- •Лекция №1
- •§ 1. Задача вычисления.
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
- •§ 3. Неустранимая погрешность значения функций для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.
- •Лекция №2 Численные методы линейной алгебры
- •Формальное решение. Устойчивость.
- •Обусловленность матрицы. Погрешности.
- •Лекция №3
- •1. Схема единственного деления
- •3. Расчетные формулы
- •Лекция № 4 Метод Гаусса с выбором главного элемента (оптимальный метод).
- •Применения метода Гаусса к вычислению определителей и обратных матриц.
- •Лекция № 5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Лекция № 6 Метод Зейделя (модификация метода итераций).
- •Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:
- •Лекция № 7 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
- •Метод хорд (метод линейной интерполяции).
- •3. Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации).
- •4. Метод итераций (задача о неподвижной точке).
- •Оценка погрешности приближений:
- •Лекция № 8
- •1. Метод итераций для системы двух уравнений.
- •2. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
- •Лекция №9 Алгебраическая проблема собственных значений.
- •Лекция № 10 Приближение функций и их производных.
- •Постановка задачи приближения функций.
- •2. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.
- •Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.
- •Лекция № 12 Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения.
- •О нормальной системе мнк при полиномиальной аппроксимации.
- •Лекция №13 Сплайн интерполяция
- •Лекция № 15
- •Метод Эйлера – разные подходы к построению.
- •Методы Рунге – Кутта.
- •Лекция № 16
- •Лекция № 17 Разностные схемы для уравнений параболического типа.
- •Лекция №18
- •Лекция № 19 Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Методы Рунге – Кутта.
В процессе вычислений фиксированы некоторые числа:
0<j<iq;
Последовательно получаем:
и полагаем
Рассмотрим вопрос о выборе параметров
Обозначим - погрешность на шаге.
Если f(x,y)-гладкая функция своих аргументов, то тоже гладкие функции параметраh.
Пусть существуют производные авыбраны так что
Кроме того, предположим, что существует , для которой.
Согласно формуле Тейлора выполняется равенство:
,
где 0<<1 (15)
Величина (h)-называется погрешностью метода на шаге, а s-порядок погрешности метода.
1. При q=1 имеем:
Равенство выполняется для всех гладких функцийf(x,y) только при .
Этому значению соответствует метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге, согласно (15) получаем выражение:.
Таким образом, s=1. Это метод первого порядка точности.
2. Рассмотрим q=2:
где .
Вычисляем производные , находим:
Соотношение , если
, если
Таким образом, при всех, если
3 уравнения, 4 параметра. Задавая один из них произвольно, получим различные методы Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости по h.
Например:
, ,, что соответствует формулам (12) - метод Эйлера пересчётом.
,,, что соответствует формулам (14) - метод Эйлера с полуцелым шагом.
Так как , то нельзя построить формулы Рунге-Кутта сq=3, S=3;
3. Рассмотрим q=4, S=4.
(16)
Один из точных методов, S=4, он носит названиеметода Рунге – Кутта.
Численное решение дифференциальных уравнений высших порядков.
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение порядка (r)
Задача Коши: требуется найти частное решение, удовлетворяющее (r) начальным условиям:
Одним из способов численного решения начальных задач для дифференциальных уравнений высших порядков является их сведение к соответствующим задачам для систем уравнений первого порядка.
Заменой переменных сводим задачу к системе (r) уравнений 1-го порядка.
Например: начальные условия перепишутся в видет. д.
Методы Рунге-Кутта легко распространяются на системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Например: рассмотрим систему
Приближённые решения иэтой системы в точкахпоследовательно вычисляется по формулам:
метод Эйлера
Метод Эйлера-Коши
Лекция № 16
Основные понятия теории разностных схем
Пусть на некотором отрезке D поставлена некоторая дифференциальная краевая задача.
, (1)
L - заданный дифференциальный оператор, f - заданная правая часть.
Будем предполагать, что решение u задачи (1) на отрезке существует.
На отрезке D конечное число точек, ,
Заменяем u(x) à таблицей значений этого решения в точках сетки.
Предполагается, что сетка зависит от параметраh>0.
Например, можно положить h=1/N , где N - некоторое натуральное число, и принять за сетку совокупность точек.
Искомая сеточная функция в этом случае в точке сеткипринимает значения, которое будем обозначать.
. (2)
Назовем ее разностной краевой задачей (разностной схемой).
Определение 1.
Будем говорить, что решение разностной краевой задачи (2) при сгущении сеткисходится к решению u дифференциальной краевой задачи (1), если
.
Если, сверх того, выполнено неравенство
(3)
где С>0, k>o – некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка hk или что разностная схема имеет k -й порядок точности.
В этом определении - проекция точного решения задачи (1) на сетку (- сеточная функция, компоненты которой есть значения точного решения в узлах сетки).
Предположим, что разностная задача (2) имеет единственное решение .
Если бы при подстановке в левую часть (2) вместо сеточной функции(проекции точного решения на сетку) равенство (2) оказалось бы в точности выполненным, то ввиду единственности решения имело бы место равенство=, идеальное с точки зрения сходимости.
Это означало бы, что решение разностной задачи (2) совпадает с искомой сеточной функцией, которую мы условились считать точным решением.
Однако, как правило, систему (2) не удается выбрать так, чтобы в точности ей удовлетворяла.
При подстановке в уравнение (2) возникает некоторая невязка:
Если эта невязка стремится к нулю при, так чтоудовлетворяет уравнению (2) все точнее, то будем говорить:
Определение 2.
Будем говорить, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) на решении u, если
Если, сверх того, имеет место неравенство
(4)
где С>0, k>o – некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место аппроксимация порядка hk или порядка к относительно величины h.
В случае аппроксимации можно считать, что уравнение (3) которому удовлетворяет , получается из уравнения (2) путем прибавления к правой части некоторой малой (при маломh) добавки .
Следовательно, если решение задачи (2)устойчиво относительно возмущения правой , т.е. мало изменяется при малом изменении правой части, то решениезадачи (2) и решениезадачи (3) отличаются мало, так что изаппроксимации
при следуетсходимость
, при
Определение 3.
Будем называть разностную схему (2) устойчивой, если существуют такие постоянные h0 и d0, что при любом h<h0 и любой сеточной функции eрÎFh, такой, что
разностная задача
,
полученная из (2) добавление к правой части возмущения eh имеет место и имеет только одно решение zh, причем справедлива оценка
, (5)
где С1 – некоторая постоянная, не зависящая от h.
Последнее неравенство означает, что малое возмущение eh правой части разностной схемы (2) вызывает равномерно относительно h малое возмущение (zh-uh) решения uh .
Определение 4.
Будем называть разностную схему (2) с линейным оператором Lh устойчивой, если при любой правой части fhÎFh уравнение имеет единственное решениеuhÎUh, причем
(6)
где С – некоторая постоянная, не зависящая от h.
Можно показать, в случае линейности разностного оператора Lh определения устойчивости 3 и 4 равносильны.
Теорема 1 (теорема Лакса о сходимости).
Пусть разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) на решении u с порядком hk и устойчива.
Тогда решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи, причем имеет место оценка
,
где С – некоторая постоянная, не зависящая от h.
Эта теорема позволяет свести вопрос о важнейшей с практической точки зрения проблеме исследования сходимости к вопросу исследования аппроксимации и устойчивости.
Доказательство:
Положим и. Тогда определение устойчивости (5)
примет вид, (привлекая условие (4))