2.Теоритическая часть Пирамида

Рассмотрим многоугольник А₁А₂ … А_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим nтреугольников.

РА₁А₂, РА₂А₃, …, РА_nА₁

Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂ …А_n и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник А₁А₂ … А_n называется основанием, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Точка Рназывается вершиной пирамиды, а отрезки РА₁, РА₂, …, РА_n её боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А₁А₂ … А_n и вершиной Р оюозначают так: РА₁А₂ …А_n и называют n-угольной пирамидой.

Перпендикуляр, проведенный из вершины приамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (т.е. основания и боковый граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых гранней.

S_полн=S_бок+S_осн

Правильная пирамида

Пиримида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани явлются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РА₁А₂…А_n. Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника , одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим радиус описаной около основания окружности. По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтомуРА₁=РА₂=…=РА_n.

Мы доказали что боковые ребра правильной пирамиды РА₁А₂…А_n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как А₁А₂…А_n – правильный многоугольник. Следовательно боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равны сумме произвеения сторон основания на половину апофемыd. Вынося множитель d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Теорема доказана.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду РА₁А₂…А_n и поведем сукещую плоскость β, параллельную плоскости α основания пирамиды и пересекающую юоковые ребра в точках В₁, В₂, …, В_n. Плоскость β разбивает пирамиду на ва многогранника. Многорганник, гранями которого являются n-угольники А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n-четырехугольников А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, …,А_nА₁В₁В_n (боковык грани),называется усеченной пирамидой.

Отрезки А₁В₁, А₂В₂, …,А_n,В_n называются боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n обозначают так: А₁А₂…А_nВ₁В₂…В_n.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибуть точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды.На рисунке СН является высотой усеченной пирамиды.

Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды-трапеции. Рассмотрим, например, боковую грань А₁А₂В₁В₂. Стороны А₁А₂ и В₁В₂ параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РА₁А₂ пересекается с параллельными плоскостями α и β. Две другие стороны А₁В₁ и А₂В₂ этой грани не параллельны – их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань – трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани – трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиыплоскостью параллельной основанию. Основания привильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани равнобедренные трапеции . Высоты этих трапеций называются апофемами.

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.