3. Исследование энергетического баланса

3.1. Уравнение энергетического баланса для механических установок получается из общефизического закона сохранения энергии и записываете в виде:

(6)

Здесь: E₀ - начальная (запасённая) энергия в установке; E(t) - энергия

установки в некоторый момент времени; E_t - потери энергии.

В механических установках потери энергии равны paботе непотенциальных (диссипативных) сил. В данной установке Максвелла к ним относятся: силы трения и сопротивления в процессе качения тела по нити и сила неупругой деформации при рывке нити в конце спуска.

Примечание. Понятие энергии и формулировки общефизического закона сохранения энергии и закона сохранения механической энергии даны в описании лабораторной работы №6 " Исследование преобразования энергии на установке "машина Обербека".

3.2. Для схемы движения, показанной на рис. 1б, значения Е₀ и Е(t) определяются формулами для механической энергии:

(7)

Здесь: Т₀, П₀ и Т(t_к), П₀(t_K) - кинетическая и потенциальная энергии тела в начальный и конечный моменты времени.

Потенциальная энергия в установке Максвелла равна энергии тела в гравитационном поле Земли. Разность этих энергий на верхнем уровне (на высоте h для центра масс тела) и на нижнем уровне (в точке спуска для центра масс тела) равна:

(8)

Принимая нижнюю точку за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, получаем:

(9)

Кинетическая энергия при качении тела равна:

, (10)

где: -кинетическая энергия центра масс;

- кинетическая энергия при вращении вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Формула (10) записана при условии, что качение тела представлено как совокупность поступательного и вращательного движения; здесь J_c - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Если рассматривать качение как мгновенно-вращателъное движение относительно мгновенной оси в т. Р, тогда формула для кинетической энергии тела преобразуется к виду:

, (11)

где: J_p - момент инерции относительно мгновенной оси вращения.

Примечание. Формула (11) легко получается из (10) с учётом формулы Эйлера для скорости точек вращающегося тела и теоремы Штейнера для моментов инерции.

Учитывая, что на верхнем уровне подъёма тело покоится, получаем:

(12)

Здесь: Т₀ - кинетическая энергия тела на верхнем уровне подъёма; T(t_к) -

кинетическая энергия тела на нижнем уровне спуска и, соответственно, и ω - скорость центра масс и угловая скорость тела в конце спуска, определяемые формулами (5) и (2в).

Подставляя в (6) значения (7), (9) и (12), запишем уравнение энергетического баланса при скатывании тела с верхнего уровня на нижний:

(13)

Примечание. Уравнение (13) позволяет найти численное значение потерь энергии при скатывании тела с верхнего уровня на нижний, когда центр масс опускается с высоты h.

Внимание: механическое движение на установке Максвелла разделяется на этапы:

1) движение (качение по нитям) "вниз";

2) рывок в нижней точке спуска, после которого изменяется направление вектора импульса центра масс тела при сохранении направления вектора момента импульса, т. е. направления вращения тела;

3) движение (качение по нитям) "вверх".

Результаты эксперимента, который выполняется в данном исследовании, позволяют - с учётом энергетического баланса - выяснить: на каких этапах допустимо пренебрежение непотенциальными силами трения, сопротивления и неупругой деформации.