TIPOVOJ_RASChET_4_MART

В а р и а н т

11

1.

Найдите неопределенные интегралы:

∫

(sin x −cosx)dx

б) ∫e

−3 x

в) ∫

x3 −6x2 +10x −10

dx ;

а)

(cos x +sin x)5 ;

(2 −9x)dx ;

(x +1)(x −2)3

г) ∫

4x2 +3x + 4

dx ;

д) ∫

dx

.

(x2 +1)(x2 + x +1)

2cos2 x +sin2 x −5

2.

Вычислите определенные интегралы:

1

1

2

1

3

x

8

а)

∫e 2 dx ;

б) ∫

4 − x2 dx ;

в) ∫arccos 4xdx .

1

x

0

0

2

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а) y = 2x − x

2

+

3 ,

y = x

2

−

4x +

3 ;

x = 2

2 cost,

y =3 ( y ≥3) ;

б)

в) ρ =6cos5ϕ.

y

=3

2 sin t,

4.

Вычислите длины дуг кривых:

π

3

а)

y = −x2 + 2 ,

y ≥ 0 ;

б) x =6cos

t,

0 ≤t ≤

;

3

−π

π .

y =6sin3 t,

в) ρ =1−sinϕ,

≤ϕ ≤ −

2

6

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = 2 + x2 ,

x =4, x =1, y =1,

x =

y −2 .

6.

Вычислите несобственные интегралы

π

−∞

dx

2

dx

а)

+∞∫

;

б) ∫0

.

x2 + 4x +9

cos x

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞ 3x2 + (x +1)3

1

(1 −cos x)2

а) ∫1

dx ;

б) ∫0 ln3 (1 + x) dx .

2x3 + 3 x5 +1

В а р и а н т

12

1. Найдите неопределенные интегралы:

∫

xdx

б) ∫(5x +6) cos 2xdx ;

в) ∫

x3 + x +2

а)

;

dx ;

3 x2 −10

(x +2)x3

г)

∫

2x3 +7x2 +7x +9

dx ;

д) ∫

dx

.

(x2 + x +1)(x2 + x + 2)

3tgx +ctgx +2

2. Вычислите определенные интегралы:

3

arctgx + x

4

dx

1

2

а)

∫

1 + x

2

dx ;

б) ∫

;

в) ∫log2 (x

+1)dx .

(16 + x

2

)

3 / 2

0

0

0

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

2

2

x =6(t −sin t),

а) x = 4 − y

,

x = y

−2 y ;

б)

{y =6(1 −cost),

y

≥9 (одна арка циклоиды);

в) ρ =2 −sinϕ.

4. Вычислите длины дуг кривых:

π

t

а)

y =1 − x2 ,

y = x2 ;

б)

x =et

(cost +sin t),

2

≤t ≤π ;

y =e

(cost −sin t),

в) ρ = 2(1 −cosϕ) ,

−π ≤ϕ ≤−π .

2

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = x2 , y =1,

x = 2 .

6. Вычислите несобственные интегралы

π

а) ∫1

dx

;

б) ∫2

dx

.

0 (1 + x)

x

0

sin x

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

а)

+∞∫

sin 1x

dx ;

б) ∫1 arctgx3

2 dx .

1

2 + x

x

0

x x

В а р и а н т

13

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

arcsin x + x

dx ;

б) ∫(5x −2)e

3 x

dx ;

в) ∫

2x3 +6x2 +7x +4

dx ;

1 − x2

(x + 2)(x +1)3

г) ∫

2x3 + 4x2 + 2x + 2

д) ∫

dx

dx ;

.

(x2 + x +1)(x2 + x + 2)

7cos x +5sin x −3

2.

Вычислите определенные интегралы:

3 x −(arctgx)4

4

2

2

2

2

а)

∫

dx ;

б)

∫x

16 − x

dx ;

в) ∫(x

+3)log2

xdx .

1 + x

2

0

0

1

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

3

а)

y = arctgx ,

x =0, x =

3 ; б) x =32cos

t,

x = 4 (x ≥ 4) ;

в) ρ = 4cos 4ϕ .

y =sin3 t,

4.

Вычислите длины дуг кривых:

а)

y = 2

x

−

x

0 ≤ x

≤ 4 ;

б)

x = 2,5(t −sin t),

π ≤t ≤π ;

e4 +e

4

,

−π ≤ϕ ≤0 .

{y = 2,5(1 −cost),

2

в)

ρ =3(1 +sinϕ) ,

6

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = x3 ,

y =

x .

6.

Вычислите несобственные интегралы

3

2xdx

+∞

а)

∫

;

б)

∫e

−x

sin xdx .

(x

2

−1)

2 / 3

1

0

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞ xarctgx

1

arcsin x

а) ∫

x

1 + x

3 dx ;

б) ∫

x

+

x

3 dx .

1

0

В а р и а н т

14

1.

Найдите неопределенные интегралы:

∫

xdx

∫(4x +7) cos3xdx ;

в) ∫

2x3 +6x2 +5x

а)

;

б)

(x +2)(x +1)3 dx ;

x4 −3

г) ∫

x2 + x +3

dx ;

д) ∫

dx

.

(x2 + x +1)(x2 +1)

cos2 x +2sin2 x −3

ln 1

2.

Вычислите определенные интегралы:

exdx

б) ∫4

в) ∫9

а)

∫2

;

x2 16 − x2 dx ;

3

x2 log3 xdx .

2 x

0

1−e

0

1

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

y = 1x ,

y = x2 ,

y =9,

y = 4 ;

б) {xy ==3cos8sin tt,,

y = 4 ( y ≥ 4) ;

в) ρ =4cos2 2ϕ.

4.

Вычислите длины дуг кривых:

x

x =3,5(2cost −cos 2t),

π

а)

y =e

+13,

ln

15 ≤ x ≤ln

24 ;

б) {y =3,5(2sin t −sin 2t),

0 ≤t ≤ 2 ;

в) ρ = 4(1 −sinϕ) ,

0 ≤ϕ ≤ π .

6

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = x2 ,

y =

x .

6.

Вычислите несобственные интегралы

π

+∞

dx

4

dx

а)

∫e

;

б) ∫0

.

x ln3 x

sin 2x

+∞

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

xarctgx

1

x + x3

а)

∫1

dx ;

б) ∫0

dx .

x2 + 2x3

arcsin x3

В а р и а н т

15

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

3x dx

;

б)

∫ln(4x

2

+1)dx ;

в)

∫

2x3 +6x2 +7x −10

dx ;

32 x +5

(x +1)3 (x −2)

г) ∫

x3 + x +1

dx ;

д) ∫

dx

.

(x2 + x +1)(x2 +1)

sin2 x +2cos2 x + 4

2.

Вычислите определенные интегралы:

sin1

5

2 2−x

(arcsin x)2 +1

2

x2dx

а) ∫

dx ;

б) ∫

;

в) ∫3

(3x + 2)dx .

1 − x

2

25

− x

2

0

0

0

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

x

1

x =6(t −sin t),

а)

y =

,

y =

, x =16 ;

б) {y =6(1 −cost),

y ≥ 6 (одна арка цик-

2

2x

лоиды);

в)

ρ = 2 +cosϕ.

4.

Вычислите длины дуг кривых:

π

2

а)

y = 2

x,

x = 0,

x = 4 ;

б) x =(t

−2)sin t +2t cost,

0 ≤t ≤

;

2

−π ≤ϕ ≤0 .

y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

в) ρ =5(1 −cosϕ) ,

4

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y =sin πx

, y = x2 .

2

∞

6.

Вычислите несобственные интегралы

−2 x

4

dx

а)

∫e

cos xdx ;

б) ∫

.

x

2

−4

0

2

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞

3 xarcctgx

1

x3

+ x

а) ∫

dx ;

б) ∫

dx .

x + 2x

3

2

1

0 arcctg4x

В а р и а н т 16

а)

г)

а)

1. Найдите неопределенные интегралы:

∫

xdx

;

б) ∫

xdx

;

в)

∫

2x3 +6x2 +5x + 4

dx ;

x4 −11

cos2

x

(x −2)(x +1)3

∫

2x3 +3x2 +3x + 2

д) ∫

dx

dx ;

.

(x2 + x +1)(x2 +1)

3sin x +1

2. Вычислите определенные интегралы:

π

∫4

3 tgx

dx ;

б) ∫5

x2

25 − x2 dx ;

в) ∫2

(x +1)log3 (x2 + 2x)dx .

2

0

cos x

0

1

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

x =8 − y2 ,

x = −2 y ;

3

x =3 3

(x ≥3 3) ;

б) x =8cos t,

в)

ρ =3 −2sinϕ .

y = 4sin3 t,

4.

Вычислите длины дуг кривых:

2

2

2

x =6(cost +t sin t),

а)

x3

+ y3 =a3 , a >0

(астроида);

б) {y =6(sin t −t cost),

0 ≤t ≤π ;

в)

ρ = 6(1 +sinϕ) ,

−π

≤ϕ ≤0 .

2

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = x2 , x = 2, y = 0 .

6.

Вычислите несобственные интегралы

а)

+∞∫ xe−x2 dx ;

б) ∫e

dx

.

0

1 x

ln x

+∞

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

4

x cos x

1

ex −1

а)

∫1

dx ;

б) ∫0

dx .

3 1 + x2 + 2x6

arcctgx2

В а р и а н т 17

1. Найдите неопределенные интегралы:

а)

г)

а)

1−x2

2

x3 +6x2 + 4x + 24

∫x2

dx ;

б) ∫ln(x

+9)dx ;

в) ∫

dx ;

(x −2)(x + 2)3

∫

4x3 + 24x2 + 20x −28

dx ;

д) ∫

dx

(x +3)2 (x2 + 2x + 2)

.

5cos x +2

2.

Вычислите определенные интегралы:

π

3

e∫

dx

;

б)

4∫3

dx

;

в) ∫2

(2 −5x)cos

x

dx .

2

+1

(64 − x

2

)

3

e

x ln x

0

0

3

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

y =3x2 −2x + 2,

2x − y +1 = 0 ;

б) {yx ==6cos4sin tt,,

x = 2 3 (x ≥ 2 3) ;

в) ρ =8sin2 2ϕ .

4.

Вычислите длины дуг кривых:

а)

y =

2 x 4

x −

2 4

x3

,

заключенной между точками пересечения с осью OX;

5

3

3

0 ≤t

≤

π

;

б) x =8cos t,

6

y =8sin3 t,

−π

π .

в) ρ = 7(1 −sinϕ) ,

≤ϕ ≤

6

6

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y =

x −1,

y = 0,

y =1,

x = 0,5 .

2

6. Вычислите несобственные интегралы

+∞∫

а) ∫3

dx

;

б)

dx

.

2

x

2

−8x +17

1 x 9x

−1

5

3

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞

cos

x

1

e3 x −1

2

а) ∫

dx ;

б) ∫

dx .

x

+

4

x

+3

arcsin x

3

1

0

В а р и а н т 18

1. Найдите неопределенные интегралы:

а)

г)

∫

∫

3x dx			б) ∫(2x −5)cos 4xdx ;			в) ∫	x3 +6x2 +14x + 4	dx ;
	;
9x +5							(x −2)(x + 2)3
3x3 + x + 46			д) ∫	dx
		dx ;			.
(x −1)(x2 +9)				2cos x +3sin x +4

2.

Вычислите определенные интегралы:

e

1 +ln x

2 2

x2 −2

2

2

3

а)

∫

x

dx ;

б) ∫

dx ;

в) ∫(3x

+1)log2 (x

+ x)dx .

x4

1

2

1

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

3

x =10(t −sin t),

а)

y =3

x,

y = x

,

x =9 ;

б) {y =10(1 −cost),

y ≥15

(одна арка цик-

лоиды);

в) ρ = 4cos2 ϕ .

4.

2

Вычислите длины дуг кривых:

x

2

t

(cost +sin t),

а)

y =

,

x = 0,

y =1;

б) x =e

0 ≤t ≤ 2π ;

2

−π ≤ϕ ≤0 .

y =et (cost −sin t),

в) ρ = 6(1 +sinϕ) ,

2

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x2 +1, y = 2, x = 0 .

6. Вычислите несобственные интегралы

2

x3dx

0

xdx

а) ∫0

;

б)

−∞∫

.

4 − x2

x2 +3

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞

xsin

2x

1

ln 1

+

x

)

а) ∫

dx ;

б)

∫

(

dx .

7 21

+5

sin

2

x

1

x

0

В а р и а н т

19

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

8x −arctg2x

dx

;

б)

∫arctg

3x −1dx ;

в) ∫

x3 +6x2 +18x −4

dx ;

1 +4x2

(x −2)(x + 2)3

г)

∫

x3 + 2x2 +10x

dx ;

д) ∫

dx

.

(x +1)(x2 −4x +8)

ctgx +2cos2 x

2.

Вычислите определенные интегралы:

3

sin 1

2

2

3

π

x4dx

3−x

а) ∫

x

dx ;

б) ∫

;

в) ∫

2

(3x −1)dx .

x

2

(16 − x

2

) 16

− x

2

2

0

0

π

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

x

2

+ y

2

=3, y =

2x

2

, y ≥ 0 ;

x = 2

2 cos3 t,

x =1 (x ≥1) ;

б)

2 sin3 t,

в) ρ = 4sin 4ϕ .

y =

4.

Вычислите длины дуг кривых:

2

3

x = 4(t −sin t),

π

2

а)

y

= x

,

x

= 4 ;

б) {y = 4(1 −cost),

2 ≤t ≤ 3 π ;

в) ρ = 2ϕ,

0 ≤ϕ ≤

3 .

4

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y2 = x −2, y =0, y = x3 , y =1.

6. Вычислите несобственные интегралы

						π
а)	+∞∫	xdx			;	б) ∫2 tgxdx .
		2	5)	3
	2	(x +				0

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

а)	+∞∫		arctg	2x	dx ;	б) ∫1	arctg2		x dx .
		3	4				x + x	3
	1		x + 2x −1			0

В а р и а н т

20

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

sin 3xdx

;

б) ∫(4x −2)cos 2xdx ;

в) ∫

x3

+6x2 +10x +12

dx

;

cos3x

(x −2)(x + 2)3

г) ∫

2x3 −4x2 −16x −12

д) ∫

dx

(x −1)2 (x2 +4x +5) dx ;

.

cos2 x −2sin2 x −4

2.

Вычислите определенные интегралы:

π

а) ∫e

x2 +3ln x

dx ;

б) ∫3 sin xlog2 (cos x)dx ;

в) ∫3

x2

9 − x2 dx .

1

x

0

−3

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

y =sin x,

y =cos x,

x =0 (x ≥0)

;

б)

x =

2 cost,

y = 4 ( y

≥ 4) ;

ρ = 2 −cosϕ.

y = 4

2 sin t,

в)

4.

Вычислите длины дуг кривых:

1

2

1

x = 2(2cost −cos 2t),

π

а) x =

4 y

−

2 ln y,

y

=1,

y = 2 ;

б) {y = 2(2sin t −sin 2t),

0 ≤t ≤

3 ;

в) ρ = 2ϕ, 0 ≤ϕ ≤

ϕ .

3

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y =ln x,

x = 2, y =0 .

6.

Вычислите несобственные интегралы

2

xdx

+∞

e

1

x2

а)

∫

;

б) ∫

3 dx .

2

1

x

1

x

−

2

+∞

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

xarcctg3x

1

arcsin2 3

x

а) ∫

dx ;

б) ∫

e

x2

−1

dx .

5x

2

−3x +

2

2

0