- •Геометрия. (Векторы. Метод координат)
- •Глава 1. Векторы
- •§1. Понятие вектора
- •§ 2. Операции над векторами
- •§3. Проектирование и разложение векторов
- •§4. Векторные пространства. Координаты вектора.
- •§5. Скалярное умножение векторов
- •§6. Ориентация плоскости и пространства
- •§7. Смешанное произведение векторов
- •§8. Векторное произведение векторов
- •Глава 2. Метод координат. Прямая на плоскости.
- •§9. Аффинные координаты
- •Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид
- •§10. Деление отрезка в данном отношении.
- •§11. Полярные координаты.
- •§12. Задание фигур в координатах.
- •§13. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
- •§14. Общее уравнение прямой на плоскости.
- •§15. Метрические задачи теории прямых на плоскости.
- •Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве.
- •§16. Различные виды уравнений плоскости.
- •§17. Общее уравнение плоскости.
- •§18. Различные виды уравнений прямой в пространстве.
- •§19. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •§20. Метрические задачи о прямых и плоскостях в пространстве.
§7. Смешанное произведение векторов
1. Определение и простейшие свойства. В отличие от чисел, у векторов существует не одно, а несколько разных “умножений”. Мы уже рассматривали скалярное умножение векторов. В этом параграфе мы познакомимся еще с одним, в котором участвуют не два, как обычно, а сразу три сомножителя.
Пусть V3 – ориентированное трехмерное векторное пространство, B = (i,j,k) – его положительно ориентированный ортонормированный базис. Смешанным10 произведением abc векторов a, b и с называется определитель перехода B (a,b,с). Подробнее, если в базисе B а(а1,а2,а3), b(b1,b2,b3), с(с1,с2,с3), то по определению
(7.1) abc = .
Прямо из определения смешанного произведения вытекают такие его свойства:
(7.2) abc = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b и с компланарны.
(7.3) Смешанное произведение abc положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда базис (a,b,c) положительно (отрицательно) ориентирован.
Для доказательства других свойств нам понадобится
(7.4) Лемма. Определитель перехода от одного ортонормированного базиса пространства V3 к другому равен 1, если эти базисы одинаково ориентированы, и –1, если они противоположно ориентированы.
Пусть B = (i,j,k) и D = (i,j,k) – два ортонормированных базиса пространства V3. Положим а1 = cos(i,i) = cos(i,i), а2 = cos(i,j) = cos(j,i), а3 = cos(i,k) = cos(k,i), b1 = cos(j,i) = cos(i,j), b2 = cos(j,j) = cos(j,j), b3 = cos(j,k) = cos(k,j), c1 = cos(k,i) = cos(i,k), c2 = cos(k,j) = cos(j,k), c3 = cos(k,k) = cos(k,k). Тогда в силу (5.16) векторы базиса B в базисе D имеют координаты i(а1,а2,а3), j(b1,b2,b3), k(с1,с2,с3), а векторы базиса D в базисе B – координаты i(а1,b1,c1), j(a2,b2,c2), k(a3,b3,с3). Отсюда получаем:
D B = ,B D = .
Расписывая получившиеся определители по формуле (6.4) (сделайте это!), находим, что они равны. С другой стороны, согласно (П3), B D = 1/D B. Получается, что B D = 1/B D, откуда (B D)2 = 1. Значит B D = 1 или B D = –1.
(7.5) Следствие. Смешанное произведение не зависит от выбора положительно ориентированного базиса B . При смене ориентации пространства смешанное произведение меняет знак.
В самом деле, если B и D – два положительно ориентированных базиса пространства V3, то в силу леммы B(a,b,с) = BDD(a,b,с) = 1D(a,b,с) = D(a,b,с). Если бы базис D ориентирован отрицательно, то BD = –1 и D (a,b,с) = –B (a,b,с).
Допустим теперь, что D = (е1, е2, е3) – произвольный базис пространства V3, а векторы а(х1,х2,х3), b(y1,y2,y3), с(z1,z2,z3) заданы своими координатами в нем. Тогда по определению abc = B (a,b,с) = B DD (a,b,с) = (е1е2е3)D(a,b,с). Расписывая D (a,b,с) как определитель, получаем еще одно полезное свойство:
(7.6) Если векторы а(х1,х2,х3), b(y1,y2,y3), с(z1,z2,z3) заданы своими координатами в произвольном базисе D = (е1, е2, е3), то abc = (е1е2е3).
2. Алгебраические свойства смешанного произведения.
(7.7) Смешанное произведение дистрибутивно по каждому из сомножителей:
(а1+а2)bc = а1bc + а2bc , а(b1+b2) c = аb1 c + аb2c , аb(c1+c2) = аbc1 + аbc2.
(7.8) Смешанное произведение однородно по каждому из сомножителей:
(xa)bc = a(xb)c = ab(xc) = x(abc) .
(7.9) При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:
bac = acb = cba = –abc (антикоммутативность).
Все эти свойства доказываются прямым вычислением. Проверим, например, равенство (xa)bc = x(abc). Пусть в некотором положительно ориентированном ортонормированном базисе а(а1,а2,а3), b(b1,b2,b3), с(с1,с2,с3). Тогда
(xa)bc = = (ха1)b2c3 – (xа1)b3c2 + b1c2(xа3) – b1c3(xa2) + c1 (xа2)b3 + c1(xа3)b2 = х(а1b2c3 – а1b3c2 + b1c2а3 – b1c3a2 + c1а2b3 + c1а3b2) = х= х(abc). Остальные свойства проверьте сами.
3. Смешанное произведение как объем.
(7.10) Теорема. Объем параллелепипеда АВСDА1В1C1D1 равен абсолютной величине смешанного произведения векторов АВ, АD и АА1.
Опустим из вершины А перпендикуляры АК на прямую СD и АН на плоскость А1В1C1. Положим i = АВ/|АВ|, j = АK/|АK| и k = АH/|АH|. В силу (2.10) i, j и k – единичные векторы, сонаправленные соответственно векторам АВ , АК и АН (рис.28).
П о построению АВ = |АВ| i, АD = AK + KD = |AK| j+xi, AA1 = AH + HA1 = |AH| k + yi + zj. Здесь KD = xi, ибо KD || i , а HA1 = yi + zj, так как вектор HA1 компланарен неколлинеарным векторам i и j. Таким образом, в базисе (i,j,k) векторы АВ, АD и АА1 имеют такие координаты: АВ(|АВ|, 0, 0), АD(х, |АК|, 0), AA1(y, z, |AН|). Составленный из них определитель равен |АВ| |АК| |АН| (проверьте!). Поскольку |АВ| |АК| – это площадь параллелограмма ABCD, а |АН| – высота параллелепипеда АВСDА1В1C1D1, определитель равен объему этого параллелепипеда.
Заметим теперь, что по построению базис (i,j,k) – ортонормированный. Если он положительно ориентирован, то по определению АВ АD АА1 = , а если отрицательно, то по следствию 7.5 АВ АD АА1 = –. В обоих случаях |АВ АD АА1| = || = .
(7.11) Следствие. Объем тетраэдра ABDA1 равен |АВ АD АА1|.
Достроим тетраэдр ABDA1 до параллелепипеда АВСDА1В1C1D1 (рис.29). Объем тетраэдра равен трети произведения площади треугольника ABD на высоту АН, что составляет 1/6 объема параллелепипеда.
Посмотрим, как работают эти утверждения.
Задача. Найти отношение объема параллелепипеда АВСDА1В1C1D1 к объему тетраэдра ACB1D1.
Рассмотрим в пространстве V3 базис (АВ, АD, АА1). В нем АС(1,1,0), AB1(1,0,1), AD1(0,1,1). По свойству 7.6 АС AB1 АD1 = (АВ АD АА1)= –2(АВ АD АА1). По теоремам 7.10 и 7.11 =|АС AB1 АD1| = |АВ АD АА1| = .Ответ: 1/3.