TIPOVOJ_RASChET_4_MART

В а р и а н т

21

1. Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

2x dx

;

б) ∫arctg 4x −1dx ;

в) ∫2x3 −6x2 +7x −3

4dx ;

3

x

2

−3

(x −2)(x −1)

г) ∫

x3 +5x2 +12x + 4

dx ;

д) ∫

dx

.

(x +2)(x2 + 4)

cos2 x +3sin2 x +sin xcos x

2.

Вычислите определенные интегралы:

а)

∫1 (x +21)dx ;

б) ∫3

dx

;

в)

π∫(2 −3x)cos

x

dx .

2

)

3

0

x

+1

1

(1 + x

0

3

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

x = 72 − y2 ,

6x = y2 ;

б) {yx ==

1t −−cossin tt,,

y ≥1

(одна арка циклоиды);

в) ρ = 2 +sin 2ϕ.

4.

Вычислите длины дуг кривых:

x

x =8(cost +t sin t),

π

а)

y =e

,

x = 0,

x =1;

б) {y =8(sin t −t cost),

0 ≤t ≤

4 ;

в) ρ = 2ϕ,

0 ≤ϕ ≤

5

.

12

5.Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y =(x −1)2 , y =1.

6.Вычислите несобственные интегралы

∞			3	dx
а) ∫1	dx	;	б) ∫0		.
	x 1 + x2			(x −3)2

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

а)	+∞∫	5 x +3x	dx ;	б) ∫1	3x2 −1	dx .
		x(x −2)			3
	3			0	arctg x

В а р и а н т

22

1. Найдите неопределенные интегралы:

2x3 −6x2 +7x

∫

dx

б) ∫(3x + 4)e

3 x

в) ∫

а)

;

dx ;

(x +2)(x −1)3 dx

;

cos2 x tgx +1

г) ∫

x3 +6x2 +8x +8

д) ∫

dx

dx ;

.

(x + 2)(x2 + 4)

5 +sin xcos x +sin2 x

2.

Вычислите определенные интегралы:

π

π

а)

∫2 e3sin x+1 cos xdx ;

б) ∫2 cos xlog2 (sin x)dx ;

в) ∫2

dx

.

(16 − x

2

)

3

0

π

0

6

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

3

а)

y =

24 − x2 ,

x2 = 2 3y,

x = 0 (x ≥ 0) ;

б) x =8cos

t,

x =1 (x ≥1) ;

в) ρ =3 +cos 2ϕ .

y =8sin3 t,

4.

Вычислите длины дуг кривых:

2

а)

x2 + y2 = r2 , r > 0 ;

б) x =

(t

−2)sin t +2t cost,

0 ≤t ≤ 2π ;

y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

в) ρ = 2ϕ,	0 ≤ϕ ≤	12 .
		5

5.Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x3 , y = x2 .

6.Вычислите несобственные интегралы

а)

а)

+∞∫		dx		;	б)	π∫	dx	.
	x	1 + x	2				1 +cos x
1						π
						2

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞	3 xarctgx					1	2arctgx5
∫					dx ;	б) ∫	e	x10	dx .
	x	3	+3x +	2
1						0			−1

В а р и а н т

23

1. Найдите неопределенные интегралы:

∫

2 +3x

б) ∫arctg

в) ∫

x3 +6x2 −10x +52

а)

x2 +1 dx

;

6x −1dx ;

dx ;

(x −2)(x + 2)3

г) ∫

x3 +9x2 +21x +21

dx ;

д) ∫

dx

.

(x +3)2 (x2 +3)

5sin x +8cos x −2

2.

Вычислите определенные интегралы:

π

π

e 2

cos(ln x)

2

x4dx

6

x

а)

∫

x

dx ;

б) ∫

;

в) ∫2

sin 3xdx .

(8 − x

2

)

3

1

0

0

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

y =3

x,

y = 3x ,

x = 4 ;

б) {xy ==9cos4sin tt,,

y = 2 ( y ≥ 2) ;

в) ρ = 4sin

2 ϕ .

2

4. Вычислите длины дуг кривых:

а)

y

2

= 4x,

заключенной между точками (0;0),

5

;

5

;

4

x =4cos3 t,

π

≤t ≤

π

;

в)

ρ = 4ϕ,

0 ≤ϕ ≤

3

.

б)

6

4

4

y =4sin3 t,

5.Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y =(x + 2)2 , y = 2 .

6.Вычислите несобственные интегралы

а)	+∞∫e− x dx ;	б) ∫3	dx			.
			4x − x	2
	0	1			−3

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞				sin 5x				1	5arcsin			3 x
а) ∫							dx ;	б) ∫	3	x2	−	1	.
	3	x	5	+8x	4	+ 2
1								0

В а р и а н т

24

1. Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

dx

;

б) ∫e

−2 x

(4x +5)dx ;

в) ∫

x3 −6x2 +13x −6

dx

;

xln2 x

(x + 2)(x −2)3

г) ∫

3x3 +6x2 +5x −1

dx ;

д) ∫

dx

.

(x +1)2 (x2 + 2)

4 sin3 xcos5 x

2.

Вычислите определенные интегралы:

0

tg(x +1)

6

x2 −9

3 1/ 2

2

3

а)

∫

dx ;

б) ∫

dx ;

в)

∫

x

arcsin x

dx .

2

(x +1)

x

4

−1 cos

3

0

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

x2 + y2 =12,

x 6 = y2 (x ≥ 0) ;

x =8(t −sin t),

б) {y =8(1 −cost),

y ≥12 (одна арка циклоиды);

в)

ρ =1 +cos

ϕ

,

0 ≤ϕ ≤ π .

4.

2

4

Вычислите длины дуг кривых:

1

1

1

+e

−1

а)

y =

(e

x

+e

−x

), заключенной между точками A(0;1),

B

;

e2

2

;

2

2

2

x =et (cost +sin t),

0 ≤t ≤

3

π ;

в) ρ =3ϕ , 0 ≤ϕ ≤

4

.

б)

2

3

y =et (cost −sin t),

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y =(x −1)3 ,

y =1,

y = 0 .

6. Вычислите несобственные интегралы

π

а)

∞∫

dx

;

б)

∫2 ctgxdx .

x

2

− x +1

0,5

0

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞

cos2 x

1

5

3

x

2

−1

а) ∫

dx ;

б) ∫

dx .

x

8

+3x

5

+

1

ln (1 +

x )

1

0

В а р и а н т

25

1. Найдите неопределенные интегралы:

tg(x +1)dx

2

x3 +6x2 +13x +6

а) ∫cos2 (x +1) ;

б) ∫ln(x

+4)dx ;

в) ∫

dx ;

(x −2)(x + 2)2

г) ∫

x3 +6x2 +9x +6

д) ∫

dx

dx ;

.

(x +1)2 (x2 +2x +2)

3cos x +5sin x −1

2.

Вычислите определенные интегралы:

1

2

1

а)

2 (arccos x)3 −1

б)

2

dx ;

2

1−2 x

dx .

∫

1 − x

2

dx ;

∫ 4 − x

в) ∫(4x −1)5

0

0

0

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

3

а)

y = −x2 + 2x, y = x2 −2x −6 ;

б) x = 24cos

t,

x =9

3 (x ≥9

3) ;

в)

ρ =3 −sin 2ϕ.

y = 2sin3 t,

4.

Вычислите длины дуг кривых:

а) 9 y2 = 4x3 , заключенной между точками

O(0;0), A(3;2

3) ;

x = 2(t −sin t),

π

12

б) {y = 2(1 −cost),

0 ≤t ≤

2 ;

в) ρ =5ϕ ,

0 ≤ϕ ≤

5 .

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = x, y =1 − x,

y = 0 .

6. Вычислите несобственные интегралы

0

1

+∞

а)

−∫1 exx dx3 ;

б) ∫6

dx

.

x2 −3x −10

7. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

а)

+∞∫

cos 1x

dx ;

б)

∫1

e x −1

dx .

5 10

3

1

x

+5x

0 arcsin x