Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования

   Может оказаться, что несобственного интеграла в смысле (9.3) нет, но существует интеграл в смысле а = b,

,

и это значение интеграла называется его главным значением:

.

   Если функция f(x) нечётная, то интеграл по симметричному промежутку (-а, +а) равен нулю, и поэтому для нечётной функции

.

   Если функция f(x) чётная, то интеграл по симметричному промежутку (-а, +а) равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка интегрирования, и поэтому для чётной функции

.

Например,

.

24. Сходимость несобственного интеграла первого рода от неотрицательной функции, признаки сравнения.

Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода

   Теорема 1. Если хотя бы прих≥ А (А ≥а) имеет место неравенствоf(x) ≤g(x), то из сходимости интеграласледует сходимость интегралаи из расходимости интеграласледует расходимость интеграла.Теорема 2. Если существует предел

,

то в вопросах сходимости интегралы иведут себя одинаково.

Признак Коши.

    Пусть для достаточно больших хфункцияf (x) имеет вид

.

Тогда: 1) если λ > 1 и φ (х) ≤ с < +∞, то интегралсходится, 2) если же λ ≤ 1 и φ(х) ≥ с > 0, то интегралрасходится.

Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла первого рода

   Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы любого как угодно малого числа ε > 0 существует такое число А₀>a, чтобы при любых А > A₀и А' > А₀выполнялось неравенство

.

Абсолютная сходимость интеграла в промежутке [а, +∞)

   Теорема 3. Если сходится интеграл, то интегралподавно сходится.    Доказательство основывается на применении необходимых и достаточных условиях сходимости и неравенстве

.

Если сходится интеграл , то интегралназывается абсолютно сходящимся.Теорема 4.Если функцияf(x) абсолютно интегрируема в промежутке [а, +∞), а функцияg(x) ограничена, то произведение ихf(x)·g(x) будет функцией абсолютно интегрируемой в промежутке [а, +∞).    Доказательство основывается на использовании неравенства

.

Например, интеграл сходится абсолютно, так как функцияg(x) = cos(a·x) ограничена, а функцияабсолютно интегрируема.

Признак Абеля

   Пусть функции f(x) иg(x) определены в промежутке [а, +∞), причём

• функция f(x) интегрируема в этом промежутке, так что интегралсходится (хотя бы и неабсолютно),

• функция g(x) монотонна и ограничена:

,

тогда интеграл сходится.Доказательство. Воспользуемся второй теоремой о среднем значении, при любых A' > A >a, будем иметь

,

где А ≤ x≤ А'. Так как интегралсходится, то для произвольного как угодно малого ε > 0 найдётся такое число А₀>a, чтобы при А > A₀и А' > А₀выполнялись неравенства

.

Далее из соотношения

вытекает сходимость рассматриваемого интеграла.

Признак Дирихле

   Пусть:

• 1)  функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [а,А] (А>а), и интегралявляется ограниченным

;

• 2)  функция g(x) монотонно стремится к 0 прих→ ∞

,

тогда интеграл сходится.

  Так интегралы

при λ > 0 и а> 0 сходятся по признаку Дирихле, так как все условия этого признака выполнены:

и монотонно стремится к нулю прих→ ∞.

24. Сходимость несобственного интеграла в общем случае. Критерий Коши.

24. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Признак Дирихле.

Абсолютная сходимость

Интеграл называетсяабсолютно сходящимся, еслисходится. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл называетсяусловно сходящимся, еслисходится, арасходится.

24. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. Признак Абеля.

25. Применение основной формулы интегрального исчисления к несобственным интегралам. Интегрирование по частям. Замена переменной интегрирования.

 Если существует функция F(x), непрерывная на отрезке [a,b] и такая, чтоF'(x) =f(x) приa≤x<b(обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла (8) справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

(9)

     Если функция f(x) непрерывна приa<x≤bи имеет точку разрываx=a, тогда

(10)

     Если подынтегральная функция перестает быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например, при x=c, то эту точку "вырезают", а интегралопределяют в предположении, чтоF(x) - первообразная дляf(x), так:

(11)

Если пределы в (9) существуют и конечны, то интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

90