Приближенно сближение меридианов равно

 =  sin,

где  = ₀, причем  долгота географического данной точки и ₀  долгота осевого меридиана;  - широта точки.

На рис. 3.4 показано соотношение между азимутами и дирекционными углами в пределах одной координатной зоны. Легко заметить, что для точек, расположенных к востоку от осевого меридиана зоны, сближение меридианов положительное, а к западу – отрицательное. При этом дирекционные углы в разных точках прямой линии равны ₁ = ₂ = ₃. Поэтому обратный дирекционный угол в точке 3 отличается от прямого в точке 1 ровно на 180, то есть _1-3 = _3-1  180. Азимуты же в разных точках прямой различаются: А₁  А₂  А₃, что обусловлено различием сближения меридианов. Поэтому и А_1-3  А_3-1  180.

Рис. 3.4. Связь между азимутами и дирекционными углами: 1 – в западной половине зоны; 2 – на осевом меридиане; 3 – в восточной половине зоны; Р– полюс; 1Р, 3Р– меридианы; 2Р– осевой меридиан.

При использовании местной системы прямоугольных координат направление оси абсцисс x не связано с направлением осевого меридиана координатной зоны, и тогда дирекционные углы отсчитывают от положительного направления оси абсцисс х.

В практике вычислений находят применение также вспомогательные углы ориентирования – румбы. Румбом называют острый угол, измеряемый от ближайшего направления меридиана (северного или южного). Румбу приписывают название координатной четверти (СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ), в которой расположено заданное направление. Например, для  = 24036 румб равен r = ЮЗ: 6036.

3.2. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

При вычислительной обработке выполненных на местности измерений, а также при проектировании инженерных сооружений и расчетах для перенесения проектов в натуру возникает необходимость решения прямой и обратной геодезических задач.

Прямая геодезическая задача. По известным координатам х₁ и у₁ точки 1, дирекционному углу _1-2 и расстоянию d_1-2 до точки 2 требуется вычислить ее координаты х₂, у₂.

Рис. 3.5. К решению прямой и обратной геодезических задач

Координаты точки 2 вычисляют по формулам (рис. 3.5):

(3.4)

где х, у  приращения координат, равные

(3.5)

Обратная геодезическая задача. По известным координатам х₁, у₁ точки 1 и х₂, у₂ точки 2 требуется вычислить расстояние между ними d_1-2 и дирекционный угол _1-2.

Из формул (3.5) и рис. 3.5 видно, что

. (3.6)

Для определения дирекционного угла _1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса

 =,

лежащее в диапазоне 90+90, тогда как искомый дирекционный угол  может иметь любое значение в диапазоне 0   360.

Формула перехода от  к  зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков разностей y = y₂  y₁ и x = х₂  х₁ (см. таблицу 3.1 и рис. 3.6).

Таблица 3.1

	Iчетверть	П четверть	Ш четверть	IVчетверть
х	+			+
у	+	+		
	+		+	
Формулы		180	+180	+360

Рис. 3.6. Дирекционные углы и главные значения арктангенса в I,II,IIIиIVчетвертях

Расстояние между точками вычисляют по формуле

(3.6)

или другим путем – по формулам

(3.7)

Программами решения прямых и обратных геодезических задач снабжены, в частности, электронные тахеометры, что дает возможность непосредственно в ходе полевых измерений определять координаты наблюдаемых точек, вычислять углы и расстояния для разбивочных работ.