Задание №5
Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.
Порядок матриц: 7; Тип возмущения: M
|
Матрица 8 типа |
Матрица 3 типа | |||||
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. | |
|
1 |
0 |
4.415*107 |
1 |
0 |
1.785*101 | |
|
103 |
0 |
4.415*107 |
103 |
0 |
1.785*101 | |
|
106 |
0 |
4.415*107 |
106 |
0 |
1.785*101 | |
|
109 |
0 |
4.415*107 |
109 |
0 |
1.785*101 | |
|
1012 |
0 |
4.872*107 |
1012 |
0 |
1.785*101 | |
|
1015 |
0 |
9.540*105 |
1015 |
0 |
1.785*101 | |
|
1018 |
0 |
1.190*104 |
1018 |
0 |
2.082*101 | |
|
1021 |
0 |
2.031*10 |
1021 |
0 |
9.997*101 | |
|
0 |
1 |
4.415*107 |
0 |
1 |
1.785*101 | |
|
0 |
103 |
4.415*107 |
0 |
103 |
1.785*101 | |
|
0 |
106 |
4.415*107 |
0 |
106 |
1.785*101 | |
|
0 |
109 |
4.415*107 |
0 |
109 |
1.785*101 | |
|
0 |
1012 |
4.415*107 |
0 |
1012 |
1.785*101 | |
|
0 |
1015 |
4.415*107 |
0 |
1015 |
1.785*101 | |
|
0 |
1018 |
4.415*107 |
0 |
1018 |
1.785*101 | |
|
0 |
1021 |
4.415*107 |
0 |
1021 |
1.785*101 | |
|
1 |
1 |
4.415*107 |
1 |
1 |
1.785*101 | |
|
103 |
103 |
4.415*107 |
103 |
103 |
1.785*101 | |
|
106 |
106 |
4.415*107 |
106 |
106 |
1.785*101 | |
|
109 |
109 |
4.417*107 |
109 |
109 |
1.785*101 | |
|
1012 |
1012 |
4.737*107 |
1012 |
1012 |
1.785*101 | |
|
1015 |
1015 |
1.730*107 |
1015 |
1015 |
1.785*101 | |
|
1018 |
1018 |
4.609*102 |
1018 |
1018 |
2.060*101 | |
|
1021 |
1021 |
6.671*102 |
1021 |
1021 |
3.994*101 | |
Вывод: При возмущениях меньше чем 1015 у хорошо и плохо обусловленных матриц обусловленность не меняется. У хорошо обусловленных матриц при больших возмущениях kEpsA (>1015) обусловленность матрицы ухудшается, у плохо обусловленных матриц наоборот увеличивается на несколько (на 5) порядков. При любых возмущениях kEpsB обусловленность матрицы в обоих случаях не меняется.
Задание №6
Для
задач с «хорошей» матрицей (m
= 102 - 104) посредством внесения
в матрицу системы возмущений различной
величины сделать заключение о приемлемой
для получения требуемой (наперед
заданной) точности решения степени
неопределенности в задании исходных
данных.
Матрица 2 типа, 7 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-19 |
1 |
|
103 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.98*10-16 |
1 |
|
106 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.50*10-13 |
1 |
|
109 |
0 |
1.353*102 |
1.492*10-10 |
1.71*10-10 |
3.00*10-10 |
1 |
|
1012 |
0 |
1.353*102 |
2.263*10-7 |
4.78*10-11 |
2.88*10-7 |
1 |
|
0 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-16 |
1 |
|
0 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-13 |
1 |
|
0 |
109 |
1.353*102 |
1.455*10-10 |
1.47*10-8 |
2.54*10-10 |
1 |
|
0 |
1012 |
1.353*102 |
1.085*10-7 |
1.47*10-5 |
2.17*10-7 |
1 |
|
103 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
3.77*10-16 |
1 |
|
106 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
4.59*10-13 |
1 |
|
109 |
109 |
1.353*102 |
3.074*10-10 |
1.47*10-8 |
5.66*10-10 |
1 |
|
1012 |
1012 |
1.353*102 |
1.334*10-7 |
1.47*10-5 |
5.10*10-7 |
1 |
Матрица 5 типа 3 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
103 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
109 |
0 |
6.808*102 |
9.277*10-11 |
1.24*10-10 |
1.45*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
0 |
6.808*102 |
5.256*10-8 |
5.72*10-11 |
9.86*10-8 |
3*101 |
|
0 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
0 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
0 |
109 |
6.808*102 |
3.747*10-10 |
7.40*10-8 |
4.53*10-10 |
3*101 |
|
0 |
1012 |
6.808*102 |
1.085*10-7 |
7.38*10-5 |
2.17*10-7 |
3*101 |
|
103 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.47*10-12 |
3*101 |
|
109 |
109 |
6.808*102 |
3.474*10-10 |
7.38*10-8 |
5.72*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
1012 |
6.808*102 |
1.984*10-7 |
7.38*10-5 |
3.07*10-7 |
3*101 |
Вывод: При степени неопределённости исходных данных (kEpsA и/или kEpsB), меньшей, чем, примерно, 109 достигается требуемая точность решения для хорошо обусловленной матрицы, при большей степени неопределенности исходных данных, оценка ошибки не соответствует реальной ошибке. При ошибке порядка 109 реальная ошибка резко возрастает, и отличается от оценки решения.
Задание №7
Повторить эксперимент п.6 для задач с плохо обусловленной матрицей.
Матрица 12 типа, 3 порядка; Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
1 |
0 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
103 |
0 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
106 |
0 |
9.986*105 |
3.080*10-8 |
8.32*10-8 |
6.13*10-9 |
1.26*106 |
|
109 |
0 |
9.986*105 |
3.293*10-8 |
3.57*10-7 |
1.19*10-8 |
1.26*106 |
|
1012 |
0 |
9.986*105 |
3.617*10-8 |
6.16*10-8 |
1.30*10-7 |
1.26*106 |
|
1015 |
0 |
9.986*105 |
3.381*10-5 |
3.04*10-7 |
7.21*10-5 |
1.26*106 |
|
1018 |
0 |
1.128*106 |
1.087*10-1 |
5.12*10-7 |
1.34*10-1 |
1.26*106 |
|
0 |
1 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
103 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
106 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
109 |
9.986*105 |
1.986*10-8 |
1.08*10-4 |
4.85*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
1012 |
9.986*105 |
9.873*10-8 |
1.08*10-1 |
2.32*10-7 |
1.26*106 |
|
0 |
1015 |
9.986*105 |
1.084*10-4 |
1.08*102 |
2.17*10-4 |
1.26*106 |
|
0 |
1018 |
9.986*105 |
1.084*10-1 |
1.08*105 |
1.96*10-1 |
1.26*106 |
|
1 |
1 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
103 |
103 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
106 |
106 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
109 |
109 |
9.986*105 |
2.591*10-8 |
1.08*10-4 |
5.50*10-9 |
1.26*106 |
|
1012 |
1012 |
9.986*105 |
1.356*10-7 |
1.08*10-1 |
3.86*10-7 |
1.26*106 |
|
1015 |
1015 |
9.986*105 |
1.445*10-4 |
1.08*102 |
3.15*10-4 |
1.26*106 |
|
1018 |
1018 |
1.070*106 |
1.129*10-1 |
1.08*105 |
3.06*10-1 |
1.26*106 |
Матрица 12 типа, 4 порядка; Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
1 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
103 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
106 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.44*10-4 |
1.03*10-5 |
6.50*107 |
|
109 |
0 |
1.488*109 |
3.265*10-5 |
1.93*10-4 |
4.04*10-6 |
6.50*107 |
|
1012 |
0 |
1.488*109 |
4.293*10-5 |
1.03*10-4 |
6.70*10-6 |
6.50*107 |
|
1015 |
0 |
1.488*109 |
4.579*10-5 |
2.09*10-4 |
1.31*10-4 |
6.50*107 |
|
1018 |
0 |
1.605*109 |
6.833*10-2 |
2.43*10-4 |
1.15*10-1 |
6.50*107 |
|
0 |
1 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
103 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
106 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
109 |
1.488*109 |
1.971*10-5 |
1.60*10-1 |
6.45*10-6 |
6.50*107 |
|
0 |
1012 |
1.488*109 |
1.717*10-5 |
1.61*102 |
9.11*10-6 |
6.50*107 |
|
0 |
1015 |
1.488*109 |
1.017*10-5 |
1.61*102 |
2.20*10-4 |
6.50*107 |
|
0 |
1018 |
1.488*109 |
1.084*10-1 |
1.61*108 |
1.96*10-1 |
6.50*107 |
|
1 |
1 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
103 |
103 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
106 |
106 |
1.488*109 |
1.614*10-5 |
5.74*10-4 |
9.85*10-6 |
6.50*107 |
|
109 |
109 |
1.488*109 |
4.314*10-5 |
1.61*10-1 |
4.36*10-6 |
6.50*107 |
|
1012 |
1012 |
1.488*109 |
2.076*10-5 |
1.61*102 |
3.89*10-6 |
6.50*107 |
|
1015 |
1015 |
1.488*109 |
1.331*10-4 |
1.61*105 |
3.04*10-4 |
6.50*107 |
|
1018 |
1018 |
1.527*109 |
2.346*10-1 |
1.66*108 |
3.52*10-1 |
6.50*107 |
Вывод: Плохо обусловленная матрица менее подвержена возмущению, чем хорошо обусловленная. При внесении внесении возмущения kEpsB независимо от kEpsA заданная точность достигается при степени неопределенности исх. данных, меньшей, чем 109, при внесении только возмущений типа kEpsA заданная точность достигается при степени неопределённости исходных данных, меньшей, чем 1015. При ошибке порядка 109 реальная ошибка резко возрастает, и отличается от оценки решения.