- •Лекция №1
- •§ 1. Задача вычисления.
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
- •§ 3. Неустранимая погрешность значения функций для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.
- •Лекция №2 Численные методы линейной алгебры
- •Формальное решение. Устойчивость.
- •Обусловленность матрицы. Погрешности.
- •Лекция №3
- •1. Схема единственного деления
- •3. Расчетные формулы
- •Лекция № 4 Метод Гаусса с выбором главного элемента (оптимальный метод).
- •Применения метода Гаусса к вычислению определителей и обратных матриц.
- •Лекция № 5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Лекция № 6 Метод Зейделя (модификация метода итераций).
- •Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:
- •Лекция № 7 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
- •Метод хорд (метод линейной интерполяции).
- •3. Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации).
- •4. Метод итераций (задача о неподвижной точке).
- •Оценка погрешности приближений:
- •Лекция № 8
- •1. Метод итераций для системы двух уравнений.
- •2. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
- •Лекция №9 Алгебраическая проблема собственных значений.
- •Лекция № 10 Приближение функций и их производных.
- •Постановка задачи приближения функций.
- •2. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.
- •Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.
- •Лекция № 12 Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения.
- •О нормальной системе мнк при полиномиальной аппроксимации.
- •Лекция №13 Сплайн интерполяция
- •Лекция № 15
- •Метод Эйлера – разные подходы к построению.
- •Методы Рунге – Кутта.
- •Лекция № 16
- •Лекция № 17 Разностные схемы для уравнений параболического типа.
- •Лекция №18
- •Лекция № 19 Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Применения метода Гаусса к вычислению определителей и обратных матриц.
Расчет определителя матрицы А.
Выполняемые в методе Гаусса преобразования прямого хода, приводящие матрицу к треугольному виду, дают следующие соотношения:
Учитывая, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Таким образом,равен произведению всех ведущих элементов метода Гаусса
Расчет обратной матрицы.
Для получения матрицы ,обратной к матрице, будем исходить из того, что она является решением матричного уравнения,
Где E=(eij-) единичная матрица.
Представляя искомую матрицу как набор векторов - столбцов
а единичную матрицу E как набор единичных векторов
Матричное уравнение
в соответствие с правилами умножения матриц подменим эквивалентной системой не связанных между собой векторно - матричных уравнений:
Каждое из них может быть решено методом Гаусса, при этом все СЛАУ имеют одну и ту же матрицу коэффициентов, значит надо применить метод Гаусса к системе линейных уравнений с матрицей A, но с разными правыми частями b. В роли векторов b выступают единичные вектора e1 , e2 ,… en .
Лекция № 5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами. Привлекательным в итерационных методах является их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ.
Пусть дана система СЛАУ
Ах = b (1)
с неособенной матрицей А.
здесь- квадратная матрица размера n´n,
, -векторы n-го порядка.
Чтобы применить к (1) метод итерации, необходимо привести (1) к виду:
х = aх + b (2)
здесь -квадратная матрица размера n´n,
, -векторы n-го порядка.
СПОСОБ ПРИВЕДЕНИЯ СЛАУ ВИДА (1) к ВИДУ (2):
Предполагая, что диагональные элементы
,
разрешаем (1) относительно х.
Разделим i-ое уравнение системы Ах = b на диагональные элементы
В получившемся уравнении оставим в левой части уравнения хi , все остальное перенесем в правую часть уравнения:
обозначим ,
Получаем систему уравнений, эквивалентную исходной системе, которая в матричной форме запишется в виде
х = aх + b,
причем: если в исходной матрице имелось диагональное преобладание, т.е.
то будем иметь < 1.
или
< 1.
Если в матрице А нет диагонального преобладания, его можно добиться каким-либо способом.
Систему (2) будем решать методом последовательных приближений.
Итерационный метод для начала вычисления требует задания одного или нескольких начальных приближений.
Строим последовательно столбцы:
- первое приближение
- второе приближение
Вообще говоря ,k=0,1,2, (3)
Последовательность приближений x(0) , x(1) ,…,x(k) (k = 0,1,2, . . .) к решению х* системы (1) можно строить по рекуррентным формулам
.. (4),
при этом начальное приближение х(0) можно брать, вообще говоря, любое.
Итерационный процесс (4), начинающийся с некоторого вектора , будем называтьметодом простых итераций. (МПИ).
Запишем (4) в развернутом виде:
(5)
Если последовательность x(k) сходится, т. е. существует , тох* есть решение исходной системы (1).
В этом легко убедиться, если в (4) перейти к пределу при к®¥.
т. е. х* = aх* + b
Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы системы и выбора начальных приближений.
Теорема (достаточное условие сходимости МПИ):
Пусть . Тогда при любом начальном вектореметод простых итераций сходится к единственному решениюзадачи(1) и при всех справедливы оценки погрешности:
(6)
(7)
Доказательство:…………………………………………………………………
Для того, чтобы метод простой итерации (4) сходился при любом х(0), необходимо и достаточно, чтобы |l(a)|<1, где l(a) - все собственные значения матрицы a.
При этом, если выполнено достаточное условие сходимости (||a||<1) , то необходимое и достаточное условие автоматически выполняется, ибо |l(a)|<||a||.
Чаще всего останавливаются на проверке двух условий:
1)
2)
Если одно из них выполняется, то метод итераций сходится при любом начальном приближении х(0).
Если требуется вычислить приближенное значение решения системы (1) с некоторой заданной степенью точности e т.е.
или
,
то из (6) можно получить условие окончания итерационного процесса
£ e
Тогда
или