Пример выполнения КПр для студентов
.pdfНапряжение U0 представляет собой напряжение прямой (пада-
ющей) волны в 1-й линии uϕ1 |
= 387087 В. Ток i |
= |
uϕ1 |
= |
387087 |
= |
|
|
|||||
|
ϕ1 |
|
Z1 |
|
300 |
|
|
|
|
|
|
||
1290,29 А. |
|
|
|
|
|
|
Расчет переходного процесса в системе линий
Для каждой линии введем свою локальную систему координат: x – от начала линии к её концу; x' – от конца линии к началу. Прямые (падающие) (ϕ1, ϕ2, ϕ3) волны напряжения и тока в каждой из линий распространяются в направлении оси x соответствующей линии, обратные, или отраженные, (ψ1, ψ2, ψ3) – в направлении оси x'. Будем обозначать напряжения и токи в начале линии дополнительным индексом «0», а в конце линии – индексом «l».
Схема замещения для расчета процессов на подстанции П1
u1 = 2uϕl = 2uϕ1 = 2U0 = 774194 В; z1 = Z1 = 300 Ом;
Lп1 = 0,05 Гн;
rп1 = 400 Ом; z2 = Z2 = 300 Ом; z3 = Z3 = 270 Ом.
Отсчет времени t' ведется от момента прихода волны ϕ1 к входным зажимам подстанции П1 1'-1'. В этот момент времени возникает отраженная волна в линии 1 и преломленные (падающие) волны в линиях 2 и 3.
Расчет переходного процесса без составления дифференциального уравнения
−t '
iL (t')= iL (+0) −iLуст(+0) e τ1 +iLуст(t ') ,
где iL(+0) = iL(–0) = 0.
Установившееся значение тока iLуст:
iLуст = |
|
|
2U0 |
|
|
|
|
= 1912 А. |
|||
z |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
|
|||
|
r |
z |
|
z |
|
|
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
п1 |
|
|
|
3 |
|
|
||
Постоянная |
|
времени τ1 равна τ1 = Lп1/Rэкв, где Rэкв – |
сопротивление по отношению к зажимам ab катушки индуктивности Lп1 при исключенном источнике напряжения U0:
Rэквab = z1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= 404,854 Ом. |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
r |
z |
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
п1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = |
L |
= 1,235·10–4 c. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
Rэквab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
t ' |
|
|
|
|
|
− |
t ' |
|
|
|
i (t ') =[0 −1912] |
e |
1,23510−4 +1912 |
=1912 |
|
А. |
|||||||||||||||
|
|
1 |
−e 1,23510−4 |
|
||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение напряжения и токов на входе и выходе подстанции П1
Ток на входе подстанции П1 равен
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
(t ') =i (t ') =1912 |
|
|
1,23510−4 |
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
−e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение на выходе подстанции П1 u20=u30: |
|
−4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
t |
' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
|
u |
|
|
(t ') =u |
(t ') =i (t ') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 200511 |
1 |
−e |
1,23510 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
+ 1 + |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
20 |
30 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение в конце линии 1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t ') = 200511+573683 e− |
t ' |
|||||||||||
u |
(t ') = 2U |
0 |
− z i |
1,23510−4 |
(В). |
||||||||||||||||
1l |
|
|
|
|
|
|
1 1l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Входные токи линий 3 и 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
u20 (t ') |
|
|
|
− |
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1,23510−4 |
А; |
|
|
|
|
||||||||||
i |
(t ') = |
= 668,37 |
1 |
−e |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u30 (t ') |
|
|
|
|
− |
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1,23510−4 |
А, |
|
|
|
|
||||||||||
i |
(t ') = |
|
= 742,63 |
1 |
−e |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
30 |
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ток на выходе подстанции П1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
i |
|
(t ') =i (t ') |
|
|
|
|
1,23510−4 |
А. |
|||||||||||||
|
+i (t ') =1411 1 |
−e |
|
||||||||||||||||||
230 |
20 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимости от времени t' напряжений и токов на входных и выходных зажимах подстанции П1 (зажимы 1'-1' и 2(3) – 2(3))
Примечание 1. Учитывая нулевое начальное условие для пере-
менной состояния iL(0) = 0, можно получить решение непосредственно для любого тока либо напряжения, не являющегося переменной состояния. В этом случае ток в катушке в соответствии с законом коммутации iL=(+0)=iL(–0)=0, и при t' = +0 катушку можно представить как разрыв ветви. В схеме с конденсатором напряжение на конденсаторе uC при t' = +0 равно нулю, и конденсатор можно заменить короткозамкнутой ветвью. Решение непосредственно для напряжения ищется u20(t') в виде
u20 (t ') =u20 уст+ A e− |
t ' |
=u20 уст+(u20 (+0) −u20уст ) e− |
t ' |
|
τ1 |
τ1 |
, |
где τ1 = 1,235·10–4 с. Установившееся значение напряжения u20уст:
u20 уст = |
|
2U0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
= 200511 В. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
z + |
+ |
+ |
|
rп1 |
|
z2 |
|
z3 |
|
||||||
r |
z |
|
z |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
п1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из схемы для определения значения u20 при t'=+0 с учетом iL(+0) =0:
получим u20(t'=+0)=0. Отсюда A= –200511 В и
|
|
|
|
|
− |
t ' |
|
− |
t ' |
|
|
u |
|
(t ') =u |
|
+ A e |
|
|
В. |
||||
20 |
20 уст |
|
τ1 |
= 200511 1 |
−e 1,23510−4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что совпадает с найденным выше значением.
Определение волн напряжения и тока, отраженных от подстанции П1 (ψ1l на зажимах 1'-1') и преломленных через подстанцию в линию 2 (ϕ20 на зажимах 2'-2') и
в линию 3 (ϕ30 на зажимах 3'-3')
Отраженные волны и тока в первой линии:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −186586,32 +573683,32 e− |
t ' |
|||||||||||||||
u |
ψ1l |
=u |
(t ') −u |
ϕ1l |
1,23510−4 |
(В); |
|||||||||||||||||||||
|
1l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
uψ1l (t ') |
= 621,96 −1912,28 e− |
|
t ' |
||||||||||||||||||
i |
|
(t ') = − |
1,23510−4 |
(А). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ψ1l |
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преломленные в линии 2 и 3 волны: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
||
u |
|
|
(t ') =u |
|
|
|
|
|
|
−e |
1,23510−4 |
В; |
|||||||||||||||
ϕ20 |
20 |
(t ') = 200511 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
t |
' |
−4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ϕ20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А; |
|
|
|
|
|||||
i |
|
(t ') = |
|
|
= |
668,37 |
1 |
−e |
1,23510 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ϕ20 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
|||
u |
|
|
(t ') =u |
|
|
|
|
|
|
|
1,23510−4 |
В; |
|||||||||||||||
ϕ30 |
|
(t ') = 200511 1 |
−e |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
t |
' |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ϕ30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|||||
i |
|
(t ') = |
|
|
= |
742,63 |
1 |
−e |
1,23510 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ϕ30 |
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет переходных процессов в нагрузке П2 линии 2
Схема замещения для расчета переходного процесса:
где z2 = Z2 = 300 Ом; rп21 = 200 Ом;
rп22 = 200 Ом;
Cп2 = 1 мкФ = 10–6 Ф.
Отсчет времени t" ведется от момента прихода волны ϕ2 к входным зажимам нагрузки П2 2'-2'. В этот момент времени возникает отраженная волна в линии 2. На приведенной схеме
u2 (t") = 2uϕ2l (t") = 2uϕ20 (t '→t")= 401022(1−ep1t " ) А,
где p |
= − |
1 |
= − |
1 |
−8097 1/с. |
|
τ |
1,235 10−4 |
|||||
1 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
А. Расчет операторным методом
Операторное изображение напряжения u2 (t") :
u2 (t")→U2 ( p) = |
401022 |
− |
401022 |
= |
|
−401022 p |
= |
3,247 109 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
p |
|
|
p − p1 |
|
|
p( p − p1) |
p( p +8097) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Входное операторное сопротивление цепи: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rп21 + |
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
(r |
+ pC |
|
+1) r |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
п2 |
|
|
|
|||||||||||||
Z |
|
( p) = z |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
п2 |
|
|
= z |
|
|
+ |
п21 |
|
|
|
п22 |
|
= |
|
|||||
вх |
2 |
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
(rп21 + rп22 ) pCп2 +1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ r |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
п21 |
|
|
|
|
|
|
п22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pCп2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
300 + (2 10−4 p +1) 200 = 0,12 p +300 +0,04 p + 200 = |
0,16 p +500 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 10−4 p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 10−4 p +1 |
|
|
|
|
4 10−4 p +1 |
Операторное изображение входного тока в нагрузке:
I2l ( p) = |
U2 ( p) |
= |
3,247 109 |
|
4 10−4 p +1 |
= |
|
|
|
Zвх2( p) |
p( p +8097) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,16 p +500 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= 3,247 109 (0,0025 p +6,25) |
= |
G( p) |
. |
|
|
|
|
|
|
p( p +8097)( p +3125) |
|
H ( p) |
|
Оригинал тока найдем с помощью теоремы разложения:
|
G( p) |
N |
G( p ) |
p t |
N |
p t |
|
|
F( p) = |
|
→ f (t) = ∑ |
k |
e k |
= ∑Ak e k |
, |
||
H ( p) |
H '( pk ) |
|||||||
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
где pk – корни уравнения H(p)=0; N – число корней этого уравнения;
H '( p ) = dH ( p) |
|
. |
|
|
|||
k |
dp |
|
|
|
|
p=pk |
|
|
|
|
Корни полинома знаменателя равны p0 = 0, p1 = –8097 1/с и p2 = –3125 1/с.
Производная знаменателя:
H '( p) = ( p +8097) ( p +3125) +
Таким образом,
i |
(t") = |
G( p0 ) |
ep0t " + |
G( p1) |
ep1t " |
|
|||||
2l |
|
H '( p0 ) |
|
H '( p1) |
|
|
|
|
p ( p +3125) + p( p +8097) .
+ G( p2 ) ep2t " .
H '( p2 )
Коэффициенты, входящие в выражение i2l(t"):
G(p0) = 2,029·1010; H'(p0) = –2,53·107; A = |
G( p0 ) |
= |
802,044 А; |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
H '( p0 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
G(p1) = –4,543·1010; H' (p1) = 4,026·107; A = |
G( p1) |
|
|
= −1128,58 А; |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
H '( p1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
G(p2) = –5,073·109; H' p2) = –1,554·107; A = |
G( p2 ) |
|
=326,536 А. |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
H '( p2 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
В результате получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
(t") =802,044 −1128,58 e−8097t " |
+326,536 e−3125t " (А). |
||||||||
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение на входе нагрузки П2 равно: u2l (t") =u2 (t") − z2 i2l (t") =
= 401022 −401022 e−8097t " −300 802,44 +300 1128,58 e−8097t " −
−300 802,44 +300 802,44 e−8097t " +300 1128,58 e−8097t " = =160408,80 −62447,97 e−8097t " −97960,83 e−3125t " B.
Б. Расчет входного тока нагрузки П2 в переходном процессе с помощью интеграла Дюамеля
Для расчета входного тока нагрузки линии 2 применим интеграл Дюамеля в форме
i2l (t") =u2 (0) y(t") + t∫" u2′(x) y(t"− x)dx ,
+0
где y(t") |
– переходная проводимость цепи; u2′(x) = |
d u2 (t") |
|
||
|
. |
||||
d t" |
|||||
|
|
|
t "=x |
||
|
|
|
|
Получим выражения для отдельных составляющих, входящих в интеграл Дюамеля. Учтем, что u2(0) = 0.
Для определения переходной характеристики y(t") рассмотрим переходный процесс включения рассматриваемой цепи при нулевых начальных условиях под действие постоянного напряжения U0=const:
Ток i2l(t)
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
−i2lуст(+0) |
|
у |
τ2 |
+i2lуст(t) . |
||
|
|||||||
i2l (t) = i2l (+0) |
|
|
|
Эквивалентная схема для определения i2l(+0) имеет вид (см.
Примечание 1):