Отчет по лабораторной работе №2 «Интерполяция»
Студент: Майков А. А.
Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций, гр. 2097/2
СПбГПУ
Санкт-Петербург
2013 Год
II. Исследование интерполирования функций.
2.1 Провести сравнение качества построения интерполяционного полинома различными методами (критерий - уклонение в узлах интерполяционной сетки). При построении полином методом неопределенных коэффициентов зафиксировать изменения значений числа обусловленности интерполяционной матрицы от порядка полинома.
Сетка: Равномерная. Функция: Y=Sin(x)/x. Интервал X: [-1;1]. Порядок полинома: N=5. Возмущение: 0%.
|
Лагранжа |
Ньютона |
Н.К. | |||
№ |
X |
Eps |
Eps |
Eps | ||
1 |
-1.0 |
0 |
0 |
0 | ||
2 |
-0.6 |
0 |
0 |
0 | ||
3 |
-0.2 |
1.11*10-16 |
-2.2*10-16 |
0 | ||
4 |
0.2 |
0 |
-1.1*10-15 |
0 | ||
5 |
0.6 |
0 |
-2.2*10-15 |
0 | ||
6 |
1.0 |
0 |
-5.8*10-15 |
0 |
Метод: Неопределенных коэффициентов. Сетка: Равномерная. Функция: Y=sin(x)/x. Интервал X: [-1;1]. Возмущение: 0%.
|
N=2 |
N=4 |
N=5 |
N=6 |
N=8 |
N=10 | |||||||||||
№ |
X |
Eps |
X |
Eps |
X |
Eps |
X |
Eps |
X |
Eps |
X |
Eps | |||||
1 |
-1.0 |
0 |
-1.0 |
0 |
-1.0 |
0 |
-1.0 |
0 |
-1 |
0 |
--1 |
0 | |||||
2 |
0 |
0 |
-0.5 |
0 |
-0.6 |
0 |
-0.67 |
0 |
-0.75 |
0 |
-0.8 |
0 | |||||
3 |
1.0 |
0 |
0 |
0 |
-0.2 |
0 |
-033 |
0 |
-0.5 |
0 |
-0.6 |
0 | |||||
4 |
|
|
0.5 |
0 |
0.2 |
0 |
0 |
0 |
-0.25 |
0 |
-0.4 |
0 | |||||
5 |
|
|
1.0 |
0 |
0.6 |
0 |
0.33 |
0 |
0 |
0 |
-0.2 |
0 | |||||
6 |
|
|
|
|
1.0 |
0 |
0.67 |
0 |
0.25 |
0 |
0 |
0 | |||||
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0.5 |
0 |
0.2 |
0 | |||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.75 |
0 |
0.4 |
0 | |||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0.6 |
0 | |||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
0 | |||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
0 | |||||
Ч.О. |
2.0 |
38.93 |
77.83 |
336.94 |
3184.66 |
29744.84 |
Вывод: Качество построения интерполяционного полинома практический не зависит от методов рассмотренных в задании (во всех случаях уклонение в узлах практически равно 0). При использовании метода неопределенных коэффициентов значение числа обусловленности матрицы растет с увеличением порядка полинома (матрица обусловлена хуже).
2.2 Провести исследование погрешности интерполирования для 2-3 модельных функций, отличающихся свойствами гладкости и монотонности на интервале интерполирования; выявить зависимость погрешности от порядка интерполяционного полинома, от величины интервала, от типа сетки.
Y=Sin(X)/X на интервалах: [-0.1;0.1], [-0.2;0.2], [-0.5;0.5] – Гладкая и не монотонная функция
Y=|X| на интервалах: [-0.1;0.1], [-0.2;0.2], [-0.5;0.5] – Не гладкая и не монотонная функция
Y=Sin(X)*Cos(X) на интервалах: [-0.1;0.1],[-0.2;0.2],[-0.5;0.5] – Гладкая и монотонная функция
Равномерная cетка. Метод Ньютона. | ||||||||
Функция |
Y=Sin(X)/X |
Y=|X| |
Y=Sin(X)*Cos(X) | |||||
Интервал |
[-0.1;0.1] |
[-0.1;0.1] |
[-0.1;0.1] | |||||
Порядок |
МУ |
СКУ |
МУ |
СКУ |
МУ |
СКУ | ||
2 |
2.082*10-7 |
1.328*10-7 |
0.025 |
0.0183 |
2.553*10-4 |
1.835*10-4 | ||
4 |
1.879*10-11 |
8.939*10-12 |
0.0147 |
0.0093 |
1.510*10-7 |
7.994*10-8 | ||
6 |
6.217*10-15 |
1.453*10-15 |
0.0182 |
0.0083 |
5.540*10-11 |
2.263*10-11 | ||
Интервал |
[-0.2;0.2] |
[-0.2;0.2] |
[-0.2;02] | |||||
6 |
2.771*10-13 |
1.067*10-13 |
0.0364 |
0.0166 |
7.064*10-9 |
2.885*10-9 | ||
Интервал |
[-0.5;0.5] |
[-0.5;0.5] |
[-0.5;0.5] | |||||
6 |
4.209*10-10 |
1.625*10-10 |
0.0910 |
0.0415 |
4.195*10-6 |
1.714*10-6 | ||
Чебышевская cетка. Метод Ньютона. | ||||||||
Интервал |
[-0.5;0.5] |
[-0.5;0.5] |
[-0.5;0.5] | |||||
6 |
1.671*10-10 |
8.006*10-11 |
0.0432 |
0.0868 |
1.511*10-6 |
1.009*10-6 |
Вывод: Погрешность интерполирования гладкой и не монотонной функции Y=Sin(X)/X меньше, чем функций Y=|X| и Y=Sin(X)*Cos(X). Погрешность ф-ии y=|x| с увеличением порядка растет медленее, чем у остальных ф-ий, у ф-ии y=sin(x)/x погр. при увеличении порядка возрастает на несколько порядков(на ч порядка при увел. порядка полинома на 2), ф-ия y=sin(x)*cos(x) ведет себя аналогично с предыдущей, но возрастание медленнее(на 3 порядка, в отличие от 4). Погрешность интерполирования: снижается при увеличении порядка интерполяционного полинома, увеличивается при увеличении интервала интерполирования. Погрешность интерполирования меньше при использовании Чебышевской сетки, чем при использовании равномерной сетки.
2.3 Исследовать устойчивость решения задачи интерполирования к погрешности исходных данных (значений функции в узлах сетки); зафиксировать значения уклонений в узлах, значения погрешности интерполирования (в равномерной метрике) на чебышевской и равномерной сетках; сравнить эти данные с результатами аналогичных экспериментов при отсутствии возмущения исходных данных.
Метод Неопределённых коэффициентов. Функция Y=Sin(X)/X. Интервал: [-1;1]. N=6. Чебышевская сетка.
Возм. |
0% |
1%. |
5%. |
10%. | ||||||
X |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ | ||
-0.97 |
0 |
2*10-8
Мну 4.2*10-8 |
-0.00796 |
0.0089
Мну 0.01 |
0.011569 |
0.03002
Мну 0.05 |
-0.066697 |
0.0585
Мну 0.09 | ||
-0.78 |
0 |
0.001677 |
-0.04142 |
0.04392 | ||||||
-0.43 |
0 |
-0.00807 |
0.013752 |
-0.094674 | ||||||
6*10-17 |
0 |
0.004912 |
-0.03402 |
-0.05924 | ||||||
0.43 |
0 |
-0.00536 |
-0.04076 |
0.003664 | ||||||
0.78 |
0 |
0.001829 |
-0.04230 |
-0.066717 | ||||||
0.97 |
-1*10-16 |
0.0 |
1.1*10-16 |
0.0 | ||||||
Возм. |
15% |
40%. |
100%. | |||||||
X |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ | ||||
-0.97 |
-0.1221 |
0.09737
Мну 0.1 |
0.61234 |
0.1924
Мну 0.2 |
0.021286 |
0.652966
Мну 0.89 | ||||
-0.78 |
-0.1289 |
-0.18538 |
0.032601 | |||||||
-0.43 |
0.0342 |
0.100045 |
0.290772 | |||||||
6*10-17 |
0.0065 |
0.104478 |
0.013432 | |||||||
0.43 |
-0.1444 |
0.150659 |
0.412613 | |||||||
0.78 |
-0.1197 |
0.1132 |
0.023097 | |||||||
0.97 |
-2*10-16 |
-4*10-16 |
1.7*10-15 |
Равномерная сетка.
Возм. |
0% |
1%. |
5%. |
10%. | |||||||
X |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ | |||
-1.0 |
0 |
4.1*10-8
Мну 1*10-7 |
-0.00789 |
0.0089
Мну 0.01 |
0.01128 |
0.020867
Мну 0.07 |
-0.07295 |
0.07169
Мну 0.17 | |||
-0.67 |
0 |
0.001726 |
0.003756 |
0.00968 | |||||||
-0.33 |
0 |
-0.00817 |
0.011105 |
-0.08907 | |||||||
0 |
0 |
0.004912 |
0.011338 |
0.02094 | |||||||
0.33 |
0 |
-0.00543 |
-0.03497 |
-0.06355 | |||||||
0.67 |
0 |
0.001883 |
-0.02477 |
-0.04928 | |||||||
1.0 |
0 |
0.0 |
-1*10-16 |
-2*10-16 | |||||||
Возм. |
15% |
40%. |
100%. | ||||||||
X |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ |
Eps |
СКУ | |||||
-1.0 |
-0.0733 |
0.09654
Мну 0.28 |
0.146913 |
0.1881
Мну 0.39 |
0.021286 |
0.6530
Мну 1.07 | |||||
-0.67 |
0.0570 |
-0.27300 |
0.032601 | ||||||||
-0.33 |
-0.1045 |
0.071573 |
0.290772 | ||||||||
0 |
-0.1253 |
0.024845 |
0.013432 | ||||||||
0.33 |
0.0404 |
-0.26752 |
0.412613 | ||||||||
0.67 |
0.0387 |
0.055973 |
0.023097 | ||||||||
1.0 |
-2*10-16 |
7.8*10-16 |
-1.7*10-15 |
Вывод: В случае Чебышевской и равномерной сеток меняются значения уклонений в узлах. При внесении малого возмущения (1%) СКУ увеличивается сильно: в 2*105 раза, при дальнейшем увеличении возмущения СКУ растет медленнее. Мну также растет, причем на Чебышевской сетке пропорционально СКУ, а на равномерной быстрее, чем СКУ.