Задача 3.2.5

Исследуйте характер выпуклости графика функции

y = 3 x5

и

найдите

точки

перегиба.

Решение

3

5

′

5

′

5

2

5 3

2

3

3

Поскольку первая производная функции y =

x

= x

=

x

=

x

всюду

3

3

положительна, то функция возрастает при всех значениях x .

−

+

y′′

y

0

перегиб

0

x

Рис. 3.2.11.

				2	′		−1		10
Вычислим вторую производную	y′′ =	5	x 3			= 10 x	3	=				. Вторая производная не
		3								3
						9			9		x

существует при x = 0 и меняет знак в этой точке (рис. 3.2.11). Поскольку функция определена на всей числовой оси, то x = 0 - точка перегиба. График функции показан на рисунке 3.2.11.

3.2.3. Асимптоты графика функции.

Определение 3.2.7

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x), если

lim f (x)= ∞.

x→a

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Из определения вертикальной асимптоты следует, что вертикальные асимптоты следует искать в точках бесконечного разрыва функции.

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Если	lim f (x)= ∞ или		lim		f (x)= ∞ , то прямая			x = a является вертикальной
x→a+0			x→a−0
асимптотой справа или слева.
Задача 3.2.6
Найдите вертикальные асимптоты графика функции y =										1	.
								(x −1) (x − 2) (x −3)
Решение
			lim		1		= ∞ ,
					1) (x − 2) (x −3)
			x→1 (x −
	lim	1			= ∞ , lim		1			= ∞.
		(x −1) (x − 2) (x −3)					(x −	2) (x −3)
	x→2				x→3 (x −1)
					43

Из этого следует, что прямые x =1, x = 2 и x =3 являются вертикальными асимптотами графика функции. Чтобы выяснить поведение функции вблизи вертикальных асимптот, исследуем заданную функцию на знак.

−	+	−		+
1		2	3	y
	Рис. 3.2.12.

Из рисунка 3.2.12 можно определить знаки бесконечных пределов.

lim	f (x)= +∞ и	lim	f (x)= −∞.
x→1+0		x→1−0
lim	f (x)= −∞ и	lim	f (x)= +∞.
x→2+0		x→2−0
lim	f (x)= +∞ и	lim	f (x)= −∞.
x→3+0		x→3−0

Легко выяснить, что lim f (x)= 0	. Эскиз графика функции можно построить, не
x→±∞

проводя исследования функции на экстремум и не выясняя характер ее выпуклости

(рис. 3.2.13).

y

1	2	3	x

Рис. 3.2.13.

Определение 3.2.8

График функции y = f (x) имеет наклонную асимптоту вида y = k x +b при x → ±∞,

если lim (f (x)−k x −b)=0.

x→±∞

Теорема 3.2.3

Прямая y = k x +b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы:

	lim		f (x)		= k
lim (f		(x)x− k x)= b .
	x→±∞
x→±∞
Доказательство
1) Пусть прямая y = k x +b является			наклонной асимптотой графика функции

y = f (x). Тогда по определению наклонной асимптоты справедливо

lim (f (x)−k x −b)= 0 .

x→±∞

Разделив выражение под знаком предела на x , получим

44

f (x)			− k −	b		= 0 , или		f (x)		= k .
lim							lim
x→±∞	x			x			x→±∞	x

	Так как lim (f (x)−k x −b)= 0 , то					lim (f (x)−k x)=b.
	x→±∞					x→±∞	f (x)
	2) Пусть	lim (f (x)−k x)=b , где lim							= k . Тогда функция f (x)− kx −b	является
		x→±∞				x→±∞	x	следует, что lim (f (x)−k x −b)= 0 , а это
	бесконечно	малой при			x → ±∞.	Из этого
									x→±∞
	означает, что прямая				y = k x +b	является		наклонной асимптотой графика		функции
	y = f (x).
	ЗАМЕЧАНИЕ 1
	Если	lim	f (x)	= k = 0 , то уравнение наклонной асимптоты принимает вид y = b . Такая
	x→±∞		x

асимптота называется горизонтальной.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Функция может вести себя по-разному вблизи наклонной асимптоты:

• может иметь одну и ту же наклонную асимптоту при x → ±∞ (рис. 3.2.14 a);

• может иметь разные наклонные асимптоты при x → +∞ и x → −∞ (рис. 3.2.14 b);

• может иметь наклонную асимптоту только при x → +∞ или x → −∞ (рис. 3.2.14 c).

y

x

Рис. 3.2.14 a

y	y
x	x
Рис. 3.2.14 b	Рис. 3.2.14 c

Задача 3.2.7

Найдите асимптоты графика функции f (x)= eexx ++14 .

Решение

Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, следовательно, ее график не имеет вертикальных асимптот.

Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты вида y = kx +b .

k = lim

f (x)

=

lim

ex

+1

.

x

x→±∞

x→±∞ (ex +4) x

∞, x → +∞

, то асимптоты разные при x → +∞ и x →−∞. Поэтому

Поскольку lim ex =

0, x

→ −∞

x→±∞

k

= lim

ex +1

=

lim

ex

= lim

1

= 0 .

1

x→+∞ (ex + 4) x

x→+∞ ex x

x→+∞ x

b

=

lim (f

(x)− k x)=

lim

ex +1

=

lim

ex

=1.

1

x→+∞

1

x→+∞ ex + 4

x→+∞ ex

При x → +∞ график функции имеет горизонтальную асимптоту y =1 .

45