Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Доказательство
Рассмотрим односторонние
пределы 
и 
и
докажем, что они равны 1.
Пусть 
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(
).
Точка K —
точка пересечения луча с окружностью,
а точка L —
с касательной к единичной окружности
в точке 
.
Точка H —
проекция точки K на
ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где 
—
площадь сектора 
)
(из 
: 
)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при 
:
Умножаем
на 
:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
следствия
Следствия
для 
, 
Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
Перечислим
все основные
виды неопределенностей:
ноль делить на ноль 
(0
на 0),
бесконечность делить на бесконечность 
,
ноль умножить на бесконечность 
,
бесконечность минус бесконечность 
,
единица в степени бесконечность 
,
ноль в степени ноль 
,
бесконечность в степени ноль 
.
ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.
Раскрывать неопределенности позволяет:
упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
использование замечательных пределов;
применение правила Лопиталя;
использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным(использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).
Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).
Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.
Неопределенность типа 00
Пусть заданы две функции f(x) и g(x), такие, что
limx→af(x)=0иlimx→ag(x)=0.
В этом случае говорят, что функция f(x)g(x) имеет неопределенность типа 00 в точке x=a. Чтобы найти предел при x=a, когда функция f(x)g(x) содержит неопределенность 00, нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю. Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.
Неопределенность типа ∞∞
Пусть две функции f(x) и g(x) обладают свойством
limx→af(x)=±∞иlimx→ag(x)=±∞.
где a является действительным числом, либо стремится к +∞ или −∞. Говорят, что в этом случае функция f(x)g(x) имеет в точке a неопределенность типа ∞∞. Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.
Неопределенности типа ∞−∞, 0⋅∞, ∞0, 1∞
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа 00 и ∞∞.
1.Вычислить предел limx→1x20−1x10−1.
Решение.
Подставив напрямую значение x=1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность 00 в точке x=1. Разложив числитель на множители, получаем
limx→1x20−1x10−1=[00]=limx→1(x10)2−1x10−1=limx→1(x10−1)(x10+1)x10−1=limx→1(x10+1)=110+1=2.
2.Вычислить предел limx→∞x3+3x+52x3−6x+1.
Решение.
Подстановка x→∞ показывает, что функция имеет неопределенность типа ∞∞. Разделим числитель и знаменатель на x3 (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем
limx→∞x3+3x+52x3−6x+1=[∞∞]=limx→∞x3+3x+5x32x3−6x+1x3=limx→∞x3x3+3xx3+5x32x3x3−6xx3+1x3=limx→∞1+3x2+5x32−6x2+1x3=limx→∞(1+3x2+5x3)limx→∞(2−6x2+1x3)=limx→∞1+limx→∞3x2+limx→∞5x3limx→∞2−limx→∞6x2+limx→∞1x3=1+0+02−0−0=12