8. Определение момента силы относительно неподвижной оси вращения.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z. Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: =[]z.

9. Определение момента силы относительно точки.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F: =[], где – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль момента силы M=Frsinα=Fl, где α – угол между r и F, а l – кратчайшее расстояние между точкой О и линией действия силы – плечо силы.

10. Выведите формулу момента инерции диска.

Диск – плоский однородный цилиндр высотой h и радиусом R. Разобьем диск на отдельные кольца бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого кольца dJ=r²dm, объем кольца 2πrhdr. Если ρ – плотность материала, то dm=2πrhρdr и dJ=2πhρr³dr. Тогда момент инерции всего диска J== = 1/2πhρR⁴. Но масса диска m=πhρR², тогда момент инерции диска J=1/2mR².

11. Формулировка теоремы Штейнера. Поясните величины, входящие в формулу Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси (Jz) равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела (Jc) и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: Jz=Jc+md²

Jz – момент инерции относительно произвольной оси

Jc – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс

d – расстояние между осями

m – масса тела

12. Определение момента импульса материальной точки и твердого тела относительно неподвижной оси вращения.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса =[]=[, m], определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью v_i. Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны тому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора m_iv_i. Поэтому можно записать L_iz= m_iv_ir_i и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: L_z= ==ω=J_zω

13. Напишите таблицу аналогий для поступательного и вращательного движений и поясните соответствующие величины.

Масса m – момент инерции J

Скорость v=dr/dt – угловая скорость ω=dϕ/dt

Ускорение a=dv/dt – угловое ускорение ε=dω/dt

Сила F – Момент силы Mz или M

Импульс p=mv – момент импульса L_z=J_zω

Основное уравнение динамики: F=ma – M_z=J_zε

Работа: dA=F_sds – dA=M_zdϕ

Кинетическая энергия: mv²/2 - J_zω²/2