metodichka_po_pogreshnostyam

тем выше точность измерений.

1.2. Оценка погрешностей косвенных измерений

Прежде чем рассматривать погрешности результата косвенных измерений, отметим, что погрешности, подсчитанные по рекомендациям, изложенным в данном параграфе, носят ориентировочный характер. Мы остановимся на упрощенной трактовке.

Пусть искомая величина f определяется из прямых измерений

величины x, причем:	f f (x) .
Обозначим искомое значение результата косвенных из-
мерений через:
	f		f f ,	(2.12)
где f f ( x ) , а	f	–	абсолютная погрешность косвенного

измерения величины f.

Разложим функцию f в ряд Тейлора в окрестности точки x :

f (x) f (	x )	df (x)			x	d 2 f (x)		x 2	df 3	(x)	( x)3 ... , (2.13)
		dx		x		dx2 2!			dx3	3!
							x				x

где x – полная абсолютная погрешность прямо измеренной величины x.

Начиная с третьего все члены ряда достаточно малы, и их можно отбросить. Тогда получим:

f (x) f (		x )				df (x)			x .	(2.14)
						dx		x
Откуда:
f (x) f (		x )			df (x)				x .	(2.15)
								x
						dx
А так как f (x) f ( x ) f (x) , то
f (x)	df (x)					x .				(2.16)
		dx		x

Относительной погрешностью косвенного измерения называется величина f равная:

20

f (x) , (2.17)

f	f ( x )

выраженная в долях единицы, или

f (x) 100% , (2.18)

f	f ( x )

выраженная в процентах.

Часто бывает удобнее сначала вычислить относительную погрешность косвенного измерения, а затем определить абсолютную.

Раскроем в определении относительной погрешности косвенного измерения значение его абсолютной погрешности:

f

В (2.19) внесем

Теперь, зная f

При расчете

	f	(x)		1		df (x)		x . (2.19)
	f (	x )		f ( x )		dx
								x

	1				под знак дифференциала. Получим:
f (		x )
	f				d ln( f (x))		x	x .	(2.20)
					dx
и	f ( x ) , можно рассчитать f (x) как:
f (x) f f (						x ) .			(2.21)
относительную						погрешность			f следует

брать выраженной в долях от единицы, а не в процентах.

Окончательный результат принято записывать в виде:

f ( x) f ( x ) f ( x)
			f ( x)		.	(2.22)
	f			100%
			f ( x )

Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина является функцией нескольких переменных, значения которых определяются непосредственно из серий измерений: f f (x, y, z,...) .

Так как каждая из прямо измеренных величин определена с некоторой ошибкой x , y , z и т.д., то каждая из них вносит

свой вклад в абсолютную погрешность вычисляемой величины f. Погрешности разных величин не могут компенсировать друг друга,

21

каждая из них увеличивает неточность измеряемой величины, их следует складывать.

Проведя рассуждения, аналогичные вышеизложенным, для функции нескольких переменных получим, что абсолютную по-

грешность f (x, y, z,...) можно рассчитать по формуле:

f			f (x)			2
			x			x
					x , y , z ,...

f ( y)

y

	2
	y
x , y , z ,...

f (z)

z

	2	, (2.23)
z	...

x , y , z ,...

а относительную f

по формуле:

f

ln( f (x))

2

ln( f ( y))

2

ln( f (z))

2

. (2.24)

x

x

y

y

z

z

x , y , z ,...

x , y , z ,...

x ,

y , z ,...

Знаки

,

,

обозначают

частные

производные (см.

x

y

z

приложение 3).

Окончательный результат записывают в виде:

f ( x, y, z...) f (				x , y , z ...) f
			f ( x, y, z...)
	f				100%
			f ( x , y ,	z ...)

( x, y, z...)

. (2.25)

Примеры расчета частных производных приведены в приложении 3.

1.3. Правила обработки результатов измерений

Указанные правила можно применять для случаев нормального распределения результатов или мало отличающихся от него.

Все расчеты ведутся с одной запасной цифрой, и только окончательный результат округляется!

Для прямых измерений

1.Результаты каждого измерения записывают в таблицу.

2.Вычисляют среднее арифметическое значение измеряемой ве-

22

		n
		xi
личины: x		i 1	.
		n
3. Находят	абсолютные погрешности отдельных измерений:

xi xi x .

4.Вычисляют квадраты погрешностей отдельных измерений

xi 2 .

5.Задают значение надежности (доверительной вероятности) α.

Определяют коэффициент Стьюдента t ,n для заданной надежности α и числа произведенных измерений n (см. приложение 7).

6. Определяют случайную абсолютную погрешность серии изме-

n

xi 2

	рений: xслуч	t ,n	i 1	.
			n(n 1)

7.Определяют абсолютную погрешность измерительного прибо-

ра: xпр .

8.Вычисляют полную абсолютную погрешность серии измерений

величины x: xполн xслуч 2 xпр 2 .

9.Находят границы доверительного интервала. Если величина погрешности результата измерений окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину погрешности прибора.

10.Оценивают относительную погрешность результата серии из-

мерений: xx 100% .

11. Окончательный результат записывают в виде:

x	x	xполн
	x
			.
		100%
	x

23

Для косвенных измерений

1. Для каждой серии измерений величин, входящих в определение искомой величины, проводят обработку, как описано выше. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение надежности α.

2.	Определяют значение функции		f f ( x , y , z ...) .
3.	Если это	целесообразно,	логарифмируют функцию
f	f (x, y, z...)	и представляют ее в виде суммы и разности лога-

рифмов в соответствии с конкретным видом функциональной зависимости (правила логарифмирования см. в приложении 2).

4. Определяют абсолютную или относительную погрешность результата серии косвенных измерений:

f		f (x)			2		f ( y)			2
		x			x		y			y
				x , y , z ,...					x , y , z ,...

f (z)

z

		2
	z	...
x , y , z ,...

или

f			ln( f (x))
			x

	2		ln( f ( y))
	x		y
x , y , z ,...

	2		ln( f (z))
	y		z
x , y , z ,...

		2
	z
x , y , z ,...

	5.	Оценивают		относительную погрешность серии измерений
	f		f (x, y, z...)		100% или границы доверительного интер-
			f ( x , y ,	z ...)
	вала для результата косвенных измерений .
	6.	Окончательный результат записывают в виде:

f ( x, y, z...) f (				x , y , z ...) f
			f ( x, y, z...)
	f				100%
			f ( x , y ,	z ...)

Примеры приведены в приложении 4.

( x, y, z...)

.

§2. Графический метод определения погрешностей

2.1. Графики

Более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно

24

при интерпретации полученных данных, так как графическая информация обладает значительной емкостью и легко воспринимается. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента. Ниже изложены рекомендации по построению графиков.

Выбор бумаги. Графики строят только на бумаге, имеющей координатную сетку. Это может быть обычная миллиметровая бумага с линейным масштабом по осям или логарифмическая бумага. Логарифмическую бумагу используют реже, поэтому отметим, что она бывает двух типов. У бумаги первого типа по одной оси масштаб линейный, по другой – логарифмический. Бумага второго типа имеет логарифмический масштаб по обеим осям.

Распределение осей. Графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.

Выбор масштабов. Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности.

Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10n, 2 10n или 510n , где n – любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 – подходят, а числа 3; 7; 0,15 – не подходят для этой цели.

При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более.

25

Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее, чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный – микроамперы.

Нанесение шкал. Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу – вверх и слева – направо. Надписи, соответствующие осям, располагают так: ось абсцисс – справа внизу, ось ординат – слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению

«круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 … Де-

сятичный множитель масштаба, как в таблицах, относится к единицам измерения, например, вместо 1000; 2000; 3000 … получится 1; 2; 3 … с общим множителем 10-3, указанным перед единицей измерения.

Поясним это

на

примере.

Пусть

Т2 106, с2

вдоль оси

нужно

1,7

отложить длину ни-

1,6

ти

математического

1,5

маятника. При про-

1,4

ведении опытов бы-

≈

ли

использованы

≈

следующие

значе-

39 40 41 42 43 l 102, м

ния длины: 39 см, 40	Рис. 9. Нанесение шкал.
см, 41 см, 42 см, 43

см. В системе СИ это будет выглядеть так: 0,39 м, 0,40 м, 0,41 м, 0,42 м, 0,43 м или 39 10-2 м, 40 10-2 м, 41 10-2 м, 42 10-2 м, 43 10-2 м.

Т.е. l = x 10-2 м. Около рисок на оси нам нужно проставить величину x. Выразим ее: х = l 102 м. Таким образом, около рисок будут стоять числа без каких-либо множителей, а около оси – обозначение величины с соответствующим множителем и единицей измерения. Аналогично оцифровывается ось для квадрата периода колебаний (рис. 9).

Также заполняются и шапки таблиц.

Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом

26

Рис. 10. Распределение и оцифровка осей. Нанесение экспериментальных точек.

расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат – слева от рисок.

Нанесение точек. Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом. Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками (квадратами, кружками, крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета. Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом – при ошибке неверно поставленную точку легче стереть. Выносные координатные линии при нанесении точек не используют, так как для этих це-

лей существует сетка миллиметровки, а лишние линии засоряют график, делая его неудобным для восприятия и работы с ним. На рис. 10 приведена полученная по точкам экспериментальная зависимость, которая построена на бумаге, имеющей координатную сетку.

Проведение кривых. Экспериментальные точки с помощью карандаша соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку – ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений известных из эксперимента, с погрешностью. По сути, есть только экспериментальные точки, а кривая – произвольное, не обязательно верное, домысливание эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась

27

ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физиче-

ской зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно.

Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.

Отображение погрешностей измерений на графике. Ре-

зультаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа.

Первый упоминался при обсуждении вопроса выбора масштабов. Он состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений.

Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться величине удвоенной погрешности, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Отметим, что указанный спо-

соб чаще всего приме- Рис. 11. Зависимость удельного электри- няют тогда, когда по- ческого сопротивления алюминия от

грешности меняются от температуры.

28

измерения к измерению. Иллюстрацией способа служит рис. 11.

Завершение работы.

График нумеруют, ему дают название, кратко отражающее содержание построенной зависимости. Все графические символы, использованные при построении, поясняют в подписи к графику, которую располагают под графиком или на не занятой графиком части поля.

Правила оформления графиков в учебниках, научных публикациях, монографиях несколько отличаются от изложенных выше, что, в первую очередь, связано с их иллюстративным характером. Большинство таких графиков имеют смысл рисунков, так как на них часто не приводят масштабную сетку и масштабы по осям, не обозначают единицы измерения откладываемых величин. Отчасти все это объясняется малыми размерами самих графиков, на которых просто не остается места для дополнительных надписей и линий.

2.2. Методы расчета физических величин из данных, представленных в виде графика

Обработка экспериментально полученной зависимости состоит в проведении по зарегистрированным точкам теоретической кривой, рассчитанной для заданного набора численных значений параметров. Варьируя параметры, добиваются наилучшего совпадения теоретической кривой с экспериментальными данными. Достижению такого совпадения помогает обязательное требование: теоретическая кривая должна отражать все особенности поведения экспериментальной зависимости, а, тем более, не давать повода для сомнений в совпадении с ней. Полученный набор параметров расценивают как результат их одновременного измерения, выполненного на основе используемой модели. В эксперименте часто проверяют линейную зависимость двух величин вида:

y ax b ,

(2.26)

где x, y – измеряемые величины, a, b – параметры зависимости. Даже если из модельного описания непосредственно не получается линейная зависимость величин, теоретическую зависимость стремятся преобразовать к линейной. Объясняется это тем, что линейная зависимость выделена по отношению к другим формам функциональной связи двух величин. Во-первых, в силу психологических причин восприятие человека обладает свойством распознавать

29