IX. Линейные пространства
9.1. Матрицей перехода от базиса к базису, гдеявляется…
…
9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…
…невырожденной.
9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …
… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.
9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие условию , …
…образуют линейное пространство, если , а операции суммы и умножения на число определены стандартным способом.
9.5. Вектор …
… невозможно представить в виде линейной комбинации векторов и.
9.6. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…
…образуют линейное пространство размерности 1.
9.7. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…
…не образуют линейного пространства.
9.8. Матрицы вида , где числа,,иудовлетворяют условиям,, а операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …
…образуют линейное пространство размерности 2.
9.9. Векторы ,,…
… являются линейно-зависимыми.
9.10. Разложение вектора по базису,,имеет вид, где…
….
9.11. Функции ,,будут линейно зависимыми при…
… .
9.12. Функции ,,будут линейно-независимыми при…
…любом значении .
9.13. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…
… вектор .
9.14. Векторы ,и
…являются линейно-независимыми.
9.15. Проверьте, что множество функций вида (квадратные трехчлены) таких, что, образует линейное пространство. Базисом в этом пространстве является…
… , .
9.16. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…
… векторы ,,.
9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой вектор в вектор, записанная в стандартном базисе,,, имеет вид…
… .
9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше второго порядка в базисе имеет вид…
… .
9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…
…вырожденной.
9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор, а вектор— в вектор. Матрица этого оператора, записанная в базисе,, имеет вид…
… .
9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости , записанная в базисе,,, имеет вид…
… .
9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на плоскость , записанная в базисе,,, имеет вид…
… .
9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе ,, имеет вид. Этот оператор является…
…оператором симметрии относительно оси .
9.24. Множество всех матриц размера , для которых операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …
…является линейным пространством размерности 4.
9.25. Линейной комбинацией векторов иявляется вектор…
….
9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор, а вектор— в вектор. Тогда векторпереходит в вектор…
….
9.27. Известно, что линейный оператор переводит векторв вектор, а вектор— в вектор. Тогда векторпереходит в вектор…
….
9.28. Размерность линейного пространства симметричных матриц …
…равна 6.