metodichka_po_pogreshnostyam

прямые линии, как встречающиеся в повседневной жизни, так и построенные в виде графиков. Визуально удается достаточно точно восстановить из графика всю прямую, даже в той области, где информация о ней частично отсутствует. Это означает, что проводимая «на глаз» прямая, которая проходит по точкам, содержащим экспериментальный разброс, оказывается удивительно близкой к оптимальной, построенной с помощью методов математической статистики. Собственно, возможности статистики применительно к линейной зависимости определяют второе обстоятельство ее частого использования. Дело в том, что параметры линейной зависимости и их погрешности могут быть надежно оценены на основе метода, называемого методом наименьших квадратов. Ниже, помимо этого метода, рассмотрены варианты графической и простой статистической (метод парных точек) обработки линейной зависимости.

2.3. Определение параметров линейной зависимости из графика

После нанесения на график экспериментальных точек по ним «на глаз» проводят прямую. Строят ее таким образом, чтобы точки в среднем одинаково располагались по обе стороны от прямой. На рис. 12 это прямая I.

На ней выбирают две точки (1 и 2) максимально удаленные друг от друга.

Их координаты x1, y1 и x2, y2 подставляют в два уравнения с неизвестными a и b:

y1 ax1 b , y2 ax2 b

из которых находят:
a	y1	y2	,b	y2 x1	y1x2	.	(2.27)
		x
	x			x x
2		1	1		2

30

Для оценивания a и b строят две дополнительные прямые симметричные относительно прямой I, чтобы экспериментальные точки, в основном, располагались между ними (пунктирные линии на рис. 12).

y

		III		I
y2
	2			II
		A
y1
		1
0	x1		x2	x

Рис. 12. Графическая обработка линейной зависимости.

Если на графике имеются точки, которые отстоят от основной прямой I более, чем на утроенное среднее расстояние точек до прямой (это хорошо заметно уже при рассматривании графика – на рис. 12 такой точкой является точка А), то их отбрасывают и не используют при построении дополнительных прямых. Соответствующие измерения, скорее всего, содержат промахи.

Дополнительные прямые определяют «коридор погрешностей» эксперимента, внутри которого находится исследуемая линейная зависимость. Предельные случаи хода этой зависимости получатся, если провести прямые через противоположные углы «коридора» (прямые II и III). Тем же способом, что и для основной прямой I, находят параметры предельных прямых a1, b1 и a2, b2 . Оценки погрешностей:

a			a1 a2			, b			b1 b2
		2		2

Может оказаться, что теоретическую зависимость между измеряемыми величинами предполагают линейной, а экспериментальные точки явно не ложатся на прямую. Проведение по ним прямой, как это сделано на рис. 13, неправомерно. Расхождение между теоретической и экспериментальной зависимостями свидетельствует о наличии систематических погрешностей, которые

31

должны быть выявлены и учтены при обработке результатов. Иначе экспериментатору остается только констатировать расхождение модели с экспериментом.

Часто линейная зависимость является приближенно справедливой в ограниченном интервале изменения физических величин. В таком случае необходимо определить границы применимости линейной зависимости и указать их при анализе результатов эксперимента.

Рис. 13. Расхождение получаемой по точкам линии с линейной зависимостью.

2.4Метод парных точек

Внекоторых физических экспериментах основной интерес представляет только угловой коэффициент (параметр а) зависимости (2.26). Для оценивания значения коэффициента и определения его погрешности удобен метод парных точек. Он заключается в следующем. После нанесения на график экспериментальных точек из них выбирают пары, в которых точки отстоят друг от друга примерно на одинаковое расстояние. Желательно, чтобы это расстояние было максимально возможным. Через каждую пару проводят прямую, а затем согласно (2.27) вычисляют угловые коэффициенты всех прямых. Из получившегося набора коэффициентов по правилам обработки данных прямых измерений определяют среднее значение коэффициента и его погрешность. Их принимают за результат измерения искомого параметра зависимости (2.26).

Следует отметить, что аналогичным образом в зависимости (2.26) можно найти свободный член (параметр b). По парам точек согласно (2.27) вычисляют свободные члены всех полученных прямых. Затем указанным выше способом рассчитывают среднее значение и погрешность.

Рассмотрим пример конкретной обработки данных эксперимента по измерению сопротивления R участка электрической цепи. Измеренные значения тока I и соответствующие им значения падения напряжения U приведены в таблице 2.

32

Теоретическое описание исследуемой зависимости дает закон Ома U R I , где сопротивление R является угловым коэффициентом линейной зависимости, проходящей через начало координат. Значит, для его определения можно воспользо-

Таблица 2 Падение напряжения в зависимости от

силы тока.

№	I, mA	U,В
1	13,2	11,07
2	16,9	19,09
3	25,3	28,94
4	44,3	36,03
5	46,1	46,88
6	62,7	57,31
7	70,0	67,59
8	81,1	76,91

ваться методом парных точек. Нанесем экспериментальные точки на график (рис. 14) и пронумеруем их по порядку от 1 до 8. Выберем пары точек 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 и занесем их координаты в таблице 3, которую используем для проведения необходимых вычислений.

Рис. 14. К расчету погрешностей методом

наименьших квадратов.

Таблица 3 Обработка данных методом парных точек.

№	Пары	I, мА	U,	R U ,			R	R	,	(R			)2 103 Ом2
												R
	точек		В			I	Ом
						Ом
1	1-5	32,9	35,81	1088			113			12,8
2	2-6	45,8	38,22	834			-141			19,9
3	3-7	44,7	38,65	865			-110			12,1
4	4-8	36,8	40,88	1111			136			18,5
										(R			)2 =63,3*103
				R =975							R

33

				(R	R	)2			63.3 103		=72,6 Ом
				n(n 1)					4 3
		R

Для n=4 и доверительной вероятности =0,95 коэффициент Стьюдента tα,n(0,95;4)=2.78.

Погрешность: R=tσR; R=72,6 2.78= 201,828 Ом.

Окончательный результат: R = (1,0±0,2) к Ом.

Точность измерения сопротивления невелика, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.

2.5 Метод наименьших квадратов

Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональным зависимостям физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости (2.26), и позволяет получить достоверные оценки ее параметров: коэффициента наклона a и сдвига относительно начала координат b, а также оценить их погрешности. Дело в том, что через одну и ту же совокупность точек на плоскости можно провести различные прямые, причем часть экспериментальных точек на эту прямую не попадает. Задача заключается в отыскании такой прямой, для которой все не попавшие на нее точки отстоят на минимальные расстояния (по сути это абсолютные погрешности измерений). Так как точки будут располагаться по обе стороны от проведенной прямой, то погрешности будут и положительными и отрицательными, и для нахождения их совокупного влияния каждую из них необходимо возвести в квадрат (чтобы избежать компенсации при сложении) и затем сложить. Полученная сумма должна быть минимальной.

Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y : xi, yi, где i = 1, ... , n. По экспериментальным данным необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий a2 и b2.

Для практических расчетов методом наименьших квадратов удобно использовать следующий алгоритм:

1. Вычислить значения следующих средних величин:

34

				1	n			1	n
			x		xi	, y			yi ,
				n i 1				n i 1
		1	n			1	n			1	n
	x2		xi2 ,	y2			yi2 ,		xy		xi yi .
		n i 1				n i 1				n i 1

2. Определить оптимальные значения коэффициентов а и b:

a	xy x y	, b	x2 y x	xy	.
	x2 x 2		x2 x 2

	3. Определить квадрат среднего квадратичного отклонения σ2:
	2	n	y2		y 2 a2	x2		x 2 .
		n 2

4.Определить квадраты средних квадратичных отклонений σа2 и σb2:

a2 n x2	2	x 2 ,	b2 a2 x2 .

5. Вычислить погрешности a a2 и b b2 .

Эти выражения удобны и для прямых расчетов на калькуляторе, и для программирования вычислений при использовании компьютера. Многие прикладные компьютерные программы (MathCAD, Excel и др.) содержат метод наименьших квадратов. Часто после введения экспериментальных точек они строят график зависимости и тут же автоматически обрабатывают его для определения оценок параметров и их погрешностей.

35

Контрольные вопросы

1.Что такое измерение? Чем отличаются прямые и косвенные измерения?

2.Какие погрешности называются случайными? систематическими? промахами? Приведите примеры.

3.Расскажите, в какой последовательности производится обработка результатов прямых измерений.

4.Как производятся обработка результатов косвенных измерений? Напишите выражение для абсолютной погрешности, относительной погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

5.С каким числом значащих цифр записывается погрешность результата измерений и сам результат? С каким числом значащих цифр достаточно производить вычисления погрешностей?

6.Что такое график?

7.Как выбирают и наносят на график масштаб?

8.Как следует проводить кривую по нанесенным на график экспериментальным точкам? Почему?

9.В чем достоинства графического представления результатов эксперимента?

10.В чем смысл линеаризации экспериментальных зависимостей? Опишите последовательность действий при графической обработке линейной зависимости.

11.Что такое метод парных точек? Как его применить на практике?

12.В чем сущность метода наименьших квадратов? Каков его алгоритм?

36

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Селиванов, М.Н., Фридман, А.Э., Кудряшова Ж.Ф. Качество измерений. Метрологическая справочная книга. – Л.: Лениздат,

1987.

2.Демкович, В.П., Прайсман Н.Я. Приближенные вычисления в школьном курсе физики. – М.: Просвещение, 1967.

3.Зайдель, А.Н. Элементарные оценки ошибок измерений. Изд. 3- е. – Л.: Наука, 1968.

4.Каменецкий, С.Е. Обработка результатов измерений при выполнении лабораторных работ. – Физика в школе, 1961. – № 1.

5.Поттер, Д. Вычислительные методы в физике. – М.: Наука,

1978.

6.Степанов, С.В., Смирнов А.В. Лабораторный практикум по физике / Под ред. Степанова С.В. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003.

7.Фетисов, В.А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1974.

8.Тартаковский, Д.Ф. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 2001.

9.Лабораторные занятия по физике: Учебное пособие / Л.Л. Гольдин, Ф.Ф. Игошин, С.М. Козел и др.: Под ред. Гольдина Л.Л. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Гмурман, В.Е. Элементы приближенных вычислений. – М: Высшая школа, 2005.

2.Колемаев, В.А., Калинина, В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Под ред. Колемаева В.А. – М.: ИН- ФРА-М, 1999.

3.Сизиков, В. С., Математические методы обработки результатов измерений. – М: Политехника, 2001 год.

4.Кузнецов, В.А., Ялунина, Г.В. Основы метрологии. – М.: Издательство стандартов, 1995.

5.Сысоев С.М. Лабораторный практикум по электричеству и магнетизму: Методические указания к лабораторным работам по курсу общей физики. Для студентов всех специальностей / Сысоев С.М., Манина Е.А., Никонова Н.О.; Под ред. С.М. Сысоева. – Сургут: Изд-во СурГУ, 2004.

37

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Правила округления чисел

Практикой выработаны следующие правила округления результатов и погрешностей измерений.

1.Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду погрешности, например, результат 2,0700, погрешность 0,001; результат округляют до 2,070.

2.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры числа не изменяют, например, число 253435 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до

235400, число 235,435 – до 235,4.

3.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, например, при сохранении трех значащих цифр число 18598 округляют до 18600,

число 152,56 – до 153.

4.Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная и увеличивают, если она нечетная, например, число 22,5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а

число 23,5 – до 24.

		ПРИЛОЖЕНИЕ 2
	Основные свойства логарифмов
1. Если x1 0	и x2 0 , то	loga (x1 x2 ) loga x1 loga x2 .

(Формула для логарифма произведения).

2. Если x1 0 и	x2 0	, то loga	x1
			x2

(Формула для логарифма частного).

3. Если x 0 , то loga x p p loga x , где р – ное число. (Формула для логарифма степени).

loga x1 loga x2 .

любое действитель-

38

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Понятие частной производной и примеры вычисления частных производных функции нескольких переменных

Пусть существует функция нескольких переменных f=f(x,y,z…) и пусть существует некоторая точка М0 с координатами М0(x0,y0,z0…), в которой эта функция определена. Зафиксируем все переменные, кроме первой: f(x,y0,z0…). Тогда предел функции f в точке М0 равен:

lim	f (x, y0 , z0 ...) f (x0 , y0 , z0 ...)		f (М	0 )	.
	x x0		x
x x0

Определение. Если данный предел существует и конечен, то он называется частной производной функции f по переменной x, вычисленной в т x0.

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным:

f (Мy

f (М 0 )

z

Пример.

для следующих

0 ) lim		f (x0 , y, z0 ...) f (x0 , y0 , z0 ...)				;
y y0		y y0
lim	f (x0 , y0 , z...) f (x0 , y0		, z0	...)	и т.д.
		z z0
z z0

Вычислить частные производные первого порядка функций:

				x		x
	а) f=(xy)z;	б) f=sin(x2+y2);	в) f		e z .
				y

Решение:

а) найдем сначала частную производную функции по пере-

f

менной x: x , тогда все остальные переменные (y и z) зафиксиру-

ем, т.е. сейчас будем считать их постоянными величинами. Функцию удобно представить в виде произведения: f=(xy)z=xzyz. Тогда:

39