2.2.4 Определение области устойчивости
Структура системы определяется составом элементов звеньев и связями между ними. Поэтому изменить структуру системы — это значит изменить состав ее элементов или связи между ними.
При заданной структуре какие-либо параметры могут быть не фиксированными, т.е. их можно изменять. Такие параметры называют варьируемыми. При наличии варьируемых параметров возникает проблема определения области устойчивости.
Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.
Если существует область устойчивости в пространстве параметров, т.е. существуют такие значения варьируемых параметров, при которых система устойчива, то она называется структурно устойчивой или структурно устойчивой относительно заданных варьируемых параметров. В противном случае, т.е. если нет таких значений варьируемых параметров, при которых система устойчива, она называется структурно неустойчивой или структурно неустойчивой относительно заданных варьируемых параметров.
Область устойчивости можно определить с помощью алгебраических критериев устойчивости. Рассмотрим это на примере.
Пример 3.7. Передаточная функция разомкнутой системы
. Определить область устойчивости замкнутой сис-
темы на плоскости параметров (K,Т).
Решение. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
По критерию Льенара-Шипара имеем
Очевидно, эти неравенства будут выполнены, если
Эта система неравенств определяет область устойчивости.
Разработан специальный метод определения области устойчивости, названный методом 12-разбиения.
Метод D-разбиения. Если имеются варьируемые параметры, то корни характеристического уравнения зависят от этих параметров, и пространство параметров можно разбить на области, которым соответствует фиксированное количество левых корней. Область, которой соответствует к левых корней характеристического уравнения, обозначим D(k). В общем случае все пространство параметров можно разбить на области D(0), D(l),..., D(n). Область D(n) является областью устойчивости, так как при значениях параметров из этой области п корней (т. е. все корни) являются левыми.
В частном случае какие-либо области могут отсутствовать. Если система структурно неустойчива, то будет отсутствовать область устойчивости D(n).
Разбиение пространства параметров на все возможные области D(k) называется D-разбиением. Кривая, разделяющая области D(k) с различными индексами к, называется кривой D-разбиения. Так как во время движения в пространстве параметров при пересечении кривой .D-разбиения происходит переход из области D(k') с числом левых корней к — к1 в область D(k") с числом левых корней к = к", то часть левых корней становятся правыми (к'>к") или часть правых корней становятся левыми (к' < к"). Но так как переход корней на комплексной плоскости из одной полуплоскости в другую происходит только через мнимую ось (включающую и бесконечно удаленную точку), то уравнение кривой D-разбиения получается из характеристического уравнения Q( ) =0 при подстановке в него:
. (3.16)