2ая методичка МАТАН

Таким образом, получили интеграл от суммы функций, который можно расписать на сумму интегралов от степенных функций

																																										1					1
	1											x dx						1																x dx				1
					x 9																x 9dx																				x 9			2	dx		x2dx
	9																	9																			9
																					3						3
																											2
															1		x 9 2								x								2				x 9 3					x3 .
																			3
											9											3					2				27
									2										2					.
	Ответ:													x 9 3
																						x3
				27
				3			lnx
	б)					x						dx.
							x

Решение

Выполним эквивалентные преобразования выражения, стоящего под знаком интеграла: каждое слагаемое в числителе разделим на знаменатель, а затем, согласно свойствам неопределенного интеграла полученный интеграл от суммы распишем на сумму интегралов

3

x

ln x

3

x

ln x

3

x

dx

ln x

dx.

(*)

x

dx

x

dx

x

x

x

Выражение под знаком первого интеграла можно упростить, и интеграл вычисляется как интеграл от степенной функции.

Второй интеграл выпишем отдельно и вычислим методом замены переменной. На новую переменную заменим ln x, найдем dx, тогда интеграл примет вид

		ln x		lnx t,
			dx	lnx dx dt,			tdt,
		x
					dx	dt
					x

таким образом, полученный интеграл – табличный, вычислим его и осуществим обратную замену

tdt t2 C ln2 x C.

2 2

Возвращаясь к выражению (*), вычислим первый интеграл, а вместо второго подставим его значение

2

3 x

dx

ln x

dx x

dx

ln2 x

C 33

ln x

C.

3

x

x

x

2

2

30

Ответ: 33x lnx C.

2

в) sin xsin2xsin3xdx.

Решение

Под знаком интеграла произведение синусов. Преобразуем произведение в сумму с помощью формул (2.1)

sin sin 12 cos cos ,

(2.1)

sin cos 12 sin sin .

Сначала применим формулы для второго и третьего множителя, затем раскроем скобки и распишем каждое произведение тригонометрических функций на сумму.

			sin x sin2xsin3x dx sin x				1		cos x cos 5x dx
						2
		1		1		1				1
			sin xcosx sin xcos5x dx					sin2x			sin6x	sin 4x dx.
		2		2		2				2

		Распишем последний интеграл на сумму интегралов и вычислим их как таб-
личные, при этом воспользуемся формулой (2.2)
															f kx b dx										1		F kx b C								(2.2)
1			1						1																k				1	sin2xdx sin6xdx sin4xdx
					sin2x							sin6x sin4x dx
2			2						2																				4
															1				1				1								1
																					cos2x					cos6x							cos4x		C.
															4				2				6								4
					1							1								1						1
		Ответ:												cos2x								cos6x							cos4x			C.
												2								6						4
					4
		г)				3x 1								dx.
						x2 3x 4

Решение

Знаменатель подынтегральной функции не раскладывается на множители, поэтому в числителе выделим производную знаменателя и распишем получившийся интеграл на сумму интегралов

					3x 1				x 1					3		2x				2
						dx 3					3	dx								3	dx
				x2 3x 4										2
								x2 3x 4								x2 3x 4
	3				2x 3 3 2				3		2x 3						3			7
						3	dx							dx							3	dx.
											x2 3x 4								x
2					x2 3x 4			2								2				2 3x 4

31

Отдельно вычислим каждый интеграл. Первый интеграл найдем методом замены переменной (знаменатель заменим на новую переменную), во втором интеграле константу вынесем за знак интеграла и в знаменателе выделим полный квадрат

3

2x 3

x2 3x 4 t,

3

dt

3

dx

x2 3x 4 dx dt

ln

t

C

2

x2 3x 4

2

t

2

2x 3 dx dt

3ln x2 3x 4 C. 2

Замечание. Исходя из данного примера, можно заметить, что

		f	x
					f x
				dx ln		C.	(2.3)
		f x

В дальнейшем, при решении подобного рода интегралов, будем использовать формулу (2.3), не прибегая к методу замены переменной.

3			7													7																			dx																	7												dx
			3							dx
2																																			3 9									9																			2							2
		x2 3x 4												2																																				2
																						x			2 2x																					4																	3			7
																																			2				4					4												x
																																																															2			2
																										2 x 3
												7		2																					2																		2x						3
																		arctg																				C									7arctg														C.
											2			7												7																												7
	Таким образом, вычислив сумму найденных интегралов, получим
											3x 1										dx						3		ln				x2 3x 4																		arctg				2x					3		C.
																																																7
					x2						3x 4
																										2												2x				3												7
					3	ln				x2 3x 4																				arctg													C.
	Ответ:																											7
					2
																																								7
	д)			2x5	x3						3x 4										dx.
														2
				x2 1 x 1

Решение

Степень числителя подынтегральной функции больше степени знаменателя, поэтому необходимо выделить целую часть, путем деления столбиком числителя на знаменатель, предварительно раскрыв скобки в знаменателе.

32

2x5	x3	3x 4		x4 2x3 2x2 2x 1
2x5 4x4 4x3 4x2 2x				2x 4

4x4 3x3 4x2 x 4 4x4 8x3 8x2 8x 4

5x3 4x2 9x 8

Согласно проведенному делению, получим

2x5 x3 3x 4

2x 4

5x3 4x2 9x 8

.

(**)

x2 1 x 1 2

x2 1 x 1 2

Поскольку знаменатель дроби

5x3 4x2 9x 8

разложен на множители, то

x2 1 x 1 2

ее можно разложить на сумму простейших дробей, т.е.

5x3 4x2 9x 8

Ax B C

D

.

(***)

x2 1 x 1 2

x 1 2

x2 1

x 1

Найдем коэффициенты A, B, C и D методом неопределенных коэффициентов. Приведем дроби справа от знака равенства к общему знаменателю

5x3 4x2 9x 8		Ax B x 1 2 C x 1 x2 1 D x2 1		.
x2 1 x 1 2		x2 1 x 1 2

Дроби равны, их знаменатели также равны, значит должны быть равны и их числители. Выпишем числители, раскрыв все скобки

5x3 4x2 9x 8 Ax3 Bx2 2Ax2 2Bx Ax B

Cx3 Cx2 Cx C Dx2 D.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x3 :

5 A C,

x2 : 4 B 2A C D,

x1 :

9 2B A C,

x0 :

8 B C D.

Решив данную систему, получим

A 6, B 2, C 1, D 9.

Подставим в выражение (***) найденные значения A, B, C и D

5x3 4x2 9x 8

6x 2

1

9

,

x2 1 x 1 2

x2 1

x 1

x 1 2

исходя из этого, выражение (**) можно записать в виде

2x5 x3 3x 4

6x 2

1

9

2x

4

.

x2 1 x 1 2

x2 1

x 1

x 1 2

33

Возвращаясь к исходному интегралу, получим

2x5 x3 3x 4

6x 2

dx

9dx

dx 2xdx 4dx

dx

2

x2

2

x2 1 x 1

1

x 1

x 1

x2

2x

dx

x 1 1

2

4x 3

dx 2

ln

x 1

9

C

2

x2 1

x2 1

1

x2 4x 3ln

x2

1

2arctgx ln

x 1

9

C

x 1

9

Ответ: x2 4x 3ln

x2 1

2arctgx ln

x 1

C

x 1

е) 1 x 1dx. x x 1

Решение

Для нахождения данного интеграла воспользуемся методом замены перемен-

ной, заменим на новую переменную корень, выразим x и найдем dx

x 1

t,

x 1

1

x 1

1 t2

1 t2

4tdt

4

t2dt

dx

x

,

t

.

x

2

1 t2 1 t2

x 1

1 t2

1 t2

1 t2

dx

4tdt

1 t2 2

Выпишем подынтегральное выражение и разложим дробь на простейшие аналогично рассмотренному выше примеру

t	2			At B			C		D
										.
1 t2 1 t 1 t				1 t2		1 t
									1 t

Найдем коэффициенты A, B, C и D.

t2 At B 1 t2 C 1 t 1 t2 D 1 t 1 t2 ,

раскрыв скобки, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

t3 : 0 A C D, t2 : 1 B C D, t1 : 0 A C D, t0 : 0 B C D,

откуда,

A 0, B 1, C 1, D 1.

2 4 4

Тогда,

34

t

2

1

1

1

4

2

4

.

1 t2 1 t 1 t

1 t2

1 t

1 t

Искомый интеграл распишем на сумму интегралов

4

t2dt

1

4

dt

1

4

dt

1

4

dt

1 t

2

1 t2

2

1 t2

4

1 t

4

1 t

2arctgt ln

1 t

ln

1 t

C 2arctgt ln

1 t2

C,

выполнив обратную замену, получим

2

1

x 1

x 1

x 1

dx 2arctg

ln

1

C

x

x 1

x 1

x 1

2

ln

x 1

C

2arctg

x 1

ln

C 2arctg

x 1

x 1

x 1

x 1

Ответ: 2arctg

x 1

ln

x 1

C.

x 1

ж) lnxxdx.

Решение

Подобного типа интегралы вычисляются методом интегрирования по частям

udv uv vdu.

(2.4)

Согласно формуле, один из множителей под знаком интеграла обозначают за u, остальные за dv, далее находят du и v, затем расписывают по формуле (2.4), вновь получившийся интеграл вычисляют. Таким образом,

dx

ln

x

u ln x du ln x dx

,

dx

dx

dx

x

x

v

dv

2

x

x

x

ln x 2

2

dx

2

ln x 2

dx

2

ln x 4

C.

x

x

x

x

x

x

x

Ответ: 2xlnx 4x C.

Задача 2.2. Вычислить определенные интегралы.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

2					3
		dx				4		dx			3 3			dx
1) 0				;	2) 0					;	3) 3				;
		16 x2												9 x2
								9 4x2

35

8						3
													x
4)		2 5																	dx;
		3
1								x
	3			2												dx
5)																										;
	0								81 9x 2
	3			2														dx
								2
6)																								;
											1 2x2
	1
	0			2
7)						sin2							x										dx;
				4												4
											5x
8)						sin															dx;
4																4
2	5
														1
9)	e2x																		dx;
1															x
				4
10)		tg2x dx;
	0
	3							dx
11)																;
					x2 1
	2

2dx

12)1 cosx;

0

								dx					1		sin x
	3												2
13)										;	22)										dx;
																		3
				sin2 x sin4 x
	6											1			cos x
																	2
	9
							2 dx					2
14)									;						dx
											23)						;
					9 2x2
														4 x2
		2
												0
	6											1
15)	sin5xcos7x dx;										24)	e x tg2x dx;
	0											0

	2	dx
	16)		;
		9 x2
	1

3cos2x

17)cos2 xsin2 x

6

10dx

0 2 25x2

19)	5			3		dx	;
					25 x2
		5
		2
20)	cos2 x dx;
	0
	e					e dx
21)								;
			e4			e4x2
	2

		1,5	dx
	25)					;
		0	9 4x2
dx;	26)	sinxsin4x dx;
		5
		6
		2
;	27)	ctg2x dx;
		3
		1
	28)	sin x ex dx;
		0
			3
		3
	29)		sin		x dx;
			2
		4
		4
	30)	sin2 xdx.

0

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

e		2 2xlnx				1		exdx
1)					dx;	4)						;				7)	12sin x cosx dx;
1			x2			0	1 e2x									5
	3					0,5										9	6
																				dx
						5) x				1 x2 dx;
2) ecos x sinx dx;																8)										;
																			1					2
0						13										4							x
2			2x dx			3				x2dx						9
3) 1				;		6) 2								;		9) 4			x				x		dx;
			1 4x
																			x
										x6 4
																					x

36

0,5

10) x41 x2dx;

0

e2

dx

11) ;

e x1 ln2 x

9dx

12) ;

4 xcos2 x

		0		4							x
	13)													dx;
							1 16x
		1		2
		e
						lnx
	14)									dx;
		1					x
							sinx dx
		3
	15)													;
				1 cos2 x
		0

2x2

16)dx;

1x6 25

1 ex		ex 1
17)				dx;
0	ex 3

e2

dx

18) ;

e x cos2 lnx

2 exdx

19)1 e2x 1;

			sinx dx
	4
20)						;
	0	1 cos2 x
	0			e2x dx
21)					;
	0,5		1 e4x

4x 1 dx

22);

1 x 1

2

23)xx2 1dx;

3

	2				x2dx
24)												;
		1 4x								3
	1
					3					x
25)																dx;
		0						cos2 x2
	0							x dx
26)	2												;
				x2					1 2
	5
				6 cos x dx
27)																	;
					16 sin2 x
		2
	e2															dx
	1																	;
28)										lnx
	e															x
	1				exdx
29)											;
	0	1 e2x

2cosx

30)sin3 xdx.

в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

		1							0											3
		2							3 2x e 3xdx;										11) arctg
							6)														x 1 dx;
	1)	arcsinx dx;
		1							1											2
									3
		3
		e							3											4
							7)		x arctg x dx;										12)	x cos2x dx;
	2) 3		x	lnx dx;
		1						1												0
									3											e3
		4						0											13)	x3 lnx dx;
	3)						8) xe							x	dx;
		xsin2x dx;																		1
		0						1
		1						3												4
		2																	14)	x 1 sin2x dx;
							9)		arctg								x 1 dx;
	4)	1 x sin x dx;
																				0
		1						2												0
		1							3										15)	2x 3 e xdx;
									x tg							2	x dx;
	5) arctg x dx;						10)
																				1
		0							0

37

								e2
	2						21)	x2 1 lnxdx;
16)	ex cosx dx;
								1
	3							0
	e2						22)	x 1 e xdx;
17)	ln2 x dx;							1
	e
	14						23)	x3 sinx dx;
18)	arccos x dx;
								2
	1							e
	2						24)	x 1 lnx dx;
	1
19)	e	x		sinx dx;				1
								1
	0
							25)	xexdx;
	0
20)	x		3	e	x	dx;		0
	1

		0
26)		x 1 cos4x dx;
		4
	1
27)	3 x exdx;
	0
	e2
28)	xlnx dx;
	e
	0
29)	3 x2 exdx;
	1
	3
30)	x arcctg x dx.
	1

г) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	2 3x						4 3x2 1															1x3 2x2 x																			1 x4 x3 1
1)															dx;							9)													dx;					17)														dx;
	1						x x2 1															2					x2 3x 2														2				x3 2x2
	1					2x4 4x3 2x 3																	2				3x			4 5x2 x 1											1 x5 2x3 x
2)																					dx; 10)																		dx; 18)																	dx;
														2																															x x2 x
	2									x x 1													1								x2 x 1										2
	0,5									x4 1													3				4x4 8x3 1														3			x4				2x 1
3)																	dx;					11)																dx;		19)															dx;
	0,5							x 1 x2						1									2				x2				x x 1										2 x 1 x2 1
	1					x		4	2x		2	2x 1											4					x4 1													1 x4 2x3 x 1
4)																				dx; 12)													dx;							20)																				dx;
																											x		3	x		2													x	3		3x			2		2x
	2									x3 x2													2																		2
	0																						2								4x2 2x 1										2			3x x4 2
5)								x3 x2								dx;						13)						x5												dx; 21)													dx;
	1 x 2 x 1																						3								x3 x2										1				x x 1 2
	3		4x4 8x3 3x 3																				1						x3 x2												3 x4 x3 2x 1
6)																		dx;				14)												dx;						22)																		dx;
								x	3	2x		2	x																																		x		3	x		2
	1		x																				0				x 2 x 1														1
	2						2 2x 1 x 1																3				2x			5 2x 1											6				x3 2x2 x
7)																			dx;			15)														dx;				23)																	dx;
	1									4x2 1													2							1 x4											4			2x2 6x 7
	2					4x4 8x3 x 2																	4 x3 2x2 x																		4			3x				4 5x3 2x
8)																			dx;			16)															dx;			24)																			dx;
										x x				2													2x			2															x		2	x x 1
	3										1												3								5x 2										2

38

1			2x3 2x 1						1,5		x4 x2			0			2x5 3x2 1
25)							dx;		27)				dx;	29)					dx;
				x2 x							x 2 x 1 x					1 x 2 x 3 x
2									1					1
4				x5 5					3	x4 3x2 1				2 x3			2x2 x 1
26)								dx;	28)			dx;		30)				dx.
											x x2 1					x 3 x 1
2	x 1 x2 1								2					0
Пример 2.2
Вычислить определенные интегралы.
		1		dx
а)						.
					3
				11 5x
		2

Решение

Методы вычисления определенных интегралов аналогичны методам вычисления неопределенных интегралов. При нахождении значения определенного интеграла применяется формула Ньютона – Лейбница

b		b
f x dx F x		F b F a ,	(2.5)
a		a

где f x непрерывная на отрезке a;b функция, первообразная которой F x . Преобразовав выражение под знаком интеграла, получим табличный интеграл,

при вычислении которого необходимо применить формулу (2.2)

1		dx			1	3		1 11 5x 4								1
					11 5x dx
		3
2 11 5x					2			5			4					2
			1		11 5 4	1	11 10 4					323
						20
		20									20

Ответ: 323.

	20
2	1
	e		dx
		x
б)				.
1		x2

Решение

При вычислении определенных интегралов методом замены переменной следует обратить внимание на необходимость изменения пределов интегрирования в соответствии с введенной переменной.

Если границы интегрирования были заменены, то не нужно выполнять обратную замену, т.е. согласно формуле (2.5) подставляем границы изменения новой переменной. Таким образом,

39