Примеры исследования последовательностей на монотонность

Пример

Задание. Исследовать последовательность на монотонность.

Решение. Рассмотрим разность -го члена последовательности и ее -го члена :

а тогда делаем вывод, что - возрастающая последовательность.

Ответ. - возрастающая последовательность.

Задание. Исследовать последовательность на монотонность.

Решение. Найдем отношение -го члена последовательности к ее -му члену :

Для выражение , то есть заданная последовательность является монотонно убывающей.

Ответ. - монотонно убывающая последовательность.

Нестрогая монотонность

Последовательность является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для , 

Последовательность называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу, то последовательность называетсяпостоянной.

Пример

Последовательность является постоянной, так для любого натурального :

Предел последовательноси и его свойства

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется член последовательности такой, что все члены последовательности , следующие за ним, отстоят от меньше, чем на .

Определение. Число называется пределом последовательности , если в любом открытом промежутке, содержащем число , содержатся все члены последовательности , начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то .

Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что 

также существует 

Возьмем , которое больше и . Тогда

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [строго убывающей] убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше] не больше предыдущего члена.

Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть — предел последовательности . Тогда найдется такой номер , что 

Тогда .

Определение. Говорят, что последовательность отделена от нуля, если найдется такое положительное число , что все члены этой последовательности по модулю больше .

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если .

Бесконечно-малые последовательности

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство: 

Основные свойства б.М. И б.Б. Последовательностей

1°   Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.

2°   Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.

3°   Если - б.м.п., то - ограниченная последовательность.

4°   Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.

5°   Если - б.м.п. и , то , т.е. 

6°   Если - б.м.п. и , то последовательность - б.б.п.

7°   Если - б.б.п., то и последовательность - б.м.п.