metodichka_po_pogreshnostyam

f	y z (x z )		x y z z x z 1 . Мы вынесли yz за знак производной,
x

как постоянную величину, а затем нашли производную по x от оставшейся степенной функции xz.

Теперь найдем частную производную функции по перемен-

f

ной y: y . Теперь зафиксируем переменные x и z. Аналогично пер-

вому случаю, разобьем функцию на сомножители: f=(xy)z=xzyz. То-

гда:	f	x z ( y z )		y x z z y z 1 .
	y
	Наконец, найдем частную производную функции по пере-

f

менной z: z . Теперь x и y являются фиксированными перемен-

ными и функцию f можно рассматривать как функцию вида f=ax. Производная этой функции является табличной и определяется сле-

дующим образом: (a x ) a x ln a . Для нашей функции это будет

выглядеть следующим образом: f (xy)z ln xy .

z

б) найдем сначала частную производную функции по пере-

f

менной x: x , тогда переменная y будет фиксированной величи-

ной. Итак:

f	2 2				2 2	2 2				2 2	.
x (sin(x	y ))			x cos(x	y ) (x	y )			x cos(x	y ) 2x

Здесь встретилась сложная функция, и мы сначала нашли производную от внешней функции, а затем от внутренней. При нахождении производной от суммы (x2+y2) помним, что y не меняется и, следовательно, производная от постоянной величины y2 равна нулю.

Теперь найдем частную производную функции по перемен-

f

ной y: y . Фиксированной будет переменная x. Аналогично пре-

дыдущему получим:

40

f	2	2			2 2	2	2			2	2		.
y (sin(x	y	))		y cos(x	y ) (x	y	)		y cos(x	y		) 2 y

в) найдем частную производную функции по переменной x:

f

x , тогда y и z – зафиксированные переменные и функцию можно

x

x

1

x

преобразовать следующим образом:

f

e z

xe

z

. Постоян-

y

y

ную величину

1

можно вынести за знак производной и искать

y

x

производную от произведения x e z

. Воспользовавшись правилом

определения производной суммы, получим в скобках два слагае-

мых,

в

одном из которых нужно искать производную сложной

x

функции (e z )

z . Получим:

f

1

x

1

x

x

1

x

x

x

(( xe z ))

x

((x)

x e z

x (e z )

x )

(1 e z

x e z

x )

x

y

y

y

z

1

x

x

x

(e z

e

z

) .

y

z

При определении производной функции по переменной y:

f

y , неизменными считаем x и z. Здесь исходную функцию можно

							x
	преобразовать так: f	x		x	x	e z
			e z
									. Мы видим произведение не-
		y				y

которой фиксированной величины (а именно x) на дробь. Теперь для нахождения производной вынесем за знак производной x и воспользуемся правилом для производной дроби:

41

x

x

x

x

x

y y e

( y)

z

z

x

(e

)

y

e z

y

y e z 1

f

e

z

z

x

y x

x

y

y

y

2

y

2

x

x

x

e z 0 y e z

x

x

e z .

y 2

y 2

x

Производная

y равна нулю,

так как сейчас переменные x и z

z

фиксированы, а производная от постоянной величины есть ноль.

f

Теперь найдем производную функции по переменной z: z ,

постоянными будут величины x и y. Тогда дробь

x

можно вынести

y

x

за знак производной и искать производную только от e z . Получим:

f

x

x

x

x

x

x

x

1

x2

x

1

x2

x

e z

z

e z

z

e z

x

z

e z

e z .

2

2

z

y

z

y

z

y

z

yz

y

42

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Определение относительной погрешности косвенных измерений

Мы уже отмечали, что часто бывает удобно сначала определить относительную погрешность косвенного измерения f , а затем абсолютную. Покажем это на примерах.

Пример. Пусть x, y и z – прямо измеренные величины, а f – косвенно определяемая через них величина. Вывести формулы для определения относительной погрешности косвенных измерений:

					x		x
	а) f=(xy)z;	б) f=sin(x2+y2);		в) f
						e z .
					y
	Значения x , y ,	z и	f f ( x , y ,	z ) считать известными.
	Решение:
	Напомним, что f		рассчитывается по формуле:

f

ln( f (x))

2

ln( f ( y))

2

ln( f (z))

2

.

x

x

y

y

z

z

x , y , z ,...

x , y , z ,...

x , y , z ,...

а) Сначала прологарифмируем функцию f=(xy)z : ln f ln(( xy)z ) z ln( xy) .

Теперь найдем частные производные	ln f	,	ln f	и	ln f	:
	x		y		z

ln f

x

ln f

y

ln f

z

(z ln( xy))

x

(z ln( xy))

y

(z ln( xy))

z

Тогда:

1

z

zy

z

;

(zln( xy))

x z xy

(xy)

x

y(x)

x

1

xy

xy

x

1

z

zx

z

;

(zln( xy))

y z xy

(xy)

y

xy x( y)

y

1

xy

y

(zln( xy)) z ln( xy) (z) z ln( xy) 1 ln( xy) .

43

2

2

ln( xy)

z 2 ,

z

x

z

y

f

x

y

x , y

x , z

y , z

z

2

z

2

ln(

x y ) z 2 .

x

y

f

x

y

Теперь, зная f и

f f ( x ,

y ,

z ) , рассчитаем f :

f f

f ( x , y , z ) .

б) Прологарифмировав данную функцию f=sin(x2+y2), полу-

чим:

ln f ln(sin( x2 y2 )) . Мы видим, что выражение лишь услож-

нилось, искать производную от исходной функции проще, чем от ее логарифма. Поэтому запишем частные производные функции:

f	2	2		;	f	2	2		.
x cos(x	y		) 2x		y cos(x	y		) 2 y

Подставим эти данные в формулу для определения абсолютной погрешности косвенного измерения. Напомним, что f рас-

считывается так:

f (x)

2

f ( y)

2

f (z)

2

f

x

y

z

... .

x

y

z

x , y , z ,...

x , y , z ,...

x , y , z ,...

Получим:

f cos( x 2 y 2 ) 2 x x 2 cos( x 2 y 2 ) 2 y y 2 .

Теперь, зная f и		f f (		x ,	y , z ) , можно рассчитать
f :
f			f			.
			f ( x ,	y ,
					z )

в) В этом примере исходную функцию удобно прологариф-

44

мировать:
x			x			x		x		x
ln f ln		e z			ln x ln e z		ln y ln x		ln e ln y ln x		ln y .
								z		z
y

Теперь будет проще искать частные производные. Итак:

ln f

x

(ln x)

(x / z)

(ln y)

1

1

1

1

,

ln x

ln y

0

x

x

z

x

x

x

x z

x z

ln f

x

(ln x)

(x / z)

(ln y)

1

1

,

ln x

ln y

0

0

y

y

z

y

y

y

y

y

ln f

x

(ln x)

(x / z)

(ln y)

1

x .

ln x

ln y

0

x

0

z2

z2

z

z

z

z

z

z

Подставим полученные значения в формулу для определенияf . Получим:

			1			1
f
						z
			x
									x , z

2

1

2

x

2

x

y

z ,

2

z

y

x , z

y

1

1

2

1

2

x

2

.

f

x

z

x

y

y

z

2

z

Теперь,

зная

f и

f

f (

x ,

y ,

z ) ,

рассчитаем f :

f f

f ( x , y , z ) .

45

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Погрешности элементарных функций

Таблица 4

№

Вид функции

Абсолютная по-

Относительная

z = z(a)

грешность

погрешность

z

z

z

1

ca, c = const

c a

a

a

2

an , n 0

na n 1 a

n

a

a

3

a

a

a

1 a

1 a 2

a 1 a

4

a

a

a

1 a

1 a 2

a 1 a

5

n

1 a

n a

1

a

a

n

a

n

a

6

a

a

a

a

ec , c const

ec

c

c

7

a

a

ln A a

ln A

a

Ac , c const

Ac

c

c

A const

8

ln a

a

a

a

a ln a

9

a

const

a

a

a

a

sin

, c

cos

c tg

c

c

c

c

c

10

a

const

sin

a

a

a a

cos

, c

tg

c

c

c

c c

11

a

1

a

2

a

tg

, c const

cos

2 a

c

2a

c

c

sin

c

c

12

a

const

1

a

2

a

ctg

, c

c

sin

2

a

c

2a

c

sin

c

c

46

Наиболее часто встречаются следующие случаи определения погрешностей:

1. Погрешности в суммах и разностях. Если а1 и а2 измере-

ны с погрешностями а1 и а2 и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности А = а1 ± а2, то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):

А = а1 + а2.

2. Погрешности в произведениях и частных. Если измерен-

ные значения а1 и а2 используются для вычисления А = а1 а2 или А = а1 / а2, то суммируются относительные погрешности:

εА = εа1 + εа2, где ε = а / а.

3.Измеренная величина умножается на точное число. Ес-

ли а используется для вычисления произведения А = В а, в котором В не имеет погрешности, то А = | В | εа.

4.Возведение в степень. Если а используется для вычисления степени А = аn, то А = n εа.

5.Погрешности в произвольной функции одной перемен-

ной. Если а используется для вычисления функции А(а), то:

А dAda а .

Пример 1. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I. Так как P = I2 R, то, применяя правила 2 и 4, получим εP = εR + 2εI.

Пример 2. Измерением найдено значение угла α = (20±3) . Необходимо найти cosα. Наилучшая оценка для cos20 = 0,94. Погрешности Δα = 3 = 0,05 рад. Тогда по правилу 5 имеем εcosα = (sin20 ) 0,05 = 0,34 0,05 = 0,02. Окончательно cosα = 0,94 ± 0,02.

47

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

В приведенной таблице представлены экспериментальные данные, с помощью которых можно определить сопротивление некоторого образца:

				Таблица 5
I, мА	U, В	I2,( мА)2	U2, В2	IU, мА В
12,1	2,7	146,41	7,29	32,67
15,9	3,3	252,81	10,98	52,47
21,8	3,2	475,24	10,24	69,76
25,0	3,2	625,00	10,24	80,00
29,8	3,5	888,04	12,25	104,30
33,5	4,3	1122,25	18,49	144,05
38,3	4,0	1466,89	16,00	153,20
41,0	4,6	1681,00	21,16	188,60
46,6	5,1	2171,56	26,01	237,66
54,8	5,1	3003,04	26,01	279,48

1. В качестве переменной x выступает сила тока I,

переменной y

1

n

является

напряжение

U.

По

формулам

x

xi

и

n i 1

1

n

y

yi

вычисляют

средние

значения

перемен-

n i 1

ных:

I

12,1 15,9 21,8 25,0 29,8 33,5 38,3 41,0 46,6 54,8

10 3

10

318,8

10 3 31,88 10 3

( А) ,

10

U

2,7 3,3 3,2 3,2 3,5 4,3 4,0 4,6 5,1 5,1

39

3,9(В) .

10

10

1

n

1

n

2.

По формулам

x2

xi2

и y2

yi2

вычисляют

n i 1

n i 1

средние квадраты:

I 2

146,41 252,81 475,24 625,00 888,04 1122,25 1466,89

10

48

	1681,00 2171,56 3003,04 10 6										11832,24				10 6 1183,224 10 6 ( А2 ) ,
								10
	U 2		7,29 10,98 10,24 10,24 12,25 18,49 16,00 21,16
								10
	26,01 26,01				158,67	15,867(В2 )
		10
										1		n
	3. Рассчитывают <xy> как xy											xi yi			:
										n i 1
	IU			32,67 52,47 69,76 80,00 104,30 144,05 153,20
								10
	188,60 237,66 279,48 10 3								1342,19				10 3 134,219 10 3 ( А В)
								10

4. Определить оптимальные значения коэффициентов а и b по формулам:

	a							xy x y					b		x2	y x xy
												,
								x2 x 2								x2				x 2
				134,219 10 3 31,88 10 3												3,9			49,4182 103
	а																					59,243(В / А) ,
				1183,224 10 6 (31,88 10 3 )2																166,8896
				1183,224 10 6 3,9 31,88 10																3 134,219 10			3		1183,2
	b																										.
											1183,224 10 6					(31,88 10 3 )2
	5. Определяют квадрат среднего квадратичного отклонения σ2:
		2						n		y2 y			2 a2 x2							x 2
								n 2
		2					10				15,867 (3,9)2 (59,243)2 1183,224 10 6 (31,88 10 3 )
							10		2
			10			15,867 15,21 3509,73311183,224 10 6 1016,3344 10 6
		8
		10						0,657 0,586						10 0,071				0,08875
		8													8

4.Определить квадраты средних квадратичных отклонений σа2 и σb2:

49