Дельта – образные последовательности
Обобщённую сингулярную функцию можно представить как предел последовательности регулярных функций.
Можно многими способами строить последовательности регулярных функционалов, сходящихся к - функции.
Для того, чтобы соответствующие функции имели - образный вид, нужно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) Каково бы ни было M > 0, при , величины ограничены постоянной, не зависящей от a, b, (зависят только от M).
2) при любых фиксированных a и b, отличных от нуля
Итак, другими словами, чтобы последовательности регулярных функционалов имели - образный вид, нужно, чтобы регулярные функции удовлетворяли условиям
(10)
(11)
Рассмотрим следующие примеры:
1. Ступенька f(x,a)
1/2a – из нормировки
х
1) -a a
Тогда: проверяем:
(12)
2) Проверим главное свойство:
При
Пояснение: (13)
Тогда,
В силу непрерывности последовательность регулярных функционалов f(x,a) сходится к дельта функции
2. Лоренцев импульс
(14)
y
x
Проверим свойства:
1)
(15)
2)
(16)
В силу непрерывности функционала
, т.е.
3. Гауссов импульс
(17)
Центрированные нормальные кривые распределения
Покажем, что при эта функция стремится к - функции. Заметим, что , поэтому, при любых a и b
1) (18)
(Известно из нормального распределения)
Сделав замену (эта замена переменных, чтобы отнормировать кривую), мы видим, что
(19)
Далее, для гауссова импульса для любого
(20)
(Пояснение: безразмерная величина ,
интегрирование от b до , x – переменная интегрирования, поэтому правый интеграл больше левого).
Таким образом, интегралы (20) по любому промежутку из , стремятся к нулю.
Аналогично, при (-, a), a < 0. Таким образом есть дельтаобразная последовательность и значит, что
(21)
4. Рассмотрим функцию
(22)
Покажем, что при эта функция стремится к - функции.
Известно, что по теореме Лобачевского:
Тогда, имеем для первого свойства
1) (23)
Второе свойство:
2) (24)
Отсюда следует, что для всех функции образуют -образную последовательность, т.е., что
; (25)
1 В.С.Владимиров «Уравнения математической физики». - М.: Наука, 1971 г.
** И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов «Обобщенные функции». – М.: Физматлит, 1959 г.