y		y
y = 3		y = x
	x
	x	x
Рис. 3.1.2.		Рис. 3.1.3.

Определение 3.1.5

Если у

lim	y	=	lim
x→+0	x		x→+0
справа.
Если			у
lim	y	=	lim
x→0	x		x→−0

	функции			y = f (x)	существует	конечный
f (x0 +	x)− f (x0 )		,	то он называется производной в точке x0 = 0
	x
	функции			y = f (x)	существует	конечный
f (x0 +	x)− f (x0 )		,	то он называется производной в точке x0 = 0
	x

слева.

Производные справа и слева называются односторонними производными.

ЗАМЕЧАНИЕ
Функция y =		x		дифференцируема справа и слева, так как	существуют и	конечны
односторонние производные. При этом производная справа равна 1, а производная слева
равна −1.
Следует заметить, что функция y = 3 x не является дифференцируемой ни справа, ни
слева, поскольку ее односторонние производные в точке x0 = 0 бесконечны.
3.1.4. Правила дифференцирования
Производная функции, тождественно равной постоянной
Если функция		f (x) тождественно равна постоянной, то			производная	от нее

тождественно равна нулю, то есть, если f (x)≡ c , то f ′(x)≡ 0 .

Доказательство очевидно, так как для такой функции в любой точке x приращение y = f (x + x)− f (x)= c − c ≡ 0 .

Производная суммы и разности функций

Если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x , то функции y = f (x)± g(x) тоже дифференцируемы в точке x и их производные вычисляются по правилу:

(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x).

Доказательство

y′ = (f (x)± g(x))′ = lim	(f (x +	x)± g(x + x))− (f (x)± g(x))	.
x→0		x
6

Приращение суммы (разности) функций можно представить в виде суммы (разности) приращений каждого слагаемого.

y′ = lim	(f (x +	x)− f (x))± (g(x + x)− g(x))		.
x→0			x
Поскольку функции f (x) и g(x)			дифференцируемы в точке x , то можно

использовать теорему о пределе суммы и разности функций.

y	′	= lim	f (x + x)− f (x)		± lim	g(x + x)− g(x)		′	′
			x				x	= f (x)± g (x).
		x→0			x→0
Производная произведения функций
Если функции			f (x) и g(x)		дифференцируемы в			точке	x , то функция
y = f (x) g(x)		тоже дифференцируема в точке x					и ее производная вычисляется по

правилу:

(f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x).

Доказательство

Составим приращение y для функции y = f (x) g(x).

y = f (x + x)g(x + x)− f (x)g(x).

Прибавим и вычтем выражение f (x) g(x + x) и сгруппируем слагаемые попарно. y = [f (x + x) g(x + x)− f (x) g(x + x)]+ [f (x) g(x + x)− f (x) g(x)].

Из первой скобки можно вынести общий множитель g(x + x), а из второй – f (x). y = [f (x + x)− f (x)] g(x + x)+ f (x) [g(x + x)− g(x)].

Выражения в скобках представляют собой приращения функций f (x) и g(x), поэтому

y = f (x) g(x + x)+ f (x) g(x).

Тогда, используя определение производной, можно записать:

y′ = lim	y	= lim	f (x) g(x + x)+ f (x)				g(x), или
x→0	x	x→0			x
y′ =		f (x)		g(x +	x)+ f (x)	g(x)
	lim		x			x	.
	x→0

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

		y′ =		lim	f (x)		lim g(x +	x)+ f (x) lim	g(x)	.
				x→0	x		x→0	x→0	x
Из дифференцируемости					функции f (x)			следует, что	существует конечный
предел lim	f (x)	=	′
	x		f	(x).
x→0

Из дифференцируемости функции g(x) следует, что существует конечный предел

lim g(x) = g′(x).

x→0 x

Так как дифференцируемая в точке x функция g(x) непрерывна в этой точке, то по

определению непрерывной функции lim g(x + x)= g(x). Следовательно, x→0

7

y′ = (f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x)

Следствие

Если функция f (x) дифференцируема в точке x , а c - конечное число, то функция y = cf (x) тоже дифференцируема в точке x и при этом

(c f (x))′ = c f ′(x).

Доказательство

(c f (x))′ = с′ f (x)+ c f ′(x)= c f ′(x).

Производная частного

Если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x и g(x)≠ 0 , то функция

f (x)

y =

тоже дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по правилу:

g(x)

f

(x)

′

′

′

=

f (x) g(x)− f (x) g (x)

.

g 2 (x)

g(x)

Доказательство

f (x)

Составим приращение y для функции y =

.

g(x)

y =

f (x + x)

f (x)

f (x + x) g(x)− f (x) g(x + x)

−

=

.

g(x + x)

g(x)

g(x + x) g(x)

Прибавим и вычтем в числителе

выражение

f (x) g(x)

и

сгруппируем

слагаемые

попарно. Получим

y =

f (x + x)g(x)− f (x)g(x)− f (x)g(x + x)+ f (x)g(x)

=

g(x + x) g(x)

=

[f (x + x)g(x)− f (x)g(x)]−[f (x)g(x + x)− f (x)g(x)]

.

g(x + x) g(x)

Из первой скобки можно вынести общий множитель g(x), а из второй –

f (x). Тогда

приращение y запишется в виде:

y =

[f (x +

x)− f (x)] g(x)− f (x) [g(x +

x)− g(x)]

, или

g(x + x) g(x)

y =

f (x) g(x)− f (x) g(x).

g(x) g(x + x)

Используя определение, запишем выражение для производной в виде

y′ = lim

y

= lim

f (x) g(x)− f (x)

g(x)

,

x

g(x) g(x + x)

x

x→0

x→0

затем, проведя под знаком предела тождественные преобразования и учитывая, что g(x)

не зависит от переменной				x , преобразуем его
y′ =	1				1			f (x)	g(x)− f (x)	g(x)
				lim							.
	g(x)							x		x
				x→0 g(x +		x)
						8

Так как f (x) и g(x) не зависят от переменной							x , то по теоремам о пределах получим
y′ =	1			1			f (x)	g(x)−	f (x) lim	g(x)
			lim			lim					.
	g(x)			g(x +			x			x
			x→0		x) x→0				x→0

Из

дифференцируемости f (x)

следует,

что

существует

конечный предел

lim

f (x) = f ′(x). Из дифференцируемости

(и непрерывности)

g(x) следует,

что

x→0

x

g(x)

существуют конечные пределы lim

= g

′

lim g(x + x)= g(x). Поэтому

x

(x) и

x→0

x→0

1

1

′

′

y′ =

(f ′(x) g(x)− f (x) g′(x)), или y′ =

.

g(x)

g(x)

g 2 (x)

Теорема о производной обратной функции

Если функция

y(x) монотонна на промежутке

(a; b) и дифференцируема в точке

x (a; b), то существует обратная функция x = x(y), которая дифференцируема в точке

yи ее производная определяется из соотношения

x′y = 1′ . yx

Доказательство

Функция x(y) дифференцируема в точке y , если существует конечный предел

x′y	= lim	x .
	y→0	y

Докажем это. Поскольку по условию существует конечный предел lim

y

′

x

= y (x),

′

x→0

причем в силу монотонности y

(x)≠ 0 , то по теореме о пределе частного существует и

конечен предел lim

1

=

1

.

y

y′(x)

x→0

x

y(x)

Из дифференцируемости функции

в точке x следует ее непрерывность в этой

точке, а это означает, что при

x → 0 приращение функции y → 0 . Учитывая это,

можно от предела при

x → 0 перейти к пределу при

y →0. Тогда

1

1

x

′

lim

=

lim

=

lim

y

y

y

= x (y).

x→0

y→0

y→0

x

x

Следовательно, существует конечная производная x′y , которая вычисляется по правилу:

x′y =		1	.
		y′x
Производная сложной функции
Если функция u(x) дифференцируема в точке x и				функция	y = f (u)
дифференцируема в точке u =u(x), то	суперпозиция функций			(сложная	функция)
y = f (u(x)) дифференцируема в точке	x	и ее производная		по переменной x

вычисляется по правилу:

9