2 Основная часть

2.1 Матрицы и линейные пространства

образует некоторое множество связей между переменными х₁, х₂, .... х_п и у, у₂, у_т- Эти связи, или линейное преоб­разование переменных х в переменные у, полностью характери­зуется упорядоченным набором коэффициентов а_{i j}. Если ука­занное множество коэффициентов обозначить через А и запи­сать в виде

то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать как «Ах = у». Несомненно, приведенное выражение по виду зна­чительно проще, чем соответствующая система линейных урав­нений. Это одна из основных причин использования матриц. Матричное уравнение или система матричных уравнений со­держат в компактной форме большой объем информации. Если не прибегать к указанному компактному обозначению, то анализ системы линейных уравнений оказывается достаточно гро­моздким.

Рассмотрим теперь прямоугольную таблицу, составленную из упорядоченных элементов выражения. Элементами таблицы могут быть действительные или комплексные числа или функции от заданных переменных. Матрицей называется прямо­угольная таблица указанного вида, которая, в отличие от обыч­ной прямоугольной таблицы, подчиняется определенным прави­лам сложения, вычитания, умножения и равенства. Элементы матрицы а_11, а₁₂ ...а_{i j} записываются при помощи двойного индекса. Первый индекс указывает строку таблицы, на которой расположен элемент, а второй — ее столбец. Матрицы обозна­чаются¹ здесь жирными буквами А, В, а, b и т. д. или посред­ством написания общего элемента a _{i j}, заключенного в квадрат­ные скобки. Столбцы матрицы называются векторами столбцами, а строки матрицы — векторами-строками. Матрица, содержа­щая m строк и n столбцов, называется (m X n)-матрицей, или как говорят матрица порядка m на n. Квадратная матрица (m=n) является матрицей n-ого порядка.

Матрицы и линейные пространства

2.1.2 Основные типы матриц.

Матрица-столбец.

Матрица m*1 называется матрицей-столбцом или вектором – столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк

Матрица-строка.

Диагональная матрица

Единичная матрица

Нулевая матрица.

Все элементы, которой тождественно равны нулю

Транспонированная матрица.

Матрица у которой строки и столбцы поменяны местами, обозначается

как А^т .

i-го столбца матрицы А равен элементу i-й строки j-ro столбца А^т. Если А — матрица (m*n), то А^т — матрица (m*n).

Специальные типы матриц, (а) Симметрическая матрица. Квадратная матрица с действительными элементами называется симметрической, если она равна своей транспонированной, т. е. если

А = А^т или а_ij — a_ji (i j = 1,…,n).

Кососимметрическая матрица. Действительная квадратная матрица называется кососимметрической, если

А = — А^т или а_ij = — а_ji (i j = 1, ..., n).

Отсюда, конечно, следует равенство нулю элементов, лежащих на главной диагонали.

Комплексно сопряженная матрица.

Если элементы матрицы А комплексные (а_ij= а_ij + iB_ij), то комплексно сопряженная матрица В содержит элементы B b_ij= . Это записывается в форме В = А*.

Сопряженная матрица.

Матрица, сопряженная по отношению к А, является транспонированой и комплексно сопряженной по отношению к А, т. е. равна (А*)^т.

Действительная матрица.

Если А = А*, то матрица является действительной.

Мнимая матрица.

Если А = —А*, то матрица А мнимая.

Эрмитова матрица.

Если матрица равна своей сопряженной, то она называется эрмитовой, т. е. если А=(А*)^т, то А — эрмитова матрица.

Косоэрмитова матрица.

Если А = — (А*)^т, то А — косоэрмитова матрица.