2. Задача о точности оценки математического ожидания при заданной надежности

Пусть имеется выборка выборка объема . Величина– среднее арифметическое. Нужно найти такой промежуток, относительно которого с заданной вероятностьюможно утверждать, что. Задача решается так же, как и в предыдущем случае. При больших значенияхнужно использовать нормальное распределение, а при малых значениях– распределение Стьюдента.

Пример 3. На токарном станке изготовлена большая партия валиков. Измерены отклонения диаметров 16 случайно отобранных из этой партии валиков от середины поля допуска. Среднее значение измеренных отклонений равно 2 мк, статистическая дисперсия ,. Найти промежуток, относительно которого можно утверждать с вероятностью, что среднее значение отклонения диаметров валиков всей партии заключено в этом промежутке.

Решение. . Нужно найти. Применим распределение Стьюдента.,Из таблицы значений=0.9 найдем. Учитывая, что, получим. Отсюда. Следовательно, с надежностью 0.9 можно утверждать, что среднее значение отклонения диаметров валиков всей партии от середины поля допуска заключено между 1 мк и 3 мк.

С помощью нормального распределения получим . Отсюда с помощью таблиц функции Лапласа найдеми следовательно.

Надежность 0.9 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 90% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен и лишь в 10% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.

3. Планирование числа испытаний.

Сколько наблюдений над случайной величиной нужно произвести для того, чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что отклонениене превзойдет заданного числапри заданной дисперсии.

В этом случае заданы и. По таблице из равенстванаходим значение аргументаи затем решаем неравенствоотносительно:.

Пример 4. СКВО измерения глубины моря равно 30 м. Сколько надо сделать промеров, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 20м, если надежность этого заключения должна быть не меньше 0.9?

Решение. .. Из таблицы находим. Отсюдаи

Интервальная оценка дисперсии

Иногда приходится оценивать неизвестную дисперсию случайной величины по статистической дисперсии выборки .

Пусть С.В. распределена нормально. Зададим промежуток и найдем вероятность того, что СКВО попадет в интервал, т.е.. Введем в рассмотрение случайную величину. Известно, чтораспределена по законусстепенями свободы. Плотность распределения величины

равна .

Преобразуем неравенство

(14)

так, чтобы оно приняло вид . Из (14) получим

, отсюда .

Введем обозначение . Тогда неравенство можно переписать в виде, что равносильно неравенству. Следовательно,, где.

Функция )табулирована. По заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы из таблиц можно найти , а затем найти доверительный интервалдля неизвестного СКВО. Можно решить и обратную задачу: по заданному доверительному интервалу найти доверительную вероятность.

Пример 5. Произведено 10 наблюдений над случайной величиной , распределенной нормально. Статистическое СКВО. С какой вероятностью можно утверждать, что заключено между 5 и 7?

Решение. Здесь ,,.

В теории ошибок точность измерений характеризуют с помощью среднего квадратичного отклонения случайных ошибок измерения.