболы.
3. А=0 (В=0) – парабола.
В этом случае уравнение (2) может быть преобразовано к виду:
(у-у0)2=2р(х-х0) – (5) – каноническое уравнение параболы, с центром в точке М0(х0;у0) и осью симметрии, параллельной оси абсцисс Ох.
Параметр р>0 определяет крутизну параболы.
Характерное свойство параболы состоит в том, что каждая ее точка одинаково удалена от фокуса параболы и от прямой L – директрисы.
(Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой).
Кривые 2-го порядка могут быть классифицированы по величине их эксцентриситета: 0< Ε<1 эллипс, Ε=1 – парабола, Ε>1 – гипербола.