2ая методичка МАТАН

т.к. полученное значение предела не является конечным, то при x функция асимптоты не имеет.

8. График.

Согласно проведенному исследованию, построим график функции y x3 e2x

(рис. 4).

y

	y x3e2x
1
3	x
2
0	1
–1

Рис. 4

Задача 1.7. Функция издержек производства продукции некоторой фирмой имеет вид C C q ден. ед., где q – количество произведенной продук-

ции. Определить значение средних и предельных издержек производства при

q q0 ед.

		Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1)	С q q3 0,2q2 5q 25,						q0 5;
2)	С q 0,05q3		50q,		q0	10;
3)	С q 0,03q3 0,2q2				81,		q0 9;
4)	С q 0,01q3		2q2	5q,			q0 12;
5)	С q 0,5q2 20q 4,					q0 4;
6)	С q 2q3 0,1q2,			q0 8;
7)	С q 0,03q3		3q2	0,5q,			q0 11;
8)	С q 0,02q3		5q 182,				q 7;
	С q 4q3 0,4q2 30,					q0	0
9)							6;
10)		С q 0,02q3 5q 75,					q0 3;
11)		С q 0,1q2	5q 45,			q0 5;
12)		С q 0,05q3 100q,				q0	10;

20

13)	С q 2q3	0,02q2 90,			q0 9;
14)	С q 0,01q3		0,2q2 5q,			q0 12;
15)	С q 0,08q2 100q 16,					q0 4;
16)	С q 4q3	0,3q2 8,		q0 8;
17)	С q 3q3	0,02q2 5q,				q0 11;
18)	С q 0,2q3		50q 140,			q0 7;
19)	С q q3 0,04q2 24,				q0 6;
20)	С q 0,03q3 12q 51,					q0 3;
21)	С q 0,2q2		4q 55,		q0 5;
22)	С q 0,04q3 6q2 10q,					q0 10;
23)	С q 3q3	0,02q2 72,			q0 9;
24)	С q 0,02q3		0,3q2 12q,			q0 12;
25)	С q 0,5q2		84q 16,		q0 4;
26)	С q 4q3	0,05q2 32,			q0 8;
27)	С q 4q3	0,2q2 5q,			q0 11;
28)	С q 0,1q3		50q 77,		q0 7;
29)	С q 0,1q3 0,01q2 60,					q0 6;
30)	С q 0,04q3 15q 93,					q0 3.

Пример 1.7

Функция издержек производства продукции некоторой фирмой имеет вид С q 0,2q3 1,1q2 3q 150 ден. ед. Определить значение средних и пре-

дельных издержек производства, когда количество произведенной продукции равно 10.

Решение

Средние издержки производства Ccp q – это издержки на единицу выпуска

продукции
Ccp q	C q	.	(1.7)
	q
Предельные издержки производства Спред q			– прирост переменных затрат
на производство дополнительной единицы продукции
			(1.8)
Спред q C q .

21

qD q p

qS q p ,

В формулах (1.7) и (1.8): С q – функция издержек производства продукции,

q – количество продукции.
Найдем средние издержки производства по формуле (1.7)
Ccp q	0,2q3 1,1q2	3q 150	0,2q2 1,1q 3			150	,
	q					q
следовательно, при q 10 получим
Ccp 10 0,2 102		1,1 10 3		150	27 ден. ед.
		10

Предельные издержки производства найдем по формуле (1.8)

Спред q 0,2q3 1,1q2 3q 150 0,6q2 2,2q 3,

подставим в полученное выражение q 10 и получим

Спред 10 0,6 102 2,2 10 3 41 ден.ед.

Ответ: при производстве 10 единиц продукции издержки на каждую единицу составляют 27 ден. ед.; при производстве дополнительной единицы продукции переменные затраты увеличатся на 41 ден. ед.

Задача 1.8. Заданы функция спроса и предложения

где qD и qS – количество товара, соответственного покупаемого и предла-

гаемого на продажу в единицу времени, p ден.ед. – цена единицы товара.

Найти эластичность спроса и предложения для равновесной цены; определить изменение (в процентах) спроса и предложения при увеличении цены на

N% от равновесной.
		Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) qD 2p 7;				qS p 2;	N 10;
2)	qD 2p 14;			qS 2p 10;		N 25;
3)	qD 3p 16;			qS p 4;		N 15;
4)	qD 2p 13;			qS 3p 7;		N 20;
5) qD p 5;			qS 2p 7;		N 20;
6) qD 2p 7;				qS 2p 1;		N 10;
7) qD 2p 3;			qS 2p 1;		N 5;
8) qD p 6;			qS 2p 3;		N 15;
9)	qD 2p 15;			qS 3p 10;		N 25;
10)		qD 3p 31;		qS p 9;		N 20;
11)		qD p 3;	qS 2p 3;			N 10;
12)		qD p 3;	qS p 1;		N 5;

22

13)	qD 2p 7;		qS 2p 5;		N 15;
14)	qD 3p 35;		qS p 9;		N 25;
15)	qD p 5;	qS p 3;		N 20;
16)	qD 3p 22;		qS p 6;		N 10;
17)	qD 3p 12;		qS 2p 3;		N 5;
18)	qD p 9;	qS 3p 3;			N 15;
19)	qD p 12;		qS p 6;		N 25;
20)	qD p 7;	qS p 3;		N 25;
21)	qD p 5;	qS p 3;		N 10;
22)	qD p 4;	qS 4p 1;			N 5;
23)	qD 2p 8;		qS 3p 7;		N 15;
24)	qD p 6;	qS 2p 9;			N 25;
25)	qD 2p 9;		qS 2p 7;		N 20;
26)	qD p 4;	qS 3p 4;			N 10;
27)	qD p 7;	qS p 1;		N 5;
28)	qD p 9;	qS p 3;		N 15;
29)	qD p 4;	qS 2p 2;			N 5;
30)	qD p 12;		qS 2p 6;		N 20.

Пример 1.8

Функция спроса qD 7p 18 и предложения qS p 2, где qD и qS –

количество товара, соответственного покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена единицы товара. Найти эластичность

спроса и предложения для равновесной цены и определить изменение спроса и предложения при увеличении цены на 5 % от равновесной.

Решение

Найдем точку рыночного равновесия

7p 18 p 2,

8p 16,

p 2, q 4.

таким образом, равновесная цена составляет 2 ден. ед. Эластичность спроса от цены выражается формулой

			p
	ED	p		qD	(1.9)
			qD

23

и показывает, на сколько процентов уменьшится спрос при увеличении цены на

1 %.

Поставим необходимые данные в формулу (1.9)

		p				p 7			7p
ED	p			7p 18						.
		7p 18				7p 18
									7p 18

Найдем эластичность спроса в равновесной цене

	ED 2	7 2		3,5.
		7 2 18

Поскольку ED 2 1, то товар эластичного спроса, т.е. если равновесную цену увеличить на 5 %, то спрос уменьшится на 3,5 5 17,5 %.

Эластичность предложения от цены выражается формулой

			p
	ES	p		qS	(1.10)
			qS

и показывает, на сколько процентов увеличится предложение при увеличении цены на 1 %.

Поставим необходимые данные в формулу (1.10)

		p		p
ES	p		p 2		.
		p 2
				p 2

Найдем эластичность предложения в равновесной цене

ES	2	2		1	.
		2 2
			2

Поскольку ES 2 1, то товар неэластичного предложения, т.е. если равно-

весную цену увеличить на 5 %, то предложение увеличится на 1 5 2,5 %.

2

Ответ: Эластичность спроса для равновесной цены равна 3,5; эластичность

1

предложения для равновесной цены равна . При увеличении равновесной цены

2

на 5 % спрос уменьшится на 17,5 %, а предложение увеличится на 2,5 %.

24

Раздел II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРМЕННОЙ

В разделе «Интегральное исчисление функции одной переменной» рассматриваются задачи на вычисление неопределенного и определенного интегралов от функций одной переменной (рациональных, тригонометрических, иррациональных) различными методами: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям. Более того, рассматриваются задачи экономического содержания, при решении которых применяется интегральное исчисление.

Основные типы интегралов и методы их вычисления представлены в учебной литературе следующих авторов: Н. Ш. Кремер, В.А. Малугин, Д.Т. Письменный, В.И. Малыхин, М.С. Красс и Б.П. Чупрынов. Следует отметить, что теоретический материал разных авторов отличается последовательностью изложения материала и структурой методов, поэтому основой должен выступать лекционный материал. Несмотря на это, в учебных пособиях рассматривается более широкий круг задач, что поможет как при выполнении семестровой работы, так и при самостоятельной подготовке к занятиям. Практикумы и задачники В.И. Ермакова, Г.Н. Бермана и Н. Ш. Кремера содержат все рассматриваемые типы интегралов и помогут сориентироваться при выборе методов решения задач.

Задача 2.1. Вычислить неопределенные интегралы.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

1 cos2x

dx;

8)

2 cos 2x

dx;

15)

cos3 x 1

dx;

3sin2 x

cos2 x

cos2 x

2)

2dx

;

9)

dx

;

16)

dx

;

9 16x

2

9 4x2

7 8x2

3)

cos 2x dx

;

10)

cos3 x 5

dx;

17)

cos2 x sin2 x

dx;

cosx sinx

cos2 x

sin2 x

4)

1 3tg

2x

dx;

11)

dx

;

18)

3 dx

;

2

x

3

4 6x

2sin

9x 4

5)

dx

;

12)

dx

;

19)

1 ctg2x

dx;

7 5x2

1 cos2x

cos2 x

6)

cos3 x

dx;

13)

dx

;

20)

dx

;

1 cos2x

2

16 25x2

3x 5

x 1 3

1

1 cos2x

x dx;

7)

dx;

14)

1

21)

dx;

x2

sinx

x2

25

x2

x

1 2ctg

2x

dx

22)

dx;

25)

dx;

28)

;

cos2 x

x2

3

7x2 8

dx;

dx

1

cos2 x

dx;

23)

4

2 3x 3

26)

;

29)

4 9x2

1

cos 2x

cos2x

2x

2

dx

24)

cosx sinxdx;

27)

e

1

dx;

30)

.

3 5x2

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

x3 x4

5dx;

2)

2x dx

;

1 4x

3)

sin x dx

;

9 cos2 x

4)

3xe x2 dx;

5)

x2dx

;

x6 1

6)

4xdx

;

5

3 4x

7)

cosx dx

;

4 sin2 x

2x dx

8)4 9x2 ;

9)3x2 1 x3 8dx;

	10)		dx		;
		x	1 ln2 x

x2dx

11)

;

1 x6

12)

cosx dx

;

4 sin2 x

e

13)

x

dx;

x

14)

sin2x

dx;

1 cos2x

x34

dx;

15)

3 5x4

16)

sin3x dx

;

3 cos3x

17)

3xe2 3x2 dx;

18)

x dx

;

2 x4

19)

sinx dx

;

3

1 cosx

exdx

20)

;

1 ex

21)

xe 2x2 dx;

22)

sinx dx

;

5

cos2 x

3x dx

23)

;

5

9 3x

24)

3sin x dx

;

81 cos2 x

25) x34 x4dx;

cos x dx

26)3 sin2x ;

27)ex sinexdx;

28)				sin x dx				;
			1 2cosx
		cos3 x dx
29)						;
				sin2 x
			3exdx
30)					.
		1 e2x

в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	sin2 x cos4 xdx;	6)	sin4	x cos2 x dx;	11)	sin3x cos2x dx;
2)	sin7xsin3x dx;	7)	sin2	x cos3 x dx;	12)	cos3 x 1 dx;
3)	cos4 x dx;	8)	sin5x dx;		13)	sin2 3x cos2 3x dx;
4)	sin3 xcos2 x dx;	9)	sin4xsin5x dx;		14)	cos 7x cos 2x dx;
5)	cos3 x dx;	10) sin2 x cos2 x dx;			15)	cosxsin 2x dx;

26

16)	cos3		xsin 2x dx;		21)	sin3 x sin2x dx;
17)	cos 2x cos 5x dx;				22)	sin2 2x cos2 x dx;
		sin3 x dx			23)	sin7x cos3x dx;
18)				;		cos4 x sin3 x dx;
		cos4 x			24)
19)	sin3 x cos4 x dx;						cos3 x
20)	cos5		x dx;		25)			dx;
							sin4 x

26)sincos4xxdx;

27)sin x cos2 x dx;

28)sin3xsin5x dx;

29)sin3 2x dx;

30)cos 9x cos 5x dx.

г) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	1)				x 1		dx;
			x2		4x 3
	2)				3x 2					dx;
				x2 4x 8
	3)				x 1				dx;
			x2
					6x 25

x 2 dx

4)x2 3x 2;

5)				3x 2			dx;
				x2 x 2
6)				2x 1		dx;
			x2 3x 2

x 5 dx

7)2x2 2x 3;

	8)					x dx				;
					3 2x x2
	9)					2x 1
							dx;
		x2 2x 5
	10)				3x 2 dx						;
						x2 x 2

11)

3 2x

dx;

5x2 7

12)

x 1 dx

dx;

1 4x2

13)

3x 1

dx;

x2 4x 8

14)

1 2x dx

;

1 x x2

15)

2x 5

dx;

3x2 2

16)

3x dx

;

2x2 3

17)

3x 1

dx;

x2 4x 1

18)

2x 10

dx;

1 x x2

19)

x 2

dx;

x2 4x 7

20)

2x 3

dx;

x2 4x 5

21)

x 2 dx

;

x2 6x 1

2x 1

22)

dx;

x2 3x 2

23)

x 2 dx

;

x2 8x 7

24)

5x 7 dx

;

8x2 x 1

25)

2x dx

;

3x2 1

4x 8

26)

dx;

3x2 2x 5

27)

x 4 dx

;

8x 4x2 3

28)

5x 2

dx;

x2 2x 10

29)

x 1

dx;

x2 2x 3

30)

3x 1

dx.

5x2 1

д) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

3x 2

dx;

3)

x 1 dx

;

5)

3x 2

dx;

x x2 4

x x 1

x3 x

2x 1 dx

3x3 2x2 1

6)

x 3 dx

2)

;

4)

dx;

;

x2 x 1

x x2 1

x3 1

27

x 3 dx

7)x x 1 x 2 ;

x 4 dx

8) x2 x 1 ;

	9)	x 1		dx;
		x2 x 1

10) x 4 dx;

x x2 1

2x 1 dx

11) x x2 4 ;

x 8

12) x3 4x2 4x

x 1 dx

13)x x2 1 ;

x3

14)x3 3x2 2x

15)

x 3

dx;

23)

x2 x 1

dx;

x2 x 2

x3 4x

x2 x 1

x 3 dx

16)

dx;

24)

;

x x 3 x 2

x x 1 2

x2 x 3

2x 1

17)

dx;

25)

x x2 1

dx;

x

3

1

x 8

x dx

26)

dx;

18)

;

x3 6x2

9x

x 1 x 3 x 5

2x 7

x 3 dx

19)

dx;

27)

;

x x2 3x 2

x x2

1

dx;

20)

x 8

dx;

28)

x 3 dx

;

x3 5x2

x

3

4x

2

4

x dx

2x 3 dx

29)

;

21)

;

x 1 x 5

x x2

5x 6

dx;

x 3 dx

30)

x2 x 3

dx.

22) x3

;

3x2

x3 8

е) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

																																					dx																												x 1 dx
1)						x													dx;													8)																			;										15)																		;
																																		x
			1 4																																			1 x																												2x 1
											x3
																	dx																	x 1 dx																																	dx
					x 1																											9)																								;					16)																										;
2)																										;								x																															1 4
		1					3																															2x 1																																	x 2
												x 1																														dx
3)								dx																				;				10)																												;	17)						x			3							dx;
																																			1					3
																																																															1				4
																																																																								5
		1 2 x																																										x 1																											x
							dx																																	dx
4)																								;								11)																										;			18)						x							dx;
																																				x
																																								2x 1
							3																																																								1				4
																	x
					x																																						dx																												x
																																							x
5)			2									xdx												;								12)																								;					19)						x 1																			dx;
																																				4								1
																																						x3
			1 4																																																													1 4
														x3																																																									x 1
			1 3																																			x				dx																									xdx
												x 2
6)																															dx;	13)				1 3												;													20)																							;
																																												x
																																																															1
		1 8																																																																					3 x
														x 2
																																				1 3									x
										1																																																									x 5
							x																									14)																					dx;																																	dx;
7)																							dx;																																						21)
																																			1 8
																																														x																	1
			3						16																																																														x 5
					x2

28

		2								x															dx															x 1
22)														dx;		25)															;	28)															dx;
																									3
		2		3																	x 1								x 1							3						2
										x								1																						x
			3																				x											1				3
																																												x 1
23)						xdx									;	26)										dx;						29)																		dx;
																		1		3
						27																	x											1
				x																																								x 1
																			3			x 3				dx																dx
						x						dx;				27)												;												x
24)																																30)														.
																									1
		1 4																			x 3																1 4
									x																																			x

ж) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	x2e2xdx;
2)	xcos 4x dx;
3)	x2e xdx;
			ln x dx;
4)		x
5)	x2arctg x dx;
6)	x2 ln xdx;
7)	arctg 5x dx;

8) x cos xdx; sin3 x

9)x 1 ln x dx;

10)cosxsin3 xxdx;

11)2x 1 sin x dx;

12)x2exdx;

13)x2 cos2x dx;

14)x 4 ln x dx;

15)x cos 4x dx;

16)cos ln x dx;

xdx

17)sin2 x;

18)x ln x 1 dx;

19)xe 3xdx;

20)x2 arcsin x dx;

21)4xsin 2x dx;

22)3x2 ln x dx;

23)x4arctg x dx;

24)x2 1 exdx;

25)x2 sin3x dx;

26)x3 x ln x dx;

27)arcctg 3x dx;

28)x4 arccos x dx;

29)x 1 e 3xdx;

xdx

30)cos2 x.

Пример 2.1

Вычислить неопределенные интегралы.

а)		dx				.
		x 9
				x

Решение

Данный интеграл не является табличным. Преобразуем выражение, стоящее под знаком интеграла путем умножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю

dx

dx

dx

x 9

x

x 9

x

2

2

x 9

x

x 9

x

x 9

x

x 9

x

dx

1

dx.

x 9

x

x 9

x

x 9 x

9

29