Основные функции

В качестве «хороших» функций, мы рассмотрим множество К всех вещественных функций (x) (одномерное или К -мерное пространство переменных), каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитны (т.е. = 0 вне некоторой ограниченной области). Эти функции будем называть основными, а всю эту совокупность К основным пространством. Эти функции можно складывать и умножать на вещественные числа, при этом снова будут получаться основные функции.

Поэтому, совокупность К – есть линейное пространство.

Примером основной функции, обращающейся в 0 при :

(2)

может служить функция

(3)

Обобщенные функции

Мы будем говорить, что задан линейный непрерывный функционал f на пространстве К, если указано правило, в силу которого с каждой основной функцией (x), сопоставлено некоторое вещественное число ( f, ) и при этом выполнены следующие условия:

а) для любых двух вещественных чисел ₁ и ₂, и любых двух основных функций ₁(x) и ₂(x) имеет место равенство:

(свойство линейности функционала f )

б) непрерывность функционала f

Если последовательность основных функций ₁, ₂, …, _n   в пространстве К, то последовательность чисел:

( f,₁), ( f,₂ ), …, ( f,_n ) cходится к ( f, ).

Итак:

(4)

где f(x) - абсолютно интегрируемый функционал в конечной области пространства R_n; (x) - основная функция. С помощью этой функции f(x) мы можем каждой основной функции (x) сопоставить (4).

Это интегрирование осуществляется по ограниченной области, вне которой функции (x) обращается в нуль.

Функционал вида (4) есть частный случай линейного непрерывного функционала на пространстве К.

Определение  - функции

Если функционал ставит в соответствие каждой функции (x) её значение в т. x₀, т.е.

, (5)

то функционал f(x) будем называть  - функцией

(6)

и сдвинутой  - функцией

(7)

Обобщённой функцией мы будем теперь называть каждый линейный непрерывный функционал, определённый на основном пространстве К.

Обобщённые функции, заданные выражением (4), будем называть регулярными; все остальные (в том числе и  - функцию) – сингулярными.

Предельный переход

Последовательность обобщённых функций по определению сходится к обобщённой функции f , если для любой основной функции (x)

lim ( f_n, ) = ( f, ) (8)

n

Можно, разумеется, считать, что n пробегает также и непрерывное множество значений - определение предельного перехода остаётся таким же.

Аналогично, ряд из обобщённых функций называется сходящимся к обобщённой функции , если последовательность частичных сумм этого ряда

сходится к обобщённой функции.

Пример.

Последовательность регулярных функционалов может иметь пределом сингулярный функционал. Так, функционал

(9)

совпадает при с обычной функцией 1/x, неинтегрируемой в любой окрестности начала координат, и потому, не являющийся регулярным. Но, из самого построения видно, что этот функционал есть предел при регулярных функционалов, отвечающих функциям 1/x при и равным нулю .

Можно показать, что каждый сингулярный функционал есть предел регулярных.