Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.

Доказательство

Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

Где -апофема, а-периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Призма

Рассмотрим два разных многоугольника А₁А₂…A_n и B₁B₂…B_n расположенны в параллельных плоскостях α и β так, что отрезки А₁B_1, А₂B₂, …, A_nB_n, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. Каждый из n-четырехугольников

А₁А₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, A_nA₁B₁B_n

Является параллелограм, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике А₁А₂B₂B₁ стороны А₁B₁ и А₂B₂ параллельны по условию, а стороны А₁А_{2 и} B₂B₁ по свойству параллельных плоскостей, пересечены третьей плоскостью.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n, расположенных а параллельных плоскостях, и n-параллелограмов, называется призмой.

Многоугольники А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n называются основаниями, а параллелограмы – боковыми гранями призмы. Отрезки А₁В₁, А₂В₂, A_nB_n называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограмов, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны.Призму с основаниями А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n обозначают А₁А₂…А_nВ₁В₂…В_n и называют n-угольной призмой.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибуть точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям ,то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма всех её граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей её боковых граней. Площадь S_полн полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверхноси и площадь S_осн основания призмы форулой

S_бок+2S_осн

Докажем теорему о площади поверхности прямой призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы, Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямойгольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобку, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, S_бок=Ph. Теорема доказана.