- •Теоретические основы финансовой математики
- •Классификация процентов (процентных ставок)
- •Относительно базы начисления
- •Простые проценты Наращение по простой ставке процентов (прямая задача) Условные обозначения:
- •Дисконтирование по простой ставке
- •Определение периода начисления и величины процентной ставки для простых процентов
- •Сложные проценты
- •Дисконтирование по сложной ставке
- •Определение периода начисления и величины процентной ставки для сложных процентов
- •Непрерывные проценты Непрерывное наращение
- •Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок
- •Финансовые ренты
- •Классификация финансовых рент
- •Прямой метод расчета обобщающих параметров потока платежей
- •Варианты контрольных работ (выбирать по последней цифре зачетки)
Дисконтирование по простой ставке
Дисконтирование – это средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени или прием приведения стоимостного показателя к заданному моменту времени. Величина , определенная дисконтированием, называется современной или приведенной величиной.
По виду процентной ставки различают 2 вида дисконтирования.
Математическое дисконтирование – это формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды по процентной ставке, т.е. необходимо определить по.
Из формулы (1): .
Из формулы (2): .
В полученных формулах иявляются дисконтными множителями, а- дисконт суммы.
Банковское дисконтирование (коммерческий учет, авансовый расчет, учет) применяется чаще всего при учете векселей. Заключается для владельца ценной бумаги в досрочной ее реализации, для банка – в приобретении по цене ниже номинала и определении ее стоимости на момент досрочной реализации. Производится по учетной ставке .
Задача: по определить.
, (3)
где - дисконтный множитель,
- дисконт.
Если число лет дробное, то
. (4)
Задача дисконтирования по учетной ставке является прямой, а задача наращивания по этой ставке – обратной. Определим наращенную сумму по учетной ставке из формул (3), (4):
;
.
Определение периода начисления и величины процентной ставки для простых процентов
Формулы (1), (2), (3), (4) являются исходными для определения величины процентной ставки и срока ссуды.
по ставке процентов:
; .
; .
по учетной ставке:
; .
; .
Сложные проценты
Начисление сложных процентов используется в тех случаях, если речь идет о средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях при постоянно увеличивающейся базе. Такой процесс называется капитализацией процентов.
Ситуация 1: периоды определены в годах.
, (5)
где - множитель наращения,
Ситуация 2: задана годовая ставка, а срок операции выражен в днях или в месяцах.
Для ряда операций в такой ситуации некоторые банки начисляют проценты только за целое число периодов. Чаще учитывается полный срок с использованием одного из двух методов.
Общий метод:
.
Смешанный метод:
,
где - целая часть дробного срока,
- его дробная часть.
Таким образом, за целое число периодов происходит начисление сложных процентов, за дробную часть – простых.
Ситуация 3: проценты капитализируются несколько раз в году, даже ежедневно.
При этом можно брать формулу (5) :
.
На практике обычно фиксируется
- годовая,номинальная ставка процентов;
- число периодов начисления в году.
Тогда
,
где - число лет.
В договорах часто заменяют номинальную ставку при- разовом начислении на годовую ставку сложных процентов, дающую тот же результат. Такая ставка называетсяэффективной.
Определим эффективную ставку через номинальную из равенства:
.
При решении обратной задачи имеем:
.
Ситуация 4: переменная ставка сложных процентов:
…,
где - ставки,
- периоды.