Пример выполнения КПр для студентов

Ток i2l(+0) равен

i (+0) =		U0			=		U0		=	U0	.
2l	z2 +	rп21	rп22			300 + 200 200				400
		rп21 + rп22					200 + 200

Определим i2lуст = i2l(∞). Расчётная схема при t→∞:

	i	=	U0	=	U0	=	U0	.
	2lуст		z2 + rп22	300 + 200		500

Постоянная времени цепи τ2:

τ2 = Rэквab Сп2,

где Rэквab – сопротивление цепи по отношению к зажимам ab конденсатора при исключенном источнике ЭДС:

R

= r

+

z2 rп22

=320 Ом;

эквab

п21

z2 + rп22

τ2 = 320·10–6 = 3,2·10–4 с.

Итак,

i

(t) =

U

0

−

U0

e−3125t +

U0

=

U0

e−3125t +

U0

.

2l

500

500

2000

500

400

По определению

y(t) =

i2l (t)

=

1

+

1

e−3125t

(См).

500

2000

U0

Заменив в последнем выражении время t на t":

y(t′′) = 5001 + 20001 e−3125t " (См),

и далее t" на t"–x, получим

y(t′′− x) = 5001 + 20001 e−3125(t "−x) (См),

где t" – момент времени, в который требуется определить значение искомого тока; x – время включения очередного скачка напряжения, на которые разбивается входной сигнал в интеграле Дюамеля.

Найдем производную входного напряжения u2′(x) = d u2 (t") .
d t"	t "=x

Так как u2 (t") = 401022(1−e− p1t " ) В, где p1 = –8097 1/с, то

u2′(x) = 401022 8097(1−e−8097 x ) В/с.

Подставим полученные составляющие в интеграл Дюамеля:

t "		1		1		−3125(t "−x)		−8097 x
i2l (t") = ∫			+		e		401022 8097 e		dx	=
		500		2000
+0

t "

1

1

−3125(t

"−x)

9

−8097 x

= ∫

+

e

3,247

10

e

dx

=

500

2000

+0

t "

−3125(t "−x)

= ∫

10

6

+1,624

10

6

e

e

−8097 x

dx .

6,494

+0

Обозначим: A = 6,494·106 А/с; B = 1,624·106 А/с; p1 = –8097 1/с; p2 = –3125 1/с. Окончательно получим

t "

(t "−x)

t "

t "

i2l = ∫

p2

p1x

dx

=

∫Ae

p1x

dx +∫Be

p2 (t "−x)

e

p1x

dx

=

A + Be

e

+0

0

0

= t∫" Aep1x dx +t∫" Bep2t "e− p2 x ep1x dx

=

A

(ep1x )

t0" +

Bep2t "

e( p1−p2 ) x

t0" =

p1

p1 − p2

0

0

A

p t "

Bep2t "

( p

−p t "

A

B

p t "

Bep2t "

A

=

(e 1

−1)+

(e

1

2

−1)=

+

e

1

−

−

=

p1

p1 − p2

p1

p1

p1

p1 − p2

− p2

= 802,025 +326,629e−3125t " −1128,655e−8097t " (А),

что с точностью до погрешности округления совпадает с найденным выше результатом:

i2l (t") =802,044 −1128,58 e−8097t " +326,536 e−3125t " (А).

Определение напряжения и тока отраженной от нагрузки П2 волны (ψ2l на зажимах 2' – 2')

Напряжение отраженной волны: uψ2l (t") =u2l (t") −uϕ2l (t") =

=	(			−62447,97 e-8097t " −97960,83		e−3125t "	)	(		)	=
	160408,80							−200511 1−e-8097t "
					= −40102,20 +138063,03e−8097t " −97960,83e−3125t "				(В).
	Ток отраженной волны:
	i	(t") = −	uψ2l (t")		=133,67 −460,21e−8097t " +326,54e−3125t " (А).
	ψ2l			z2

Примечание 2. Операторный метод позволяет получить выражения для отраженных волн с использованием операторных коэффициентов отражения волн напряжения и тока qU(p) и qI(p) из соотношений:

Uψ2l ( p) =Uϕ2l ( p) qU ( p) ; Iψ2l ( p) = Iϕ2l ( p) qI ( p),

где

qU ( p) = Zн( p) − Z2( p) ;

Zн( p) + Z2( p)

Z2(p) и Zн(p) – операторные волновое сопротивление линии 2 и сопротивление нагрузки этой линии; qI(p) = –qU(p).

Z2 ( p) = z2 = 300 Ом;

1

rп21

+

rп22

(r

pC

+1)

r

pC

Zн( p) =

п2

=

п21

п2

п22

=

rп21

+

1

+rп22

(rп22 +rп21 ) pCп2 +1

pCп2

1

200 200

+

200(2

10

−4

p +1)

−6

p

=

10

=

,

400 +

1

4 10−4 p

+1

10−6 p

Коэффициент отражения волны напряжения во второй линии равен

				200(2 10−4 p +1)					−300
	q	( p) =	4 10−4				p +1				0,08 p +100 .
										=−
	U				200	(2 104 p +1)					0,16 p +500
									+300
				4		10−4	p +1

Это выражение можно проверить с помощью предельных соотношений:

limq ( p) = q (∞) и lim q ( p) = q (+0) .
p→0 U	U	p→∞ U	U

При проверке коэффициента отражения, также как и других параметров, представляющих отношение двух напряжений либо тока и напряжения и т.п., не следует умножать его изображение на p. Для qU(p) получаем:

lim		−	0,08 p +100		= −0,2		−	0,08 p +100		= −0,5.
						и lim
p→0			0,16 p +500			p→∞		0,16 p +500

Значение коэффициента отражения не зависит от характера приложенного напряжения. В установившемся режиме (t" →∞) при действии источника постоянного напряжения конденсатор можно рас-

сматривать		как разрыв. Тогда Zн(p)=rп22 = 200	Ом, и
q (∞) = 200		−300 = −0,2, что совпадает с полученным из предельного
U	200	+300

соотношения. При t" →0 uC=0, и сопротивление нагрузки равно сопротивлению двух параллельно соединенных резисторов

rп21	= rп22	= 200 Ом; Zн(p)= rн = 100 Ом; q	(+0) =100	−300 = −0,5, что
		U	100	+300

соответствует полученному с помощью предельного соотношения значению.

Операторное изображение напряжения uϕ2l (t") имеет вид:

−

t "

u

(t") =

−e

1,23510−4

→

ϕ2l

200511 1

Uϕ2l ( p) =

200511

−

200511

=

1,624 109

.

p

p( p +8097)

p( p +8097)

Для изображения напряжения отраженной волны получаем:

U

ψ2l

( p) =U

ϕ2l

( p) q ( p) = −

1,624 109

0,08 p +100 =

G( p)

.

U

p( p +8097)

0,16 p +500

H ( p)

Проверка с помощью предельных соотношений

lim p Uψ2l ( p) =uψ2l (∞) и lim p Uψ2l ( p) =uψ2l (+0) .

p→0

p→∞

Применение первого из них даёт

1,624

10

9

0,08 p +100

В.

lim p

−

= 4,01 104

p( p +8097)

p→0

0,16 p +500

При

t" →∞

напряжение

падающей

волны

uϕ2l равно

uϕ2l (∞) = 200511 В, а значение коэффициента отражения – qU(∞) = –0,2.

Следовательно, uψ2l(∞) = 4,01·104 В, т.е. совпадает со значением, полученным с помощью предельного соотношения.

Второе соотношение дает

			1,624	10	9		0,08 p +100
	lim p −							= 0.
			p( p +8097)				0,16 p +500
	p→∞

Напряжение падающей волны при t"=0 равно нулю, поэтому и отраженной волны также нет.

Оригинал искомого напряжения Uψ2l(p) найдем с помощью теоремы разложения:

		G( p)	N	G( p )	p t	N	p t
	F( p) =		→ f (t) = ∑	k	e k	= ∑Ak e k		.
		H ( p)		H '( pk )
			k=1			k=1

Корни полинома знаменателя (H(p)=0) равны p0 = 0, p1 = –8097 1/с и p2 = –3125 1/с.

Производная полинома:

H '( p) =(p +8097) (0,16 p +500)+ p(0,16 p +500)+0,16 p(p +8097).

Значения коэффициентов, входящих в выражение uψ2l(t") равны:

G(p0) = –1,624·1011;	H'(p0) = 4,0485·106;	A0	= –4,011 104	В;
G(p1) = –8,896·1011;	H'(p1) = 6,441·106;	A1	= 1,381 105 В;
G(p2) = 2,436·1011;	H'(p2) = –2,4867·106;	A2	= –9,796 104	В.

Отраженная волна напряжения определяется выражением uψ2l (t") = −4,011 104 +1,381 105 e−8097t " −9,796 104 e−3125t " (В),

что с точностью до погрешности округления совпадет с полученным выше результатом.

Расчет переходных процессов в нагрузке П3 линии 3

Схема замещения для расчета переходного процесса:

Здесь u3 (t′′′) = 2uϕ3l (t′′′) = 2uϕ30 (t′)		t′→t′′′	= 401022	(1−e−8097t′′′ ) В.
Волновое сопротивление		линии 3		принято	равным
z3 = Z3 = 270 Ом. Сопротивление нагрузки: rп3 = 100 Ом.
Отсчет времени t′′′ ведется с момента прихода волны ϕ3					к зажи-
мам 3'-3' нагрузки П3.
Из схемы получим:

u3l (t ''') =	u3 (t ''')	rп3 =108384(1−e−8097t ''' ) В.
	z3 + rп3

i3l (t ''') =	u3 (t ''')	=1083,84(1−e−8097t ''' ) А.
	z3 + rп3

Отраженные от нагрузки П3 волны (ψ3l на зажимах 3'-3'): uψ3l (t ''') =u3l (t ''') −uϕ3l (t ''') =108384(1−e−8097t ''' )−200511(1−e−8097t ''' ) =

= −92126,7(1−e−8097t ''' ) В;

iψ3l (t ''') = −uψ3zl (t ''') =341,21(1−e−8097t ''' ) А.

3

Выражения для отраженных волн uψ3l(t''') и iψ3l(t''') можно получить с использованием коэффициента отражения волны напряжения в линии 3:

q

=

uψ3l

=

r

− z

:

п3

3

U

uϕ3l

rп3

+ z3

uψ3l (t ''') =

rп3

− z3

uϕ3l (t ''')=

100 −270

200511(1−e−8097t ''' ) =

rп3

+ z3

100 + 270

(

)

= −92126,7

1−e−8097t '''

В,

что полностью совпадает с полученным выше результатом.

Сведем основные полученные результаты в таблицу:

Ли-	За-
ния	жи-		Напряжение, кВ							Ток, А
	мы
1	1-1		uϕ1 = 387,087							iϕ1 = 1290,29
	1'-1'	uψ1l	= −	+	573,683		e	−8097t '	i	(t ') =
			186,586						ψ1l
									= 621,96 −1912,28 e−8097t '
2	2-2	uϕ20 (t ') = 200,511 (1−e−8097t ' )							iϕ20 (t ') = 668,37 (1−e−8097t ' )
	2'-2'	uψ2l	= −40,10 +138,063e−8097t " −						iψ2l (t") =133,67 −
		−97,961e−3125t "							−460,21e−8097t " +326,54e−3125t "

3	3-3	uϕ30 (t ') = 200,511 (1−e−8097t ' )	iϕ30 (t ') = 742,63 (1−e−8097t '' )
	3'-3'	uψ3l (t ''') = −92,127 (1−e−8097t ''' )	iψ3l (t ''') =341,21(1−e−8097t ''' )

Нахождение распределения напряжения и тока вдоль линий в момент времени, когда отраженная от нагрузки П2 волна пройдет расстояние s

Распределение падающих и отраженных составляющих волн вдоль линий в заданный момент времени tр, когда отраженные от нагрузки 2-й линии волны прошли расстояние s = 40 км.

Введем обозначения:

x1 – координаты точек линии 1, отсчитываемые от зажимов 1-1 вправо;

x1′ – координаты точек линии 1, отсчитываемые от зажимов 1'-1' влево;

x2 , x2′ и x3,′ x3′ – то же для линий 2 и 3 соответственно.

В расчётный момент времени отраженные в линии 1 волны (ψ1)

пройдут расстояние x1max = l2 + s = 50+40 = 90 км, а в линиях 2 и 3 –
x2 max = s = 40 км и	′
	x3max = s = 40 км. Время прохождения отраженными
′	′

волнами каждого из этих расстояний равно:

			′
T′= (tp′) =	x1max					=3 10−4	с;
				v
T′′= (tp′′) =		s			1,333 10−4			с;
		v
T′′′= (tp′′) =			s		1,333 10−4			с.
			v

Для получения распределения волны вдоль линии без потерь следует в её выражении для места возникновения заменить время t

величиной t − vx для падающих волн и t − xv′ для отраженных и поло-

жить t равным расчетному времени T=tр.