Главное значение несобственного интеграла 2 рода

24. Сходимость несобственного интеграла второго рода от неотрицательной функции, признаки сравнения.

Теорема 4.5Пусть фиксированы числа и функцияинтегрируема на любом отрезке, где, и имеет особенность в точке. Тогда если несобственный интегралсходится, то при любомсходится интеграл. Обратно, если при некоторомсходится интеграл, то сходится и интеграл.

        Доказательство.     Докажем, что из сходимостиследует сходимостьпри. Из аддитивности интеграла следует, что при любомимеет место равенство

(4.4*)

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл -- постоянное слагаемое. Значит, предел, задающий интеграл, существует и равен.

Докажем второе утверждение теоремы, используя формулу (4.4*). По условию теоремы интеграл по отрезку, не содержащему особенностей функции, существует, так что при любомиз формулы (4.4*) получаем:

Перейдём к пределу при и получим, что

Сравнение (4.6)

  Пусть даны две функции и, заданные наи имеющие особенность в точке, причём при всехвыполняется неравенство

Тогда из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции, причём

(4.5)

а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:

Замечание.Как и в случае несобственных интегралов первого рода, требовать выполнения неравенствв условиитеоремы 4.6достаточно не для всех, а начиная лишь с некоторого, и заключение теоремы останется верным (за исключением выполнения неравенства (4.5)).

Теорему 4.6можно использовать для исследования сходимости интегралов, не вычисляя их значений. Для доказательства сходимости интеграла от функциидостаточно найти более простую функцию, для которой интеграллегко вычисляется и даёт конечное значение. Согласнотеореме 4.6, исходный интеграл тогда тоже сходится.

Если же нам нужно доказать расходимость интеграла , то достаточно найти такую функцию, чтои расходимость интегралалегко проверяется.

Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией или(см. выше их определение и исследование сходимости задающих их интегралов).

        Пример 4.12Исследуем сходимость несобственного интеграла

Подынтегральная функция на промежутке интегрирования имеет единственную особенность при , из-за которой рассматриваемый интеграл является несобственным. При значениях, близких к 0 (которые, вследствиезамечания 4.7, только и важны для сходимости интеграла),, так что подынтегральная функцияведёт себя притак же, как, причём очевидно, что обе функции на промежуткеположительны.

Интеграл от функции расходится, поскольку. Это показывает нам, что для исходного интеграланужно доказывать расходимость. Однако для функциине выполнено неравенство, поскольку знаменатель дроби, то есть, больше знаменателя дроби, равного, если. Поэтому вместо функциирассмотрим другую функцию,; для неё интеграл, очевидно, также получается расходящимся:

Проверим выполнение условий теоремы 4.6: поскольку привыполнено неравенство, тои. Поскольку интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и исходный интеграл. от большей функции.

        Теорема 4.7Пусть функция имеет особенность в точке. Если интеграл

сходится, то сходится также интеграл

причём имеет место неравенство

    

        Определение 4.8Пусть функцияобладает теми же свойствами, что в предыдущей теореме.

Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интегралназывается абсолютно сходящимся.

Если несобственный интеграл расходится, а несобственный интегралсходится, а несобственный интегралназывается условно сходящимся.

Предыдущая теорема означает, что любой абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся.

        Теорема 4.8Пусть для функции , имеющей особенность в точкеи интегрируемой на любом отрезке, где, существует мажорантана, причём несобственный интегралсходится. Тогда несобственный интегралтоже сходится, и.

        Пример 4.13Рассмотрим несобственный интеграл

где -- произвольное число. Функция, очевидно, служит мажорантой для функциина, так как. Поскольку интеграл от мажоранты

сходится, так как показатель (вычислите значение этого интеграла), то исходный интеграл

также является сходящимся.